数量积与向量积20436

1、数量积与向量积数量积与向量积 一一物物体体在在常常力力f作作用用下下沿沿直直线线从从点点1m移移动动到到点点2m，以以s表表示示位位移移，则则力力f所所作作的的功功为为 cos|sfw (其中其中 为为f与与s的夹角的夹角)启示启示实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.一、两向量的数量积一、两向量的数量积ab cos|baba 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.向量向量a与与b的的数量积数量积为为ba cos|baba (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)定义定义关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2( ba.ba .|)1(2a

2、aa 数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数为数 ),()()(bababa 若若 、 为数为数： ).()()(baba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦

3、的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为例例 2 2 证证明明向向量量c与与向向量量acbbca)()( 垂垂直直. 例例3应用向量证明应用向量证明cauchyschwarz不等式不等式232221232221332211|bbbaaabababa 例例4 应用向量证明直径所对的圆周角是直角应用向量证明直径所对的圆周角是直角xyoabc 设设o为为一一根根杠杠杆杆l的的支支点点， 有有一一力力f作作用用于于这这杠杠杆杆上上p点点处处 力力f与与op的的夹夹角角为为 ， 力力f对对支支点点o的的力力矩矩是

4、是一一向向量量m，它它的的模模 |foqm sin|fop m的的方方向向垂垂直直于于op与与f所所决决定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.实例实例二、两向量的向量积二、两向量的向量积lfpqo 向向量量a与与b的的向向量量积积为为 bac sin|bac (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)定义定义c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系. .关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aaba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算

5、规律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数为数 ).()()(bababa ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积还可借助于三阶行列式表示向量积还可借助于三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba kbbaajbbaaibbaayxyxzxzxzyzy 补充补充|ba 表表示示以以a和和b为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积.abbac 例例 6 6 求与求与kjia423 ，kjib2 都垂都垂直的单位向量直的单位向量. 例例 7 7 在在顶顶点点为为)2 , 1, 1( a、)2 , 6, 5( b和和)1, 3 , 1( c的的三三角角形形中中，求求ac边边上上的的高高bd. 向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）四、小结四、小结思考题思考题已已知知向向量量0 a，0 b，证证明明