第五章 傅里叶变换

1、梁昆淼梁昆淼 编编( (第四版第四版) )高等教育出版社高等教育出版社主讲：冯主讲：冯 杰杰第五章第五章 傅里叶变换傅里叶变换5.2 傅里叶积分与付里叶变换傅里叶积分与付里叶变换5.3 函数函数5.1 傅里叶级数傅里叶级数第一篇第一篇 复变函数论复变函数论 第五章第五章 傅里叶变换傅里叶变换5.1 傅里叶级数傅里叶级数一、一、周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开21,cos, cos, cos,2sin, sin, sin,xxk xlllxxk xlll)sincos()(10lxkblxkaaxfkkk设设f(x)为周期为为周期为 2l 的函数的函数将将 f (x) 展开展开考虑三角函

2、数族考虑三角函数族 为基本函数族为基本函数族1、周期函数族、周期函数族 2、函数、函数f (x)的的 傅里叶展开傅里叶展开0cos1dxlxkll0sin1lldxlxk0coscosdxlxnlxkll)(nk)(nk0sinsindxlxnlxkll0sincosdxlxnlxkll3、再谈周期函数族的正交性、再谈周期函数族的正交性 coscos1coscos211coscos221()()cos 2()1()()cos 2()1sin2 ()llllllllllllkxnxdxllkxnxkxnxdxllllkxnxkxnxdxdxlllllknxknxdknlllknxknxdknll

3、lkn()1()sin0002 ()llllknxllknxknl验算一个！验算一个！coscos1 ()llk xn xdxnkll 4、利用三角函数族的正交性展开利用三角函数族的正交性展开 f (x) ，并且求，并且求 f (x) 的展开系数的展开系数)sincos()(10lxkblxkaaxfkkkllkkklldlkblkaadf)sincos()(10lldfla)(210即即由由得得 )sincos()(10lxkblxkaaxfkkkllkkdlkflacos)(12 (0)1 (0)kkk llkkklldlnlkblkaadlnfcos)sincos(cos)(10llkd

4、lkflacos)(1由由得得lldfla)(210结合结合 合写系数：合写系数：函数的傅函数的傅 氏氏级数为级数为01( )sin( cossin)sinllkkllknkknfdaabdllllllkdlkflbsin)(1kkab、称称 为周期函数的为周期函数的傅里叶系数！傅里叶系数！ 由由得得llkkdlkflacos)(12(0)1 (0)kkk4、狄里希利定理：、狄里希利定理：若若f (x) 满足满足： (1)(1)处处连续，或在每个周期有处处连续，或在每个周期有 有限个第一类间断点；有限个第一类间断点； (2)(2)或在每个周期有有限个极值或在每个周期有有限个极值 点，则级数收敛

5、，且点，则级数收敛，且( (在连续点在连续点x ) )(xf级数和级数和 = =)0() 0(21xfxf( (在间断点在间断点x ) )狄里希利定理是傅里叶级数的收敛条件狄里希利定理是傅里叶级数的收敛条件! 二、奇函数与偶函数的傅里叶展开二、奇函数与偶函数的傅里叶展开1、奇函数、奇函数( )( )fxf x 2、奇函数展开式只有正弦项、奇函数展开式只有正弦项1( )sinkkkxf xbl其系数为其系数为lkdlkflb0sin)(23、奇函数展开式（正弦项）的系数求法如下：、奇函数展开式（正弦项）的系数求法如下：(0) 0( ) 0ff l llkkdlkflacos)(100cos)(1

6、cos)(1lklkdlkfldlkfl0011()( )cos()cos()llkkkkfdfdllll3、奇函数展开式（正弦项）、奇函数展开式（正弦项） 的系数求法如下的系数求法如下: （1）其其偶次项偶次项的系数为零，计算如下：的系数为零，计算如下：0011( )cos()cosllkkkkfdfdllll0011( )cos( )cosllkkkkfdfdllll0011( )cos( )cos0llkkkkfdfdllll 00111( )sin( )sin( )sinllkllkkkkkkbfdfdfdllllll0011( )cos()sinllkkkkfdfdllll00011

7、2( )cos( )cos( )sinlllkkkkkf xdfdfdlllllllkdlkflb0sin)(2最后得最后得 （2）其其奇次项奇次项的系数为零，计算如下：的系数为零，计算如下：llkdlkflbsin)(100sin)(1sin)(1lldlkfldlkxfl0011( )sin()sinllkkf xdfdllll4、偶函数、偶函数的的傅里叶傅里叶展开展开及其展开系数及其展开系数0011( )sin( )sin0llkkf xdfdllll 其奇次项的系数为零其奇次项的系数为零1( )coslklkafdll0011( )cos()cosllkkfdfdllll0011( )

8、cos( )cosllkkfdfdllll 02( )coslkfdll10cos)(kklxkaaxflkkdlkfla0cos)(2最后得最后得(1)(1)(0) 0( ) 0ffl 例例1，要求在（要求在（- ， ）上，）上，f (x)=x2, 展开为展开为fourier 级数，在本题级数，在本题 展开所得中置展开所得中置 x=0，由此验证，由此验证:12413121122220011( )coscos(kkkkkxf xaaaakxl2230001133ad解：解：f (x)=x2，为偶函数；为偶函数；0kb20022( )cos()cos()kafkdkd 200212sin()si

9、n()kkdkk22214(1)cos()3kkxkxk x = 0124131211222220022( )cos()cos()kafkdkd 22044cos()( 1)kdkkk三、定义在有限区间上的三、定义在有限区间上的 函数的傅里叶展开函数的傅里叶展开定义在有限区间上的函数，如在定义在有限区间上的函数，如在(0，l )上的上的 f (x)， 可以延拓其成为周期函数可以延拓其成为周期函数 g(x)，使，使在在(0，l )上有上有 g(x) f(x)； 然后对然后对g(x)进行进行傅里叶展开；傅里叶展开；要根据具体情况进行偶延拓，或奇延拓；要根据具体情况进行偶延拓，或奇延拓；0)()0(

10、lff如果如果 ， 奇延拓成奇周期函数；奇延拓成奇周期函数；0)( )0( lff如果如果 ， 偶延拓成偶周期函数；偶延拓成偶周期函数；1、任意函数、任意函数的傅里叶的傅里叶展开方法展开方法2、偶延拓或奇延拓的使用原则、偶延拓或奇延拓的使用原则 例例2，要求，要求f (x)=cosax在它的定义区间的在它的定义区间的边界边界 上为零，上为零，而且要求在区间（而且要求在区间（0， ）上进）上进 行行展开展开。解：解：因为因为在区间（在区间（0， ）上）上为零为零，所以要，所以要将函数将函数 进行进行奇延拓成奇周期奇延拓成奇周期函数，其展开式为函数，其展开式为1sin)(kklxkbxf0)sin

11、()(2dkfbk0)sin(cos2dkax1sinkkxkb其展开系数为其展开系数为 12221 ( 1)coskkkabaka 122121( 1)cos( )sinkkaf xkkxaka 0)2cos()2cos(212dkakaa02cos()cos()2()2()kakaakaka 其结果为其结果为 四、复数形式的傅里叶级数四、复数形式的傅里叶级数1、复数形式的基本正交函数族、复数形式的基本正交函数族, 1,lxkilxilxilxkieeee2、复数形式的傅里叶级数、复数形式的傅里叶级数( )kxilkkf xc e形式形式求系数求系数*( )()()2kkkiiilllllk

12、kllkfedc eedlc*1( )()2killklkkcfedlcc 5.2 傅里叶积分与傅里叶积分与傅里叶变换傅里叶变换一、实函数形式的傅里叶变换一、实函数形式的傅里叶变换)sincos()(10lxkblxkaaxgkkk设设f (x) 为定义在为定义在 - x 0 ,有有1)(dd)(df)()(df)()(df)()( 对于对于 - , 0 ，有：，有：( ) ( )( )( )( )fdfdf )0()()(fdf)()()(00tfdtf 所以，得所以，得对于对于 - , 有有0( )( )(0)limfdf 同理，可同理，可 以证明：以证明：证毕！证毕！ +d 时间间隔时间

13、间隔冲量：冲量：df)(瞬时力：瞬时力：)()(tdfbadtftf)()()(d)(f)(tftab 4、持续力的、持续力的 函数表示函数表示注意注意 函数的函数的量纲！量纲！持续力可以用持续力可以用 函数表示为：函数表示为：( )( )()( ) ()baf tfdtftd 持续力的冲量图持续力的冲量图)()()()(000 xxxfxxxf若若f (x)为为x0 处连续的普通函数，则处连续的普通函数，则sin(0)xx 例：求例：求0sin(0)0 xxx证：证：0()( ) ( )xxf xx dx)()(00 xxf0000() () ( )()() ( )xxf xx dxf xx

14、xx dx)()(00 xxf sin ( )xx解：解：证毕！证毕！5、如如 (x)=0的实根的实根为为xk为单根，则为单根，则kkkxxxx)( )()( 00( )0 ()( )0 xxx 0 ()()kkkxcxx 证明：证明： 0 ()()kkkxcxx ( )()nnnnxxkkxxkx dxcxx dx 11 ( ) ( )( )()nnnnxxxxnx dxxdxx ()()nnnnxxkknnnxxkcxx dxcxx dxc 1()nncx证毕！证毕！ ( )( )( )xdx dxddxx三、三、 函数是一种广义函数函数是一种广义函数1、 函数是某些普通函数的极限函数是某

15、些普通函数的极限1( )lim rec ( )lxxtll矩形脉冲表示法：矩形脉冲表示法：辛格函数：辛格函数：xkxxksin1lim)(抽样函数：抽样函数：221( )limxx 2、矩形函数是、矩形函数是 函数的证明函数的证明 )(xgx1/l/2l /2l1()12rect0()2lxlxllx001limrect00lxxxll001limrectlimrect1llxdxdll 符合符合 函数的积分定义！函数的积分定义！证毕！证毕！ p85另外两个函数的证明方法类似。另外两个函数的证明方法类似。 矩形函数矩形函数decxxi)()(11( )( )22ixcx edxdexxi21)

16、(四、四、 函数的傅立叶变换函数的傅立叶变换1、 函数函数的傅立叶变换的傅立叶变换 函数的傅立叶积分变换系数函数的傅立叶积分变换系数 函数的傅立叶积分函数的傅立叶积分 2、 广义广义的傅立叶变换的傅立叶变换dexxi21)(kkxikdelim21ixeexikxikklim21xkxksin1lim 例例1，求常数，求常数a的傅里叶变换的傅里叶变换解：解：dxaeaxi21kkxikdxea21limsinlim( )kkaa ieeaikikk21lim 解：解：3111()()(2 )ik rrcrc aedxdydzrr2cos23000111()()sin(2 )ikrrr cr c

17、 erdrd drr cos20011()(cos )(2 )ikrrrc edikrdrik cos2001()( cos )(2 )ikrrrc erddr 例例2，计算，计算 三重的傅里叶变换三重的傅里叶变换1()rcr cos20011()(cos )(2 )ikrrrc edikrdrik cos2001()( cos )(2 )ikrrrc erddr 2011()()(2 )ikrikrrrceedrik211()(2)ikrikreeik (0)( ; )0(0)xexh xx)(xhx10(0)( )1(0)xhxx0( )h x dxdx 因为因为构建函数构建函数例例3、阶跃函数的傅立叶变换、阶跃函数的傅立叶变换解：解：所以，其傅立叶变换不存在。所以，其傅立叶变换不存在。 00(0)( )lim( ; )lim0(0)xexh xh xx()00()011( ;)22111122xi xixixh xeedxedxeii 22220011( )limlim()2 ()2h xii 2200(0)lim(0)其中，其中， 而而 2200limlimarctan()22d 所以，所以， 220lim()2