华侨大学概率论课件ch1第5节 条件概率

1、一、条件概率一、条件概率二、乘法定理二、乘法定理三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式四、小结四、小结第五节条件概率第五节条件概率 条件概率条件概率计算计算p(a)时没有考虑其它相关事件的信息。时没有考虑其它相关事件的信息。n在实际问题中，如果已知事件在实际问题中，如果已知事件b b 发生了，我们自发生了，我们自然希望能通过这个信息调整对时间然希望能通过这个信息调整对时间a a发生可能性发生可能性的认识。的认识。 在实际问题中，往往会遇到求在实际问题中，往往会遇到求 在事件在事件b已经出现的情况下事件已经出现的情况下事件a发生的发生的概率，记作概率，记作p p( (a a| |b

2、 b).). 由于附加了条件，由于附加了条件， p p( (a a) )与与p p( (a a| |b b) )意义不同，意义不同，一般情况下一般情况下 p(a|b) p(a) 例例 掷一颗均匀骰子掷一颗均匀骰子, , a a=掷出掷出2 2点点,b b=掷出偶数点掷出偶数点,p p( (a a| |b)b)= =？61)( ap解：解：掷一颗均匀的骰子有掷一颗均匀的骰子有6 6种可能性，且他们的种可能性，且他们的出现都是等可能的出现都是等可能的. .若已知事件若已知事件b b发生，此时实验所有可发生，此时实验所有可能结果只有能结果只有3 3种，而事件种，而事件a 包含的基包含的基本事件数只占

3、其中一种，故本事件数只占其中一种，故31)( bap 上例中，上例中， p(a|b) p(a) 他们不相等的原因在于，他们不相等的原因在于，“事件事件b b已发生已发生”这这个新条件改变了样本空间。个新条件改变了样本空间。 sa用边长为用边长为1的正的正方形的面积表方形的面积表示样本空间示样本空间s封闭封闭曲线曲线中一中一切点切点的集的集合表合表示事示事件件a用图形的面积用图形的面积表示相应的事表示相应的事件的概率件的概率的面积的面积的面积的面积的面积的面积则，则，asaap )( 当已知当已知b b发生的情况下，样本空间由原来发生的情况下，样本空间由原来的的s s缩减为缩减为b b： saa

4、b b的的面面积积的的面面积积babbap )|(如果如果b发生，那发生，那么使得么使得a发生当发生当且仅当样本点属且仅当样本点属于于ab 条件概率的定义条件概率的定义设设a a、b b是两个事件，且是两个事件，且 p(b)0 , ,则称则称 )()()|(bpabpbap为为在事件在事件b b发生的条件下发生的条件下, ,事件事件a a的条件概率的条件概率. .例例 一批产品有一批产品有5 5件，其中有件，其中有3 3件正品，件正品，2 2件次品，件次品，从中取两次，做不放回抽样，从中取两次，做不放回抽样，a= =“第一次取到的是正品第一次取到的是正品”b= =“第二次取到的是正品第二次取到

5、的是正品”求求p(b|a)? p(b|a)=解法一解法一 ：在原来的样本空间：在原来的样本空间s s中，用条中，用条件概率的定义计算件概率的定义计算)()(apabp两次都取得正品的概两次都取得正品的概率率1034523)( abp53)( ap21 解法解法2 2：在缩减后的样本空间：在缩减后的样本空间a a上计算上计算 由于事件由于事件a a已经发生，即第一次取到的是已经发生，即第一次取到的是正品，所以第二次取产品时，只剩下正品，所以第二次取产品时，只剩下4 4件，件，并且正品只有并且正品只有2 2件，所以件，所以p(b|a)=21);()()()( ) 4(212121baapbapba

6、pbaap ).(1)( )5(bapbap ; 0)(, 1)(: )2( bpbsp规范性规范性则有则有件件是两两不相容的事是两两不相容的事设设可列可加性可列可加性, , ,: )3(21bb. )(11 iiiiabpabp3. 性质性质; 0)(: )1( abp非负性非负性 前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率. . 例例1 在标有在标有1,2,3,4,5这这5个数字的卡片里个数字的卡片里,无放回无放回地抽取两次地抽取两次,一次一张一次一张,求求 (1)第一次取到奇数卡片的概率第一次取到奇数卡片的概率; (2)已知第一次取到偶数

7、已知第一次取到偶数,求第二次取到奇数卡片求第二次取到奇数卡片的概率的概率; (3)第二次才取到奇数卡片的概率第二次才取到奇数卡片的概率. 解解 设设a, b分别表示第一次和第二次取到奇数分别表示第一次和第二次取到奇数卡片这两个事件卡片这两个事件, 则则p(a)= 353(2) ()4p b a 3(2) ()10p ab 例例2 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活20岁以上的概率为岁以上的概率为0.8, 活到活到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个如果现在有一个20岁的这种动物岁的这种动物, 问它能活到问它能活到25岁以上的概率是岁以上的概率是多少多少? 设设 a 表

8、示表示“ 能活能活 20 岁以上岁以上 ” 的事件，的事件，b 表示表示 “ 能活能活 25 岁以上岁以上”的事件的事件,则有则有, 8 . 0)( ap因为因为.)()()(apabpabp , 4 . 0)( bp),()(bpabp .218 . 04 . 0 )()()(apabpabp 所以所以解解由条件概率的定义：由条件概率的定义：)()()|(bpabpbap若已知若已知p(b), p(a|b)时时, 可反求可反求p(ab).乘法公式乘法公式乘法公式乘法公式设设a,b为两个事件为两个事件若若p(b)0, ,则则 p(ab)=p(b)p(a|b) (1) 若若p(a)0, ,则则

9、p(ab)=p(a)p(b|a) (2) 例例 m m个产品中有个产品中有n n个一等品，个一等品，m-nm-n个二等品，按个二等品，按不放回抽样，依次抽取两个产品，计算两次都取不放回抽样，依次抽取两个产品，计算两次都取到二等品的概率。到二等品的概率。解法解法1 1：设设ai= = 第第i次取到一等品次取到一等品 则则)|()()(12121aapapaap)(ap解法解法2 2：设设a=a= 两次都取到一等品两次都取到一等品 )1()1( mmnn11 mnmn乘法公式推广乘法公式推广 链式法则链式法则 设设 为为n n个事件个事件, ,若若p(a1a2an-1)0，则有则有naaa,21)

10、()()(12121aapapaaapn )(213aaap)(121 nnaaaap计算多个事计算多个事件同时发生件同时发生的概率的概率)(3214aaaap 例例 一场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行，5 5个球迷好不容易才搞到一张入场券个球迷好不容易才搞到一张入场券. .大家都想去大家都想去, ,只好用只好用抽签抽签的方法来解决的方法来解决. .“大家不必争先恐后，大家不必争先恐后，一个一个按次序来，一个一个按次序来，谁抽到谁抽到入场券入场券的的机会都一样大机会都一样大.”“先抽的人当然先抽的人当然要比后抽的人要比后抽的人抽到的机会大抽到的机会大. ”)|()|()(213

11、121aaapaapap 解：解：ai=第第i个人抽到入场券个人抽到入场券则则 =第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券, i1,5.iap(a1)=1/5，p( )4/51a51 4154 )(321aaap )(3ap（4/5）依次类推依次类推, , 每个人抽到每个人抽到“入场券入场券” 的概率都是的概率都是1/51/5. .)(2ap)(21aap )|()(121aapap 第一个人没有摸到票时，第第一个人没有摸到票时，第二个人摸到票的概率为二个人摸到票的概率为1/4前两个人没有摸到前两个人没有摸到票时，第三个人摸票时，第三个人摸到票的概率为到票的概率为1/2（3/4）（1/3）=1/

12、5 例例5 一个罐子中包含一个罐子中包含b个白球和个白球和r个红球个红球. 随随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手这种手续进行四次续进行四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率四次取到红球的概率. 波里亚罐子模型波里亚罐子模型b个白球个白球, r个红球个红球于是于是w1w2r3r4表示事件表示事件“连续取四个球，第一、连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球第二个是白球，第三、四个是红球. ” b个白球个

13、白球, r个红球个红球 随机取一个球，观看颜色后放随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进回罐中，并且再加进c个与所抽出个与所抽出的球具有相同颜色的球的球具有相同颜色的球. 解解 设设 wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3,4 rj=第第j次取出是红球次取出是红球， j=1,2,3,4用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率也取到同色球的概率. 这是一个这是一个传染病模型传染病模型. 每次每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.crb

14、crcrbrcrbcbrbb32=p(w1)p(w2|w1)p(r3|w1w2)p(r4|w1w2r3)p(w1w2r3r4)例例6 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时第一次落下时打破的概率为打破的概率为1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 第二次落第二次落下打破的概率为下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破若前两次落下未打破, 第三第三次落下打破的概率为次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未试求透镜落下三次而未打破的概率打破的概率.解解以以b 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”.,321aaab 因为因为,)

15、3 , 2 , 1(次次落落下下打打破破透透镜镜第第表表示示事事件件以以iiai 321aaapbp 213121|aaapaapap 10911071211 . 2003 所以所以.,.)ii(;, 2, 1,) i (,212121的一个划分的一个划分为样本空间为样本空间则称则称若若的一组事件的一组事件为为的样本空间的样本空间为试验为试验设设定义定义sbbbsbbbnjijibbebbbesnnjin 1. 样本空间的划分样本空间的划分1b2b3b1 nbnb三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式2. 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式)()()()()()()(),

16、2, 1(0)(,221121nninbpbapbpbapbpbapapnibpsbbbease 则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为设设试试验验定定理理 jibb由由 )(jiabab)()()()(21nabpabpabpap 图示图示a1b2b3b1 nbnb证明证明)(21nbbbaasa .21nababab ).()()()()()(2211nnbpbapbpbapbpbap 化整为零化整为零各个击破各个击破说明说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题复杂事件的概率计算问题,分解为若干个

17、简单事件分解为若干个简单事件的概率计算问题的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终最后应用概率的可加性求出最终结果结果.a1b2b3b1 nbnb例例7 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占生产的占 30% ，二厂生产的占，二厂生产的占 50% ，三厂生，三厂生产的占产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别，又知这三个厂的产品次品率分别为为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少是次品的概率是多少?设事件设事件 a 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,. 3, 2, 1,”“ iibi厂厂的的产

18、产品品任任取取一一件件为为为为事事件件,321sbbb 解解. 3 , 2 , 1, jibbji由全概率公式得由全概率公式得, 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321 bpbpbps30%20%50%2%1%1%).()()()()()()(332211bpbapbpbapbpbapap .013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 bapbapbap)()()()()()()(332211bpbapbpbapbpbapap 故故称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式., 2 , 1,)()()

19、()()(), 2 , 1(, 0)(, 0)(,.121nibpbapbpbapabpnibpapsbbbeasenjjjiiiin 则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为设设试试验验定定理理 3. 贝叶斯公式贝叶斯公式证明证明)()()(apabpabpii ,)()()()(1 njjjiibpbapbpbap., 2 , 1ni ;,)1(.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概概率率求求它它是是次次品品的的元元件件在在仓仓库库中中随随机机地地取取一一只只无无区区别别的的标标志志且且仓仓库库中中是是均均匀匀混混合合的

20、的设设这这三三家家工工厂厂的的产产品品在在提提供供元元件件的的份份额额次次品品率率元元件件制制造造厂厂的的数数据据根根据据以以往往的的记记录录有有以以下下件件制制造造厂厂提提供供的的的的元元件件是是由由三三家家元元某某电电子子设设备备制制造造厂厂所所用用例例8.,)2(试试求求这这些些概概率率是是多多少少家家工工厂厂生生产产的的概概率率分分别别需需求求出出此此次次品品由由三三为为分分析析此此次次品品出出自自何何厂厂次次品品若若已已知知取取到到的的是是元元件件在在仓仓库库中中随随机机地地取取一一只只解解,“取到的是一只次品”“取到的是一只次品”表示表示设设 a.家工厂提供的”家工厂提供的”“所取

21、到的产品是由第“所取到的产品是由第表示表示i)3 , 2 , 1( ibi,321的一个划分的一个划分是样本空间是样本空间则则sbbb,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321 bpbpbp且且.03. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 bapbapbap(1) 由由全概率公式得全概率公式得)()()()()()()(332211bpbapbpbapbpbapap .0125. 0 (2) 由由贝叶斯公式得贝叶斯公式得)()()()(111apbpbapabp 0125. 015. 002. 0 .24. 0 ,64. 0)()()()(222 apbpbapabp.1

22、2. 0)()()()(333 apbpbapabp.2 家家工工厂厂的的可可能能性性最最大大故故这这只只次次品品来来自自第第?,.%95,.%55,%98,概概率率是是多多少少机机器器调调整整得得良良好好的的品品时时早早上上第第一一件件产产品品是是合合格格试试求求已已知知某某日日机机器器调调整整良良好好的的概概率率为为时时每每天天早早上上机机器器开开动动其其合合格格率率为为种种故故障障时时而而当当机机器器发发生生某某产产品品的的合合格格率率为为良良好好时时当当机机器器调调整整得得明明对对以以往往数数据据分分析析结结果果表表解解,“产品合格”“产品合格”为事件为事件设设 a.“机器调整良好”“

23、机器调整良好”为事件为事件b则有则有,55. 0)(,98. 0)( bapbap例例9,05. 0)(,95. 0)( bpbp 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为)()()()()()()(bpbapbpbapbpbapabp 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率为整良好的概率为此时机器调此时机器调是合格品时是合格品时即当生产出第一件产品即当生产出第一件产品 上题中概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的, 叫叫做做先验概率先验概率. 而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后验概率后验概率.先验概率与后验概率先验概率与后验概率).(,005. 0)(,005. 0,.95. 0)(,95. 0)(,:,acpcpcapcapca试试求求即即的的概概率率为为设设被被试试验验的的人人患患有有癌癌症症进进行行普普查查现现在在对对自