曲线积分期末复习D10

1、曲线积分期末复习一、 对弧长的曲线积分的计算二、对坐标的曲线积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十章 三、格林公式四、曲线积分与路径无关的条件一、对弧长的曲线积分的计算一、对弧长的曲线积分的计算ttytx )()(xxxxy0 )()(rr 1. 基本方法第一类曲线积分 ( 对弧长 )(1) 若曲线由转化定积分参数方程：（3）若曲线由极坐标方程：(2) 若曲线由直角坐标方程：注意1：第一类曲线积分的上下限: 下小上大机动 目录 上页 下页 返回 结束 drrrrfdsyxfl)()()(,cos)(),(22dxxxxfdsyxfxxl)(1)(,),(20dtttttfdsyxf

2、l)()()(),(),(222、练习题、练习题 1、计算,dln22syxl其中l为下半圆周24xy解（法解（法1）：）： 利用极坐标 ,)0(2:rldd22rrs原式 =2ln22ln222ln00d2ln22ln222d2lds2ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式 lds2ln, 422 yx2lnln)(22yxyxf，lds2ln注意2：曲线积分的积分区域是关于x,y的等式，因而被积函数中的x,y满足积分曲线l的方程所以可直接代入化简积分因子。法法2： 曲线方程为原式 lds2ln2ln22ln2222、计算.22xayx,d22syxl)22(cos: arldd22r

3、rs其中l为圆周解解: 利用极坐标 ,da原式 =sxald22dcos22aa22a2coscoscoscos)(aarx3.计算 13422yxadsyxl)43(22且周长为解：由于积分曲线方程为其中l为椭圆13422yxdsyxl)43(22dsyxl)34(1222lds112a122222azyx0zyxdszyxl)(2224.设空间曲线l为曲线积分（ ） 提示：由于交线中有dszyxl)(2222222azyx所以2222),(azyxzyxf从而dsal232 a32 a)0( 222xryxdsyxl)43(22dtttrddtttrcdtttrbdtttra)sin4co

4、s3(. ;)sin4cos3(.;)sin4cos3(. ;)sin4cos3(.2223230223022302235.设l为左半圆周将曲线积分化为定积分的正确的结果是（ ）提示：直接套公式trytrxsin ;cos所以dtyxdstt22)()(dttrtr2222cossinrdtdyttrdsyxl23222322)sin4cos3()43(左半圆d二二、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的计算ldyyxqdxyxp),(),(dttttqtttp)()(),()()(),()()(tytx1. 基本方法第二类曲线积分( 对坐标 )转化定积分（1）曲线用参数方程表示（2）曲线

5、用直角坐标方程表示 确定积分上下限：“下始上终”机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xylyyxqxyxpd),(d),(xxxxqxxpbad)()(,)(, 1. 计算by dyyxq),(ldyyxq),(其中l为xoy平面 y =b上一段解解: 由于积分曲线为by 由公式化为定积分所以 0 , ),(dbbxqldyyxq),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 将代入 中，得02、练习,d2xyl0:,sin,costtaytaxxyld22. 计算其中 l 为(1) 半径为 a 圆心在原点的上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 a ( a , 0 )沿 x 轴到点 b (

6、 a , 0 ).解解: (1) 取l的参数方程为则ta202sinttad)sin(tdtadttacos)cos1 (sin023033033cos31costta334a,:, 0aaxy(2) 取 l 的方程为则xyld2aaxd00ttad)cos1 ( 3. 计算,dd)2(lyxxya其中l为摆线, )sin(ttax)cos1 (tay上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示提示:202dsinttta原式202sincosttta22 a)cos1 (tattattadsin)sin(yxxyadd)2(tttadsin2机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、格林公式yp

7、xq2)22(42xxdd2注意：（1）l为正向曲线ldyyxqdxyxp),(),(（2）具有一阶连续偏导数.2、练习、练习dypxqd)(的正向，则曲线积分),(),(yxqyxp（ ）dyxxdxyxy)4()22(2361892、；、；、；、dcba922 yx（1）设l取圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、c提示：由于原式=18(2). 计算dymyedxmyyeixlx)cos()sin(其中l 是从点)0 , 0()0 ,(oaa的上半圆周)0( 22aaxyx解：oalxxdymyedxmyye)cos()sin(dymyedxmyyexoax)cos()sin(0dm

8、dxdy283a机动 目录 上页 下页 返回 结束 dymyedxmyyeixlx)cos()sin(3.格林公式应用求面积格林公式应用求面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 正向闭曲线 l 所围区域 d 的面积lxyyxadd2120,sincos:byaxllxyyxadd21例如例如, 椭圆所围面积2022d)sincos(21abababllllydxdydxcxdybydxxdya. ;. ;. ;21.lydxxdy21dypxqd)(21（2）闭区域d是由简单闭曲线l（正向）所围下系列积分不等于d的面积的积分是( ) 提示：dd221dxqxdydl)0(dypxqydxdl)

9、(ddlydxdypxqd)(ddc.0ddlyqxp),(),(yxqyxp),(),(00ddyxyxlqdypdxyqxp四、曲线积分与路径无关的条件设d 是单连通域 ,函数在d 内具有一阶连续偏导数 则有xqypyqxpyxudd),(d1. 计算,d)(d)(22lyxyxyxi其中l 是沿逆时针方向以原点为中心,coyxabl解法解法1 令,22xyqyxp则xq这说明积分与路径无关, 故yxyxyxiabd)(d)(22aaxx d2332a1ypa 为半径的上半圆周.机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习解法解法2 ,ba它与l所围区域为d,coyxabldyxdd0yxyx

10、yxbad)(d)(22xxaad2d(利用格林公式)思考思考:(2) 若 l 同例2 , 如何计算下述积分:lyxyxyxid)(d) (2222ylyxyxyxid)(d)(2213332a(1) 若l 改为顺时针方向,如何计算下述积分:balyxyxyxid)(d)(22则添加辅助线段机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题解答思考题解答:lyxyxyxid)(d)(2213(1)ababldyxdd2)32(2aalyxyxyxid)(d) (2222y(2)lyxyxyxd)(d)(22lxy d2ttadsin303,sin,cos:taytaxl332a13223 a32a0: t332aicoyxabld机动 目录 上页 下页 返回 结束 sin)cos1 (:tayta