导数练习及答案

1、例1 .利用导数的定义，求出函数y=x + ；.的导数，并据此求函数在 x=1处的导数.yy丿例2求等边双曲线在点二处的切线斜率，并写出切线方程例3.设f(x)是定义在R上的函数，且对任何 X!, X2二R都有f(Xi+ X2)=f(x 1)f(X2)若f(0)匸0, zr -.(1) 求f(0)的值；(2) 证明：对任何x_R,都有 伽二八X).例4.求下列函数的导数: (1)'-<:(3) _I例5.求下列函数的导数:(2；X-1 .;1/(孟)=_/_/+(加+1例6若函数J 2在区间(1, 4)内为减函数，在区间(6, +：. I)上为增函数，试求实数 a的取值范围.例7

2、.已知函数=丨若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a,使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出 a的取值范围；若不存 在，说明理由.例8求下列函数的极值：例9.已知函数/ 1_-,且知当x= 1时取得极大值7,当x=3时取得极小值,试求函数f(x)的极小值，并求a,b,c的值.例10.设有一个容积 V 定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的 三倍，问：如何设计使总造价最小？1. 解析：利用导数的定义，结合求函数的导数的方法步骤进行计算.=lim 空空=叫 1- 一二 1- 丁从而.总结：求函数y=f(x)的导数可分如下三步:(1)求函

3、数的增量. ;；| ；3 二了(x+&)-/(" 求函数的增量与自变量的增量的比值;# = lim 叟(3)求极限，得函数.2. 解：函数f(x)图象上点P处的切线方程的求解步骤：先求出函数在点 V：儿；处的导数 J (即过点P的切线的斜率)，再用点斜式写出切线方程1_1丁y 二 lim 空二 Km 吐虹二=lim=-，.切线的斜率，.切线方程为 y 2= 4(x 1 )，即 4x+ y 4=0.注：求导数也可以直接用公式，这里只是说明公式的推导过3. 解析：本题主要考查用导数的定义求函数的导数的方法，以及函数极限的运算.(1) ， I I 1 '对任意二亠匚-都成立

4、，令，得 f(0)=f 2(0).Vff(0M,. lim二 1(2)对任何x二R,都有4. 解析：这些函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导 时，可直接利用四则运算法则和基本初等函数的导数公式求导. : -解法一：解法二：门二 12宀7/-12乳：7=120?-56?-72?.'y- -sin-(-cos-) = -sin x,r'.vf- (-sinx)f = cqsx2 2 .1 * 11 + yfx +1 y/x25. 解析：应用指数、对数函数的求导公式，结合函数四则运算的求导法则及复合函数的求 导法则进行求导(2) 设 _二卫_丄-12蜒”血2/ =(

5、罗)皿。別声=罗Ln 2丄1吧跟=-贝y匚.21ogaet x+L” 盂一1 质 x+Lx + l-x+1y =1馆2列,)=logx-l x + l x-1方法一：方法二：6. 解析：本题主要考查导数的概念和计算、应用导数研究函数单调性的方法，以及综合运用数学知识解决问题的能力解答本题时应先求出函数f(x)的单调区间，在求单调区间时，应对字母a进行讨论，把不符合题意的情况舍去.解：函数f(x)的导数一， ',令一 ，解得x=1或x=a 1 .当a件1即a . 2时，函数f(x)在区间(1 , *门)上为增函数，不符合题意；当 a 1>1时即a>2时，函 数f(x)在区间

6、(-00川 上为增函数，在区间(1 , a1上为减函数，在(a 1,血)上为增函 数.依题意应有：当：三(1 , 4)时， .1 - 11 ;当；V (6 , <)时，一.所以'，解得J巳气，即a的取值范围是5, 7.7. 解析：本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.(1)由已知' ； 八，f(x)在，： | 上是单调递增函数，/''：'： H在二刊)上恒成立，即匚'对匚恒成立.'"只需- 11，又 a=0 时，'！_ 1?; -f(x)=厂一丨在R上是

7、增函数， ' ： 11 由m-曲在(-1, 1)上恒成立得二厂,；三(一1, 1)恒成立'只需r：'' 当 a=3 时，丿二；1-丁 匚，在:迂( 1,1)上，二m,即f(x)在(1, 1)上为减函数，- .：故存在实数一 ，使f(x)在(1, 1)上单调递减.8. 解析：先求导数丨，再求方程丨=0的根，根据1 =0的根的左、右的值的符号求极值.-1&令”二0 ,解得列二-3阳二1.当x变化时，.i与y的变化情况如下表：x3(3,1)1+0一0+y极大值57极小值7 '当x= 3时，y有极大值57;当x=1时，y有极小值一7.(2)一'

8、" '-'：二：令“, 解得Xj 0,阳=3西5当x变化时，'与y的变化情况如下表：x0(0, 3)3(3, 5)5(5,血)+0+0一0+y无极值极大值1081极小值0.x=0不是y的极值点；x=3时，y有极大值108;x=5时，y有极小值0.9. 解析：由于工-:是关于x的一元二次方程，所以要重视韦达定理的重要作用./(x)二 X'1+ax2 +/+g二 3x2 + 2ax+b._时函数取得极大值，x=3时函数取得极小值,1, 3是方程 /fw = o 的根，即为方程一/的二根.由一元二次方程根与系数的关系有解得2 = _9 ,.f(i)=x!-3j?-9x+c . i|i.x= - 1时取得极大值 乙 解得c=2.函数 f(x)的极小值为:爲二3円二二2.10. 解析：桶的总造价要根据铁与铝合金的用量来定，由于二者单位面积的价格不同，在保持 铁桶容积不边的前提下，应当合理使用两种材料，才能保证总造价最小.设圆柱体高为h，底面半