第十一章函数展开成幂级数

1、函数展开成幂级数函数展开成幂级数 由于幂级数在收敛域内确定了一个和函由于幂级数在收敛域内确定了一个和函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。一、泰勒级数一、泰勒级数上节例题上节例题)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在幂级数在其收敛存在幂级数在其收敛域内以域内以f(x)为和函数为和函数问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯

2、一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?定理定理 1 1 如果函数如果函数)(xf在在)(0 xu 内具有任意阶导内具有任意阶导 数数, , 且在且在)(0 xu 内内能能展开成展开成)(0 xx 的幂级数的幂级数, , 即即 nnnxxaxf)()(00 则其系数则其系数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann 且展开式是唯一的且展开式是唯一的. . 证明证明即即内内收收敛敛于于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010逐项求导任意次逐项求导任意次,得得 10021)()(2)(nnxxnaxxaax

3、f )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得即得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系数泰勒系数泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的的展开式是唯一的xf 如果如果)(xf在点在点0 x处任意阶可导处任意阶可导, ,则幂级数则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)( 称为称为)(xf在点在点0 x的的泰勒级数泰勒级数. .nnnxnf 0)(!)0(称称为为)(xf在在点点0 x的的麦麦克克劳劳林林级级数数. .问题问题nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收

4、敛于f(x)? 不一定不一定.定义定义 0, 00,)(21xxexfx例如例如在在x=0点任意可导点任意可导,), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的麦氏级数为的麦氏级数为. 0)(),( xs内和函数内和函数该级数在该级数在).()(,0 xfxfx于于的麦氏级数处处不收敛的麦氏级数处处不收敛外外除除 定理定理 2 2 )(xf在点在点0 x的泰勒级数的泰勒级数, ,在在)(0 xu 内收内收敛于敛于)(xf在在)(0 xu 内内0)(lim xrnn. .证明证明必要性必要性,)(能展开为泰勒级数能展开为泰勒级数设设xf)()(!)()(000)(xrxx

5、ixfxfninii ),()()(1xsxfxrnn )()(lim1xfxsnn )(limxrnn)()(lim1xsxfnn ;0 充分性充分性),()()(1xrxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxrnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于定理定理 3 3 设设)(xf在在)(0 xu上有定义上有定义, ,0 m, ,对对),(00rxrxx , ,恒有恒有 mxfn )()(), 2 , 1 , 0( n, ,则则)(xf在在),(00rxrx 内可展内可展开成点开成点0 x的泰勒级数的泰勒级数. .证

6、明证明10)1()()!1()()( nnnxxnfxr ,)!1(10 nxxmn),(00rxrxx ,),()!1(010收敛收敛在在 nnnxx, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xrnn故故),(00rxrxx .0的泰勒级数的泰勒级数可展成点可展成点x二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(mxfrnnn 或或讨论讨论).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收则级数在收敛区间内收例例1.)(展开成幂级数展开成幂级数将将xexf 解解,)()(xn

7、exf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112, 0 m上上在在,mm xnexf )()(me nxxnxxe!1! 2112由于由于m的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx例例2.sin)(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x例例3.)()1

8、()(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xrxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 r若设若设内内在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)1()1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm 利用利用)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xxsxs .

9、 1)0( s且且两边积分两边积分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2注意注意: :.1的取值有关的取值有关处收敛性与处收敛性与在在 x);1 , 1(1 收收敛敛区区间间为为;1 , 1(11 收收敛敛区区间间为为.1 , 11 收收敛敛区区间间为为牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式有有时时当当,21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(6423142

10、1211132 nnxnnxxxx 1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx双阶乘双阶乘2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分,复合复合等方法等方法,求展开式求展开式.例如例如)(sincos xx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn1

11、 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x例例4处展开成泰勒级数处展开成泰勒级数在在将将141)( xxxxf).1()1()(nfx并求并求的幂级数的幂级数展开成展开成 解解)1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 xxxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是,31n .3!)1()(nnnf 故故三、小结三、小结1.如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰

12、勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法.思考题思考题什么叫幂级数的间接展开法？什么叫幂级数的间接展开法？思考题解答思考题解答 从已知的展开式出发从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数求出给定函数展开式的方法称之展开式的方法称之.练练 习习 题题一一、 将将下下列列函函数数展展开开成成x的的幂幂级级数数, ,并并求求展展开开式式成成立立的的区区间间: : 1 1、xa； 2 2、)1ln()1(xx ; ; 3 3、xarcsin； 4 4、3)1(1xx . . 二二、 将将函函数数3)(xxf 展展开开成成)1( x的的幂幂级级数数, ,并并求求展展开开式式成成立立的的区区间间 . . 三三、 将将 函函 数数231)(2 xxxf展展 开开 成成)4( x的的 幂幂 级级数数 . . 四四、 将将级级数数 11211)!12(2)1(nnnnnx的的和和函函数数展展开开成成)1( x的的幂幂级级数数 . . 练习题答案练习题答案一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111 xxnnxnnn； 3 3、)11()2()12()