第十一章多元函数微分学5

1、111.6 泰勒公式泰勒公式11.6.1 高阶偏导数高阶偏导数,222222yzxyzyxzxz 分分别别记记作作：若函数若函数 z=f(x, y)在区域在区域 d内每一点内每一点(x, y)处都有偏导数处都有偏导数,则则 fx(x, y), fy(x, y)仍是仍是x, y的函数的函数, 如果如果fx(x, y), fy(x, y)对对x与与 y的偏导数存在的偏导数存在, 则称它们为则称它们为 函数函数 z=f(x,y)的二阶的二阶偏导数偏导数, 有四个二阶偏导数有四个二阶偏导数:),()(22yxzxzxzxxx 即即),()(22yxzyzyzyyy 2注意注意: 一般地一般地),()(

2、2yxzyxzxzyxy ),()(2yxzxyzyzxyx .22xyzyxz 3例例1. 解解: .423的的二二阶阶偏偏导导数数求求xyyxz ,3422yyxxz ,46)3(324222yyxyyxyyxz ,6)3(242222xyyyxxxz ,46)42(32332yyxxyyxxxyz .122)42(233322xyxxyyxyyz ,4233xyyxyz 4例例2.证明证明:11:222满满足足方方程程函函数数证证明明zyxru )(. 0222222方方程程拉拉普普拉拉斯斯 laplacezuyuxu ,132222rxzyxxrxrruxu :,的的对对称称性性得得由

3、由函函数数对对自自变变量量zyx,31,315232252322rzrzuryryu . 0)(3352223222222 rzyxrzuyuxu,31)1(1)(52333322rxrxrrdrdxrrxxxu 5例例3. 解解:,121yfyfxz ,1)1()1(2221121122yyfyfyyfyfxz ,1222212211yffyf ),(11)(22221221221112fyxfxyfyfyxfxyfyxz fuvxxyyf 1uvxxyy.,),(222yxzxzfyxxyfz 求求具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数其其中中设设.122322111fyxfyfxyf 6例

4、例4. 解解: .),(的二阶偏导数的二阶偏导数所确定的函数所确定的函数求方程求方程yxzzxyzez ,),(xyzezyxfz 令令,xyeyzxyeyzffzzzzxx ,xyexzxyexzffzzzzyy 2)()()(xyeyzeyzxyeyzzzxzzxxx .)(2232232xyeezyzxyzeyzzz 7而而=2)()()(xyexzexzxyexzzzyzzyyy 2)()()(xyexzeyzxyeyzzzzyzzyxy 22222)(xyezyxxyzezezzz .)(2222232xyeezxyzxzexzzz 8作业作业 p246a. 4(3); 6; p 2

5、57a. 2; 3(4); 7(2); 8; 11; 911.6.2 泰勒公式泰勒公式当一元函数当一元函数 y=f(x)在在 x0处有处有 n 阶导数时阶导数时,则在点则在点 x0的某邻域内的某邻域内:200000)(! 21)()()(xxxfxxxfxfxf )()(!1000)(nnnxxoxxxfn 10定理定理 11. 为此邻域内为此邻域内 的任一点的任一点, 则有则有:的某一邻域内的某一邻域内在点在点设设),(),(00yxyxfz ),(,)1(00kyhxn 阶的连续偏导数阶的连续偏导数连续且有直到连续且有直到 ),()(),(),(000000yxfykxhyxfkyhxf

6、),()(!1.),()(! 2100002yxfykxhnyxfykxhn)10().,()()!1(1001 kyhxfykxhnn11其中记号其中记号 称为拉格朗日型余项称为拉格朗日型余项表表示示),()(00yxfykxhm . 1,.,3 , 2 , 1, ),(000 nmyxyxfkhcpmpmmppmppm).,()()!1(1001kyhxfykxhnrnn 12一阶泰勒公式为一阶泰勒公式为:是一元函数拉格朗日中值定理的推广是一元函数拉格朗日中值定理的推广.100000000)(),()(),(),(),(ryyyyxfxxxyxfyxfyxf ),(),(,00yxfyxf

7、f 故故)(),(2)(),(! 2100220221yyxxyxfxxxfr )(),(2022yyyf 1000000)(),()(),(ryyyyxfxxxyxf 13在带拉格朗日余项的在带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式中可以证明阶泰勒公式中可以证明: |rn| o( n )故故n 阶泰勒公式也可以写成阶泰勒公式也可以写成: ),()(),(),(000000yxfykxhyxfkyhxf)(),()(!1.),()(! 2100002nnoyxfykxhnyxfykxh 称为称为带皮亚诺余项的带皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式.,)0 , 0(),(00林林公公式式泰泰勒勒公公式

8、式又又称称为为麦麦克克劳劳时时当当 yx.)0 , 0()0 , 0()0 , 0(),(1ryyfxxffyxf 14例例1. 解解: 在点在点写出函数写出函数22252),(yxyxxyxyxf .)1, 1(阶阶泰泰勒勒公公式式处处的的带带皮皮亚亚诺诺余余项项的的二二 ,222,22524yxxyfyxyxfyx , 22, 22, 2203 yfxfxfxyyyxx, 6, 4, 2,)1, 1( yxfff处处在点在点, 4, 4,22 xyyyxxfff 2)1(22! 21)1(6)1(42),(xyxyxf.)1()1()1(4)1)(1(42222 yxoyyx1511.7

9、多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值定义定义 设函数设函数 z=f(x,y) 在点在点(x0,y0)的某邻域内有定义的某邻域内有定义, 如果对该邻域内的每一点如果对该邻域内的每一点(x,y), 都有都有: f(x, y)f(x0 ,y0), 则则 f(x, y)在点在点(x0 ,y0)处取到处取到极大极大(小小)值值 f(x0 ,y0), 而称点而称点 (x0 ,y0)为为f(x, y)的一个的一个极大极大(小小)值点。值点。11.7.1 多元函数的极值多元函数的极值在点在点(0, 0)处取到极小值处取到极小值 f(0,0)=1;221),(yxyxf 例如例如16 定理定理12. (极值

10、存在的必要条件极值存在的必要条件) 设函数设函数 z=f(x, y) 在点在点(x0, y0)具有偏导数具有偏导数, 且在该点处取到严格且在该点处取到严格(或非严格或非严格)的极值的极值, 则必有则必有: 证明证明: 因为因为z=f(x, y) 在点在点(x0 ,y0)处有极值处有极值, 当当 y保持不变恒取保持不变恒取 y0时时, 一元函数一元函数z=f(x, y0)在点在点 x0处也应有极值处也应有极值, 故应有故应有: , 0),(, 0),(, 0),(000000 yxfyxfyxfyx即即, 0),(00 yxfx. 0),(:00 yxfy同同理理应应有有0),(, 0),(:0

11、000 yxfyxfyx满足满足.),(的驻点的驻点的点称为的点称为yxfz 17故有结论故有结论:具有偏导数的多元函数的极值点必是驻点具有偏导数的多元函数的极值点必是驻点.反之反之, 多元函数的驻点不一定是极值点多元函数的驻点不一定是极值点.例如例如, z=f(x,y)=xy (马鞍面马鞍面) 在点在点(0, 0)处的两个偏导数处的两个偏导数都为零都为零,但点但点(0, 0)不是极值点不是极值点, 称为称为鞍点鞍点.18定理定理13. (极值存在的充分条件极值存在的充分条件) 设点设点(x0, y0) 是函数是函数 z=f(x, y) 的一个驻点的一个驻点, f(x, y)在点在点(x0,

12、y0)某邻域内某邻域内 有连续的二阶偏导数有连续的二阶偏导数, 则则 (1) 当当 h(x0, y0)0时时, 点点(x0, y0)为极值点为极值点, 此时此时, 若若 fxx(x0, y0)0, f(x0, y0)为极小值为极小值, 若若 fxx(x0, y0)0, f(x0, y0)为极大值为极大值;(2)当当 h(x0, y0)0, y0) 且满足约束条件且满足约束条件: 2x+2y=2p, 问题就是求函数问题就是求函数 v= x2y 在约束条件在约束条件: x+y p=0 下的最大值下的最大值, 作作 l(x, y, )= x2y+ (x+y p) )3(, 0)2(, 0)1(, 0

13、22pyxlxlxylyx 解解方方程程组组：,32,3)3(,2)2(),1(pxpyxy 得：得：代入代入得：得：由由40根据实际情况根据实际情况, 最大值一定存在最大值一定存在, 而点而点即当矩形的边长分别为即当矩形的边长分别为 x=2p/3, 和和 y=p/3 时时, 且绕且绕 y边旋转时边旋转时,所得所得圆柱体的体积最大圆柱体的体积最大,)32,3(是是唯唯一一的的临临界界点点pp.)32,3(处处取取到到最最大大值值pp.2742pv 故故 函数函数 v= x2y 必在点必在点,41当要求函数当要求函数 u=f(x, y, z) 在约束条件在约束条件 : 1(x, y, z)=0,

14、 2(x, y, z)=0下下 的的极值极值, 可构造函数可构造函数: l(x, y, z, 1, 2)= f(x, y, z)+ 1 1(x, y, z)+ 2 2(x, y, z)解方程组解方程组: , 0, 0, 0, 0, 02122112211221121 llflflflzzzzyyyyxxxx求出临界点求出临界点.42例例8试在旋转抛物面试在旋转抛物面: 6z=x2+y2 与椭圆柱面与椭圆柱面: x2+xy+y2=9 的交线上求出竖坐标最大与最小的点的交线上求出竖坐标最大与最小的点. 解解: 考虑用条件极值求考虑用条件极值求, 目标函数目标函数: f(x, y, z)= z, 约束条件为约束条件为: x2+y2 6z=0, x2+xy+y2 9=0, l(x, y, z, 1, 2)= z+ 1(x2+y2 6z) + 2(x2+xy+y2 9) )5(, 09)4(,06)3(, 061)2(, 0)2(2)1(, 0)2(222221212121yxyxlzyxllxyylyxxlzyx 43由由(1), (2) 解得解得: x= y, 代入代入(4)得得: z=1, 故得驻点故得驻点: )5(, 09)4( ,06)3(,061)2(, 0