曲线积分有曲面积分21140

1、一一. . 概念与性质概念与性质二二. . 计算法计算法三、应用三、应用一一.对弧长的曲线积分的概念与性质对弧长的曲线积分的概念与性质引例引例 非均匀曲线形构件的质量非均匀曲线形构件的质量xyoabl),(yx 设点设点),(yx处的处的线密度线密度为为(1) 将曲线将曲线 l任意分割成任意分割成 n 小段，小段，), 2 , 1( nisi 每一小段依次记为每一小段依次记为（同时表示小弧段的长度）（同时表示小弧段的长度）, ),( )2(iiis 任取点任取点iiiism ),( niimm1 )3( iiniis ),(1 ,max )4(1inis 记记iiniism ),(lim10

2、则则 ldsyx),( 0m1m1 imim1 nmnmis ),(ii 用点用点121, nmmm将将l任意分割成任意分割成n个小弧段个小弧段, 设第设第i个小弧段个小弧段的长度为的长度为), 2 , 1(nisi 任取点任取点,),(iiis ,max1inis 记记若极限若极限iiniisf ),(lim10 存在存在,定义定义 设设l为为xoy面内的一条光滑曲线弧，函数面内的一条光滑曲线弧，函数),(yxf在在l上有界上有界.则称此则称此极限值为函数极限值为函数),(yxf在曲线弧在曲线弧l上上对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分.记作记作,),( ldsyxf即即iiniilsfdsyx

3、f ),(lim),(10 ),(yxf被积函数被积函数注注第一类曲线积分。第一类曲线积分。 l积分弧段积分弧段. ),(,),(一定存在一定存在则则上连续上连续在在若若 ldsyxflyxf.),( , ldsyxfl则记作则记作是封闭曲线是封闭曲线若若无方向性无方向性性质性质;),(),(),(),().1( llldsyxgdsyxfdsyxgyxf;),(),().2( lldsyxfkdsyxkf构构成成，即即与与是是由由光光滑滑曲曲线线若若分分段段光光滑滑曲曲线线21).3(lll 12),(),(),(llldsyxfdsyxfdsyxf则则21lll 二二. 对弧长曲线积分的计

4、算法对弧长曲线积分的计算法定理定理 设曲线设曲线l的方程为的方程为)( )()( ttytx0)()(,)(),(22 tttt 上上有有一一阶阶连连续续导导数数，且且在在其其中中上上连连续续，则则在在函函数数lyxf),(dtttttfdsyxfl )()()(),(),(22若曲线若曲线l由方程由方程)(),(bxaxy 给出给出,则则dxxxxfdsyxfbal)(1)(,),(2 若曲线若曲线l由方程由方程)( , )(dycyx 给出给出,则则dyyyyfdsyxfdcl1)(),(),(2 若空间曲线若空间曲线 由参数方程由参数方程)( , )()()( ttztytx给出给出,d

5、tttttttfdszyxf )()()()(),(),( ),(222注注1、下限小于上限下限小于上限.推广：推广：注注2、把曲线的方程带入曲线积分把曲线的方程带入曲线积分例例1 计算计算 1 , 10 , 0 ,2到到点点上上由由点点是是抛抛物物线线其其中中xyldsyl 的一段弧的一段弧.oxy(1,1) dsyldxxx 1022)2(1dxxx 10241)41()41(81221102xdx 12155)41(12110232 x解解例例2)0( 2 , 2222 aaxyxldsyxl为为圆圆周周计计算算将曲线将曲线l化为参数式方程化为参数式方程: )20( sincos aya

6、ax22yx a ldsyx22 ada )cos1(2202 022cos4da28a 解解xyo yxm,a da 2cos2202 例例3 计算计算2 ,xyxylxdsl 及抛物线及抛物线为由直线为由直线其中其中所围区域所围区域的整个边界的整个边界.xyo(1,1)11l2l解解21lll 21lllxdsxdsxdsdxxxdxx 10210)2(1210232)41(328122x )12655(121 例例4 计算计算)1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(,)(baoldsyxl为以为以其中其中 为顶点的为顶点的三角形周界三角形周界.解解 aboboaldsyxdsyxd

7、syxdsyx)()( )()( 10 xdxdx 102 10ydy21 oabxy1 yx例例5 计算计算 ,)(222dszyxil 其中其中l为螺旋线为螺旋线)20( ,sin,cos tktztaytax解解22222222)cos()sin(kaktatazyx 2022222222)sincos(dtkatktatai 2022222)(dttkaka 20322223 tktaka)43(3222222kaka 三三、类似于二、三重积分中求薄片及物体的重心和转动惯量，类似于二、三重积分中求薄片及物体的重心和转动惯量，则则l的的重心重心和对和对x轴及轴及y轴的轴的转动惯量转动惯量

8、分别为：分别为： ldsyxxmx,1 ldsyxymy,1 lxdsyxyi,2 设设xoy面上的曲线弧面上的曲线弧 l在点在点(x,y)处的线密度为处的线密度为 , yx lydsyxxm, lxdsyxym, 静距为：静距为： lydsyxxi,2 ldsyxm, 曲线弧的的质量为：曲线弧的的质量为：l对对x轴及轴及y轴轴转动惯量转动惯量分别为：分别为： dszyxxmx,1 dszyxymy,1 dszyxzyix,22 dszyxzxiy,22设空间上的的曲线弧设空间上的的曲线弧 ,zyx 在点在点(x,y,z)处的线密度为处的线密度为 的的重心重心和对和对x轴、轴、y轴及轴及z轴的

9、轴的转动惯量转动惯量分别为：分别为：则则 dszyxyxiz,22 dszyxzmz,1推广：推广： dszyxxmx, dszyxymy,静距为：静距为： dszyxzmz,l对对x轴、轴、y轴及轴及z轴的轴的转动惯量转动惯量分别为：分别为： dszyxm,曲线弧的的质量为：曲线弧的的质量为：例例6 计算半径为计算半径为 r, 中心角为中心角为 2的圆弧的圆弧l的重心及对于其对称轴的重心及对于其对称轴的转动惯量的转动惯量)1( 建立坐标系如右图所示建立坐标系如右图所示:xyor ll的参数式方程为的参数式方程为:)( sincos ryrx(1) 重心重心: 由对称性知由对称性知0 y ll

10、dsxdsx rxdsl2 drrrr22)cos()sin(cos21 drcos2 sinr dsyilx 2 ).2( rdr 22sin)cossin(22sin303 rr解解一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 yxozs),(zyx is ),(iii 01( , , ) slim(,)niiiiif x y z dfs 二、二、 对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法 22( , , ) s , , ( , ) 1xydzzf x y z df x y z x ydxdyxy一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引

11、例引例 曲面形构件的质量曲面形构件的质量.yxozs),(zyx 1).将曲面将曲面s任意分割成任意分割成n小块小块:.,21nissss ( 也表其面积也表其面积)is is ),(iii 2).任取点任取点,),(iiiis ), 2 , 1( ,),(nismiiiii 3).作和作和 niimm1 iiiniis ),(1 4).取极限取极限.令令max1的直径的直径inis niiiiism10),(lim sdszyx),( 设函数设函数),(zyxf在光滑曲面在光滑曲面 上有界上有界,任取点任取点,),(iiiis 作作;),(1iiiniisf 记记max1的直径的直径inis

12、 , 若极限若极限iiiniisf ),(lim10 存在存在,则称此极限值为函数则称此极限值为函数),(zyxf在曲面在曲面 上上对面积的曲面对面积的曲面积分积分(或第一类曲面积分或第一类曲面积分). 记作记作 dszyxf),(即即iiniiisfdszyxf ),(lim),(10 若若 为封闭曲面为封闭曲面,记作记作 dszyxf),(当当在在。上上连连续续时时，曲曲面面积积分分存存在在光光滑滑曲曲面面 ),(zyxf性质性质 具有与对弧长的曲线积分相似的性质具有与对弧长的曲线积分相似的性质.定义定义), 2 , 1(nisi (同时用同时用is 表示第表示第i小块曲面的面积小块曲面的

13、面积); 任意分割成任意分割成n小小把把块块二、二、 对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法定理定理 设光滑曲面设光滑曲面; ),(:xydxoyyxzz面面投投影影区区域域为为在在 则则dxdyyzxzyxzyxfdszyxfxyd221),(,),( xyz),(:yxzz xydi is dyzxzsii 221iiiyiixzz ),(),(122 函数函数 在在),(zyxf上连续，上连续，xyd上有一阶连续偏导上有一阶连续偏导.),(yxzz 在在iiniiisfdszyxf ),(lim),(10 二重积分的中值定理二重积分的中值定理 dszyxf),(iiiniisf

14、 ),(lim10 iiiyiixiiiniizzzf ),(),(1),(,lim2210 dyxzyxzyxzyxfyxdxy),(),(1),(,22 若若),(:zyxx 若若),(:zxyy yzdzydydzxxzyzyxfdszyxf221,),(),( dxdzyyzzxyxfdszyxfxzdzx 221),(,),( 解解xydxyz2222:hayxdxy zdsdxdyyzxzyxaxyd 2222211dxdyyxaayxaxyd2222221 xydyxadxdya222drrardaha 2202220 22022)ln(212haraa haa ln2 计算计算

15、)0(,2222ahhzazyxzds 被平面被平面是球面是球面 截出的顶部截出的顶部.例例1例例2 计算计算2 1 ,)(22 zzyxzdszyx及及界界于于平平面面是是锥锥面面 之间的部分之间的部分.zxy解解41:22 yxdxy221yxzz 2222221yxyyxx 2 dszyx)(dxdyyxyxxyd 2)(22dxdyyxxyd 222 21202rrdrd 3214 例例3 计算计算1, 0, 0, 0 , zyxzyxxyzds由平面由平面 所围所围四面体的整个边界曲面四面体的整个边界曲面.设设在平面在平面分别表示分别表示 ,4321 , 0, 0 yx.1, 0上的

16、部分上的部分 zyxz4321 xyzds 4321 xyzdsxyzdsxyzdsxyzds 4 xyzds,1:4yxz 1010:xxydxyxyo11 xyzds 4 xyzdsdxdyyxxyxyd 3)1( xdyyxyxdx1010)1(31203 xyz1 2 3 4 解解解解,:22yxz axyxdxy2:22 221 yzxz2222221yxyyxx 2 dxdyyxxyxyxyixyd2)(2222 dxdyyxxd 12222(因因 关于关于x 轴对称轴对称)xyd cos2020cos22ardrrrd da 2044cos416cos223524284 a415264a xyz例例4 被被柱柱面面为为锥锥面面