小专题十二与圆的切线有关的计算与证明

1、小专题(十二)与圆的切线有关的计算与证明1 如图，I是厶ABC的内心，/ 1 + Z 2= 65 °，求/ BAC的度数.2.(黄石中考)如图，O O的直径AB = 4,/ ABC = 30°, BC交O O于D , D是BC的中点.(1) 求BC的长；过点D作DE丄AC,垂足为E,求证：直线 DE是O O的切线.3.如图，AB = BC,以AB为直径的O O交AC于点D，过D作DE丄BC,垂足为 E.(1) 求证：DE是O O的切线；(2) 作DG丄AB交O O于G,垂足为F,若/ A = 30°, AB = 8,求弦DG的长.如图所示，MN是O O的切线，B为

2、切点，BC是O O的弦且/ CBN = 45°,过C的直线与O4.A , D两点，过C作CE丄BD于点E.(1) 求证：CE是O O的切线；(2) 若/ D = 30°,BD = 2 + 2.3,求O O 的半径 r.5.已知直线(1) 如图(2) 如图I 与O O,1, 当直线2, 当直线AB是O O的直径，AD丄I于点D. 与O O相切于点 与O O相交于点C时，若/ DAC = 30°，求/ BAC的大小;6.占八、如图，OE,连接 AD , CD.(1) DE与O O的位置关系是_(2) 求厶ADC的内切圆半径 r.O是边长为6的等边 ABC的外接圆，点D

3、为BC的中点，过点D作DE / BC ,DE交AC的延长线于ED7.(桂林中考)如图，四边形 ABCD是O O的内接正方形，AB = 4, PC, PD是O O的两条切线，C, D为切点.(1) 如图1,求O O的半径；(2) 如图1,若点E是BC的中点，连接 PE，求PE的长度；(3) 如图2,若点M是BC边上任意一点(不含B , C)，以点M为直角顶点，在 BC的上方作/ AMN = 90°，交 直线CP于点N，求证：AM = MN.参考答案1. v I是厶ABC的内心，1 1 / 1ABC，/ 2=二/ACB.2 ' 21/ 1 + / 2=只/ ABC +Z ACB)

4、./ 1 + Z 2= 65°,/ ABC + Z ACB = 65°X 2 = 130° ./ BAC = 180° - (/ABC +Z ACB) = 180° 130°= 50° .2. (1)连接 AD ,/ AB为O O的直径，/ ADB = 90° 又/ ABC = 30°, AB = 4, BD = 2.3./ D为BC的中点， BC = 2BD = 4 3.(2)证明：连接 DO ,/ D, O分别为BC , AB的中点， DO是厶ABC的中位线. DO / AC.又 T DE 丄 AC

5、, DO 丄 DE.又点 D 在O O 上,直线DE是O O的切线.3. 证明：(1)连接OD./ OA = OD , / A = Z ODA.又 T AB = BC, / A = Z C. / ODA = Z C. DO / BC ,t DE 丄 BC , OD丄DE.又点D在O O 上, DE是O O的切线.(2)t/ A = 30°, / DOF = 2 / A = 60° .又1DG 丄 AB，且 OD = 2AB = 4,1二 0F= 2OD = 2. DF = DO2 OF2=42-22= 2 3, DG = 2DF = 4 3.4. (1)证明：连接 OB ,

6、 OC./ MN是O O的切线， OB 丄 MN./ CBN = 45°,/ OBC = 45°,/ BCE = 45° ./ OB = OC,/ OBC = / OCB = 45° ./ OCE = 90° .又点C在O O 上, CE是O O的切线.(2) / OB 丄 BE , CE 丄 BE, OC 丄 CE ,四边形BOCE是矩形，又OB = OC,四边形BOCE是正方形. BE = CE = OB = OC= r.在 Rt CDE 中，/ D = 30°, CE = r, DE =3r./ BD = 2 + 2 3, r

7、+ 3r = 2+ 2 3, r = 2，即O O的半径为2.5. (1)连接 OC.直线l与O O相切于点C, OCX l，得/ OCD = 90° 由 AD 丄l，得/ ADC = 90° . AD / OC, / ACO = / DAC.在O O 中，由 OA = OC ,得/ BAC = / ACO , / BAC = / DAC = 30° .(2)连接 BF./ AEF 为 Rt ADE 的一个外角，/ DAE = 18°, / AEF = / ADE +/ DAE = 90°+ 18°= 108° .在O O中

8、，四边形 ABFE是圆内接四边形，有/ AEF + / B = 180° . / B = 180° 108°= 72° .由AB是O O的直径，得/ AFB = 90 ° . / BAF = 90°/ B = 18° .6. (1)相切 (2) / D为BC的中点时，有BD = DC , / BAD =/ DAC = 30°，又AB = AC , AD垂直平分 BC , AD为O O的直径. / ACD = 90° .在 Rt ACD 中，/ DAC = 30°，设 DC = x，贝U AD =

9、 2x.由勾股定理得 AD2= DC2+ AC2,即(2x)2= x2 + 62.解得 x = 2 .3. DC = 2 .3. AD = 2DC = 4百.作 Rt ADC 的内切圆O O',分别切 AD , AC , DC 于 F, G, H 点，易知 CG= CH = r, AG = AF = 6 r, DH = DF = 2 3 r.AF + DF = AD ,6 r + 2寸 3 r= 4：3. r = 3 3.7. (1)连接 BD ,四边形ABCD是O O的内接正方形，/ BAD = 90°, BD 为O O 的直径.在 RtAABD 中，/ BAD = 90&

10、#176;, AB = AD = 4, BD = AB 2+ AD2=42+ 42= 4 2.O O 的半径为 2.,2(2)连接 EO, OC, OP, PC, PD是O O的两条切线，C, D为切点， / ODP = Z OCP = 90° .四边形ABCD是O O的内接正方形， / DOC = 90°, OD = OC,四边形DOCP是正方形， OP= OD2+ PD2= (2=2) 2+( 2'：2 2= 4,z POC= 45° .点E是BC的中点，11 11 OE丄 BC , EC= 2BC = 2X 4 = 2, OE= ?DC = ? X 4= 2. / EOC = 45° . / EOP= 90° .在 Rt OPE 中，/ EOP= 90° , OE= 2, OP = 4, PE= OE2 + OP2= 2 5.证明：在 AB上截取AF = MC，连接 OC、OD./ AB = BC , BF = BM./ B = 90°, / BFM =Z BMF = 45° . / AFM = 135 ° .又在正