常微分方程建模教学大纲

1、常微分方程建模教学大纲常微分方程教学大纲一、计划学时：72课时二、适用专业：数学与应用数学（师范类）（本、 专科）、信息与计算科学（本）三、课程性质与任务：常微分方程是高等师范院校数学与应用数学 专业及信息与计算专业的基础课之一。 本课程主 要学习各种基本类型的常微分方程解的性质、 方 程的解法及其某些应用。通过该课程的学习，使 学生正确理解常微分方程的基本概念，、深入掌握 基本理论和主要方法，具有一定的分析问题和解 决问题的能力，为学习本课程的近代内容与后继 课程打下基础。在本课程的学习中，通过对数学 分析、咼等代数、解析几何和简单的力学、电学 等知识的应用，使学生对已学过的知识得到巩固 与

2、深化；通过该课程的学习4使学生了解常微分 方程可应用于工程技术，现代科学与中学数学的 某些问题，从而有助于树立学生的数学来源于实 践又服务于实践的辩证唯物主义观点。四、目的要求：通过对该课程的教学，使学生掌握某些特殊 类型微分方程（组）的初等解法和一般线性微分 方程（组）的求解方法及其相关理论，为对非线性 微分方程的求解打下一定的基础。 同时，使学生 能够应用数学手段去研究和解决自然现象与经 济建设中的一些具体问题。五、课时安排：总课时：72课时第一章初等积18课分法时第二章基本定14课理时第三章一阶线性12课微分方程组时第四章n阶线性18课微分方程时第五章定性和稳10课定性理论简介时六、课程

3、教学重点与难点：重点：基本概念与基本技能的掌握。难点：计算技巧的掌握、证明题。七、课程教学方法与要求本课程以课堂讲授为主，答疑为辅，学 生必须完成一定的作业量。八、课程考核方法与要求本课程考核以笔试为主，主要考核学生 对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻 辑推理能力和计算能力。平时成绩占20%，期末成绩占80%。九、教学内容纲要第一章初等积分法亠、教学目的:了解微分方程的产生背景，学习常微分方程 课程的意义，知道一阶微分方程的初等解法的含 义；清楚变量可分离方程、可化为变量分离方程、 一阶线性方程、恰当方程与一阶隐式方程的基本 形式和可用降阶法求解的高阶微分方程的类型； 掌握可用初等解法

4、求解的方程的基本类型及其 相应的求解方法二、主要内容第一节微分方程和解4课时1、微分方程2、通解与特解3、初值问题4、积分曲线5、初等积分法第二节变量可分离方程2课时1、显式变量可分离方程的解法2、微分形式变量可分离方程的解法 第三节齐次方程、2课时1、齐次方程的解法2、第二类可化为变量可分离的方程 第四节 一阶线性微分方程2课时1、一阶线性非齐次方程的通解2、伯努利(Bernoulli )方程 第五节全微分方程及积分因子2课时1、全微分方程2、积分因子第六节一阶隐式微分方程2课时第七节 几种可降阶的高阶方程1课时1、第一种可降阶的高阶方程2、第二种可降阶的高阶方程3、恰当导数方程第八节一阶微

5、分方程应用举例3课时1、等角轨线2、动力学冋题3、电学问题4、光学问题5、流体混合问题三、基本要求1. 理解线性方程与非线性方程，阶，解（通 解，特解，隐式解），初值条件，初值问 题等概念。2. 熟练掌握可分离变量的方程，齐次方程， 一阶线性方程；伯努力方程，全微分方 程的求解方法。3 掌握常数变易法，记住一阶线性方程的 通解表达式。4 .了解变量变换和积分因子在求解微分方 程中的作用，会作简单的变量变换和会 用简单的积分因子解微分方程。5理解方向场和积分曲线的关系。6 掌握克莱洛方程的解法，了解奇解的意 义。7 .熟练掌握 d 2 y / dx 2 =f（x，dy/dx），d2 y/dx 2

6、 =f（y，dy/dx）的降阶法。&会用已有知识建立常微分方程及其相应的条件解决简单的几何、物理问题。第二章基本定理亠、教学目的:清楚讨论一阶微分方程解的存在与唯一性 的作用和意义，理解一阶方程解的存在与唯一 性、解的延展性及解对初值的连续依赖性与可微 性定理的内容；掌握微分方程解的存在及唯一性 的判定方法，解的延拓方法和比较定理的应用， 会用毕卡逐次逼近法求方程的近似解并能够进 行误差估计，能够求出方程的奇解。1、主要内容第一节2常微分方程课几何解释1、线素场、2、欧拉折线3、初值问题解的存在性第二节解的存在唯一性定定理4课时1、存在性与唯一性定理的叙述、存一性的牆、节解的延展3课时

7、1、延展解、不可延展解的定义2、不可延展解的存在性3、不可延展解的性质4、比较定理第四节 奇解与包络、3课时1、奇解2、不存在奇解的判别法3、包络线与奇解的求法第五节解对初值的连续依赖性和解对初 值的可微性2 课时三、基本要求1 熟练掌握毕卡逐次逼近法，并用它证明 一阶常微分方程初值问题解的存在唯一 性定理。2了解右端函数连续保证初值问题解的存 在性。李普希茨条件保证初值问题解的 唯一性这些事实。3. 理解初值问题解的存在唯一性定理中解 的存在区间的意义，理解解的延展概念, 理解延展定理的含义（不要求掌握证 明）。4. 掌握贝尔曼不等式及其简单应用。5、理解解对初值的连续依赖性定理和解对 初值

8、的可微性定理的含义（不要求掌握 它们的证明）。6 .掌握微分方程组初值问题解的存在唯一,性 定理7.掌握将高阶微分方程化成等价的微分方程 组的方法，会将方程组中的结果移植到相应的高 阶方程中去。第三章一阶线性微分方程组一、教学目的：熟悉常微分方程组的向量与矩阵表达方式， 了解一阶微分方程组解的存在唯一性定理的内 容，能够叙述并会应用定理的主要结论；知道一 阶微分方程组与高阶方程的互化的方法； 理解向 量函数组线性相关、线性无关和朗斯基行列式等 有关概念，进而掌握齐次方程组的一组解的线性 相关、线性无关的充要条件和线性方程组的通解 结构，并能用常数变易法求非齐次方程组的特 解；掌握常系数线性微分

9、方程组的待定指数法与 矩阵指数法等求解方法；根据特征根的重数，正 确的设定所求解的形式，并准确的计算出通解； 当特征根是复数时，能够由复值解得出相应的实 值解。二、主要内容：第一节一阶微分方程组1课时第二节一阶线性微分方程组的一般概念1课时第三节 一阶线性齐次方程组的一般理论3课时第四节 一阶线性非齐次方程组的一般理 论1课时1、通解结构 常数变易法2、第五节常系数线性微分方程组的解法6课时的特征根均为单根的情形2、矩阵 的特征根有重根的情形1、矩阵常系数线性齐次方程的稳定性4、常系数线性非齐次方程的求解、基本要求1 熟悉线性方程组的矩阵表达形式，以及 相应结果的向量、矩阵的表示。2 熟练掌握

10、高阶线性微分方程组初值问题 解的存在唯3.熟练掌握线性齐次方程组解的叠加性质, 理解线性相关、线性无关、朗斯基行列 式的3、性定理，要注意解的存在区间。概念并掌握它们之间的关系，熟练 掌握线性齐次方程组通解定理4 理解线性非齐次方程组不同非齐次项所 的解的叠加原理，熟练掌握线性齐 程组的通解结构定理，掌握线性非 方程组的常数变易法。对应次方齐次5. 了解常系数线性齐次方程组的通解形式, 熟练掌握二维常系数线性齐次方程组的解法6. 掌握二维常系数线性非齐次方程组的解法。7了解刘维尔公式第四章n阶线性微分方程 一、教学目的：清楚高阶线性齐次方程的一组解的线性相 关与线性无关的充要条件，齐次方程与非

11、齐次方 程的通解结构；能够运用待定指数函数法求解常 系数齐次线性方程和待定系数法求解常系数非 齐次线性方程；掌握应用常数变易法、比较系数 法与拉普拉斯变换法求一般非齐次方程的特解 方法；能够用幂级数解法求一般二阶线性方程； 会用降阶法求一些特殊类型的高阶方程，并知道 每一种解法所适用的范围和方程的类型。:、主要内容：第一节41、线性微分方程的一般概念 阶线性齐次微分方程的一般理论 亠阶线性非齐次微分方程的一般理论第二节4阶线性微分方程的一般理论2、3、2、阶常系数课性齐次方程的解法征根有重根 节41、第一类型非齐次方程特解的待定系数解法第三节阶常系数课性非齐次方程的解法2、第二类型非齐次方程特

12、解的待定系数解法 第四节二阶常系数线性方程与振动现象2课时1、间谐振动一一无阻尼自由振动2、阻尼自由振动3、阻尼强迫振动 第五节拉普拉斯变换2课时1、拉普拉斯变换的定义与性质2、用拉普拉斯变换求解初值问题 第六节幂级数解法大意2课时三、基本要求：1 .熟练掌握高阶线性微分方程初值问题解 的存在唯一性定理，要注意解的存在区间。2. 熟练掌握线性齐次方程解的叠加性质， 理解线性相关、线性无关、朗期基行列 式的概念并掌握它们之间的关系，熟练 掌握线性齐次方程通解定理。3. 理解线性非齐次方程不同非齐次项所对 应的解的叠加原理，熟练掌握线性非齐 次方程的通解结构定理，掌握二阶线性 非齐次方程的常数变易

13、法。4. 会解高阶常系数线性齐次方程，熟练掌 握二阶常系数线性齐次方程的解法。5. 掌握非齐次项为：f(x)=Pm(x)eax ，f(x)=eaxAsin px，f(x)=eax Asin pxBcos p xf(x)=Pm(x) Asin p xBcos px的线性齐次方程的解法。6. 了解刘维尔公式，对于二阶线性齐次方 程，知道一个非零解会利用刘维尔公式 求方程的通解。第五章定性和稳定性理论简介一、教学目的：二、主要内容：第一节稳定性概念2课时第二节李雅普诺夫第二方法2课时第三节 平面自治系统的基本概念2课时1、 相平面、相轨线与相图2、平面自治系统的三个基本性质3、常点、奇点与闭轨第四节

14、平面定性理论简介4课时1、线性系统初等奇点附近的轨线分布2、平面非线性自治系统初等奇点附近的轨 线分布"3、极限环的概念4、极限环的存在性与不存在性三、基本要求：1 .理解相平面、奇点、轨线等概念，理解 轨线的性质2 能熟练地用方程的系数确定二维自治线 性系统的初等奇点的类型和稳定性，了 解它们的相图。3.对裴戎（perron）定理只要求了解它的条 件和结论，会用裴戎定理判别奇点的类 型和稳定性。4 对于极限环只要求通过例子了解它的概 念。5 .理解李雅普诺夫关于解的稳定、渐近稳 定、不稳定的概念6 掌握自治系统关于零解稳定性的一次近 似定理。7. 理解自治系统的李雅普诺夫函数的概念， 理解自治系统的李雅普诺夫第二方法关 于零解稳定，渐近稳定的定理。8会构造简单的李雅普诺夫函数判断自治 系统零解的稳定和渐近稳定。十、教材与