数列与极限13

1、第三节第三节 函数的极限函数的极限一、函数极限的概念一、函数极限的概念二、函数极限的性质二、函数极限的性质1.自变量自变量 函数的极限函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 a.0 xx 例1 设有函数 。定点 。不难看出，当 ，对应的函数值 无限接近于5 然而，譬如说对于函数 12 xxf20 x0 xx 2, 12, 12xxxxg或者对于函数 , 2, 12 xxxh不难看出，当 时，对应的函数值 或者 依然无限接近于常数50 xx xg xh 21fxx例2 设有函数 ，定点 ，不难看出，

2、当 时，对应的函数值的绝对值无限制地增大，不能无限接近于任何一个确定的常数 11 xxf10 x0 xx 11 xxf定义1 设函数 在点 的一个去心领域 内有定义。如果当 时，函数值 无限接近于某个确定的常数a,那么就称当 时函数 的极限是a，亦称函数 在点 的极限是a，记为 xf0 x 0 xu0 xx xf0 xx xf xf0 x ;lim00 xxaxfaxfxx 或者或者如果这样的常数a不存在，就称当 时函数 没有极限，亦称函数 在点 处没有极限，习惯上也常常表达为 不存在。0 xx xf xf0 x xfxx0lim定义定义2 设函数设函数 在点在点 的一个左领域内有定义。的一个

3、左领域内有定义。如果当如果当 时，函数值时，函数值 无限接近于某确定无限接近于某确定的常数的常数a,那么称为那么称为 时，函数时，函数 的左极限是的左极限是a，亦称函数，亦称函数 在点在点 处的左极限是处的左极限是a,记为记为 xf0 x 0 xx xf 0 xx xf xf0 x axfaxfxx 00lim或者或者定义定义2 设函数设函数 在点在点 的一个右领域内有定义。的一个右领域内有定义。如果当如果当 时，函数值时，函数值 无限接近于某确定无限接近于某确定的常数的常数a,那么称为那么称为 时，函数时，函数 的右极限是的右极限是a，亦称函数，亦称函数 在点在点 处的右极限是处的右极限是a

4、,记为记为 xf0 x 0 xx xf 0 xx xf xf0 x axfaxf0 xx0 或者或者lim左极限与右极限称为单侧极限左极限与右极限称为单侧极限.2.几何解释几何解释:)(xfy aaa0 x0 x0 xxyo0,( ),2.xxyf xya 当当 在在 的的去去心心 邻邻域域时时 函函数数图图形形完完全全落落在在以以直直线线为为中中心心线线宽宽为为的的带带形形区区域域内内注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf2. 与与任任意意给给定定的的正正数数 有有关关.,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 000: lim( )(

5、)().xxf xaf xf xa定定理理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 o00limlimxxxxxx 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6证证0lim( 1)1x 00limlimxxxxxx 0lim11x .sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放2.自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 a. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx

6、通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:定义定义3 记为记为在无穷远处的极限是在无穷远处的极限是，并称函数，并称函数极限是极限是的的时，函数时，函数，那么，就称当，那么，就称当的常数的常数无限接近于某个确定无限接近于某个确定时，函数值时，函数值当当。如果。如果大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义当当设函数设函数,axfaxfxaxfxxxf lim.xfxafxa x 或或者者类似于函数类似于函数 在在 处的左、右极限，我们有处的左、右极限，我们有 xf0 x定义定义4 记为记为限是限是的极的极时，函数值时，函数值，那么就称当，那么就称当常数常数无限接近于某个确定的无限接近于某个确定

7、的时，函数值时，函数值，如果当，如果当大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义当当设函数设函数,axfxaxfxxxf lim;xfxafxa x 或或者者 记为记为限是限是的极的极时，函数值时，函数值，那么就称当，那么就称当常数常数无限接近于某个确定的无限接近于某个确定的时，函数值时，函数值，如果当，如果当小于某一负数时有定义小于某一负数时有定义当当设函数设函数,axfxaxfxxxf lim.xfxafxa x 或或者者定义类似地，我们有定义类似地，我们有 axfaxfaxfxxx limlimlim且且的的充充分分必必要要条条件件是是命题命题2例例6 1011lim0,0 xxfxxyy

8、xx 由由于于当当时时，函函数数值值无无限限接接近近于于 ，所所以以有有以以及及直直线线是是曲曲线线的的一一条条水水平平 渐渐近近线线. :.10情形情形x.)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xaxfx )(lim.)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当axfx )(lim2.另两种情形另两种情形: axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limaxfaxfxx 且且xxysin 3.几何解释几何解释: x x.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 ayxfyxxxx

9、axxysin 例例1. 0sinlim xxx证明证明证证xxxxsin0sin x1 x1 , ,0 ,1 x取取时恒有时恒有则当则当xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfycycxfx 二、函数极限的性质二、函数极限的性质1.有界性有界性定理定理 若在某个过程下若在某个过程下, ,)(xf有极限有极限, ,则存在则存在过程的一个时刻过程的一个时刻, ,在此时刻以后在此时刻以后)(xf有界有界. .2.唯一性唯一性定理定理 若若)(limxf存在存在,则极限唯一则极限唯一.推论推论0000lim( ), lim( ),0,(, ),( )( ).xxxxf xag xbabxu xf xg x 设设且且则则有有3.不等式性质不等式性质定理定理( (保序性保序性) )0000lim( ), lim( ).0,(, ),( )( ),.xxxxf xag xbxu xf xg xab 设设若若有有则则000lim( ),0(0),0,(, ),( )0( )0).xxf xaaaxu xf xf x若若且且或或则则当当时时或或定理定