希望杯复赛数论题大合集涵括历年数论题及详细解析

1、希望杯复赛数论题大合集 历年数论题及详细解析）（涵括奇数与偶数质数与合数约数与倍数1. （2006年希望杯第四届四年级二试第 7题，4分）一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正 要分桃时，又来了 4只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的 桃子数量相同，那么最后每只猴子分到 个桃子。解答：56的因数有1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56,其中只有4和8相差4, 所以最后有猴子8只，每只猴子分到56宁8二7个桃子。2. （2007年希望杯第五届四年级二试第 4题，5分）在 2 2 4 , 3 3 9 , 4 4 16 , 5 5 25, 6

2、6 36 , 等这些算是中，4, 9, 16, 25, 36,叫做完全平方数。那么，不超过 2007的最大 的完全平方数是。解：45 X 45=2025; 44 X 44=1936,所以最大的是 1936.整除3. （2008年希望杯第六届四年级二试第15题）连续写出从1开始的自然数，写到2008时停止，得到一个多位数：123456789101120072008,请说明：这个多位数除以3,得到的余数是几？为什么？【分析】因为连续3个自然数可以被3整除，而且最后一个自然数都是3的倍数，因为2007是3的倍数，所以 123456789101L L 2007 是3的倍数，又因为12345678910

3、1L L 20072008 123456789101L L 20070000 2007 1，所以123456789101 L L 20072008除以3 ,得到的余数是1。余数4. （2004年希望杯第二届四年级二试第15题，6分）小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5人分 成一组，则最后余下4人。那么一起做游戏的小朋友至少有 人。【答案】这个数除以3余2,除以4余3,除以5余4,那么加上一个人这些小 朋友的数量能整除3、4、5，3X 4X 5=60,那么小朋友至少59人5. （2008年希望杯第六届四年级二试第 3题）一个三位数除以36,得余数8

4、,这样的三位数中，最大的是 。【分析】因为最大的三位数为999 , 999 36 27L 27 ,所以满足题意的三位数最大为：36 27 8 9806. （2009年希望杯第七届四年级二试第 2题，5分）某数被13除，商是9,余数是8,则某数等于o【答案】125周期7. （2004年希望杯第二届四年级二试第 3题，6分）3 12、6 10、12 8、24 6、48 4、是按一定规律排列的一串算式，其中第六个算式的计算结口果是【答案】规律是，第一个加数是公比为 2的等比数列，第二个加数是差为 2的 等差数列，所以第六个式子是 96+2=988. （2004年希望杯第二届四年级二试第 14题，6分

5、）如图5所示，在2X 2方格中，画一条直线最多穿过3个方格；在3X 3方格中，画一条直线最多穿过5个方可知；那么在5X 5方格中，画一条直线，最多穿过 个方格。【答案】边长每多1,穿过的方格多2,那么5X 5的最多穿过3+2+2+2=9个方 格9. （2004年希望杯第二届四年级二试第 19题，10分）将若干个边长为1的正六 边形（即单位六边形）拼接起来，得到一个拼接图形。例如：同长=6周长=10那么，要拼接成周长等于18的拼接图形，需要多少个单位六边形？画出对应的一种图形【答案】4、5、6、710. （2008年希望杯第六届四年级二试第 4题）小明按15循环报数，小花按16循环报数，当两个人

6、都报了 600个数时，小 花报的数字之和比小明报的数字之和多 。【分析】小花一个循环报的数字之和为：1 2 3 4 5 6 21，小明一个循环报的数字之和为：1 2 3 4 5 15，小明一共报了 600 5 120 （组），小花 一共报了 600 6 100 （组），所以小花报的数字之 和比小明报的数字之和多：100 21 120 15 2100 1800 300。11. （2008年希望杯第六届四年级二试第 8题）已知一列数：5, 4，7，1, 2, 5, 4, 3，7，1, 2，5, 4, 3，7，1，2，5，4, 3，由此可推出第 2008个数是。【分析】观察数列发现，除前两个数字之外

7、，7 , 1 ,2 , ,4 ,3六个数字周期出现，因为 （2008 2） 6 334L 2 , 所以第 2008 个数是1。进位制及位值12. （2003年希望杯第一届四年级二试第 18题，10分）个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7,试求它们的差【答案】abc-cba个位是7,明显a大于c,所以10+c-a=7, a-c=3，所以他们的差为29713. （2004年希望杯第二届四年级二试第11题，6分）如果一个数的所有数位上的数字的和是10,那么满足条件的最小的四位数是 。【答案】100914. （2009年希望杯第七届四年级二试第 14题，15分）

8、abcd, abc, ab , a依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足 abcdabc ab a = 1787。求：这四位数 abcd。【答案】2009或2010。奇数与偶数质数与合数1. （2004年希望杯第二届五年级二试第 5题，6分）a、b、c都是质数，如果 a b b c 342，那么b 。【解析】由于342是2的倍数，不是4的倍数， 所以a b与b c为一奇一偶，则a或者c为质数2, 令 a 2，而 342=2 x 3 x 3 x 19，贝U a b 9 或者 a b 3 19 57或者a b 9 19 171，对应的b为7或者55或者169,只有7是质数，所以b=72.

9、（2006年希望杯第四届五年级二试第 8题，4分）如果a，b均为质数，且3a+7b=41,则a+b=。【解析】因为41是奇数，只有奇数加偶数和才 为奇数，且a， b均为质数，所以a， b中必有一 个是2。假设a =2，则b= （ 41-6）* 7=5。所以 a + b =7。约数与倍数3. （2003年希望杯第一届五年级二试第 7题，4分）向电脑输入汉字，每个页面最多可输入 1677个五号字。现在页面中有1个五号 字，将它复制后粘贴到该页面，就得到 2个字；再将这2个字复制后粘贴到 该页面，就得到4个字。每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满 五号字，至少需要操作次。【解析】2的10次方

10、为1024,2的11次方为2048, 所以需要操作11次。4. （2009年希望杯第七届五年级二试第 3题，5分）100以内的自然数中。所有是3的倍数的数的平均数是 。【解析】100以内的自然数中是3的倍数的数有0，3,6,9 L ,99共33个，他们的和是0 993417 99 16832则他们的平均数为1683- 34=49.5。整除5. （2003年希望杯第一届五年级二试第 3题，4分）六位数2003口 能被99整除，它的最后两位数是 。【解析】试除法20039并99=2024 23,所以最后 两位是99-23=766. （2004年希望杯第二届五年级二试第 4题，6分）若四位数9a8a

11、能被15整除，则a代表的数字是。【解析】15=3X 5,能被15整除，那么能同时被 5和3整除。能被5整除，看个位，那么a只能是0或5； 但是当a=0，9080不能被3整除；当a=5时，9+5+8+5=27是3的倍数，所以a=5。奇数与偶数质数与合数1. （2006年希望杯第四届六年级二试第 9题，4分）如果a，b均为质数，且3d + 7b= 41,贝U a+ b =。【解析】根据奇偶性我们可以知道 a、b中必然有一个是2,若a=2,则b=7,满 足题意；若b=2,则a=9,与题意不符。所以a为2、b为7,则a+b=9。约数与倍数2. （2006年希望杯第四届六年级二试第 15题，4分）体育课

12、上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1,2,3,60,然后，老师让所报的数是 4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在 面向老师的学生有。【解析】可知其中4的倍数有15个，5的倍数有12个，6的倍数有10个，同 时是4和5的倍数的有3个，同时是5和6的倍数的有2个，同时是4和6的 倍数的有5个，同时是4、5、6的倍数的数有1个，现在背向老师的有 15+12+10-3-2-5+1=28个，面向老师的学生有 60-28=32人。3. （2009年希望杯第七届六年级二试第 5题，5分）已知A、B两数的最小公倍数是1

13、80,最大公约数是30,若A=90,则B 。【答案】60整除4. （2007年希望杯第五届六年级二试第 10题，5分）已知n个自然数之积是2007,这n个自然数之和也是2007,那么n的值最大是。考点：数论、最值问题一级提示：怎样构造和与积都等于 2007的一组 自然数？二级提示：怎样构造才能使数的个数最多？【答案】17 81。【分析】为了构造和与积都等于2007的一组自然数，首先把2007拆成若干个整数之积，然后把和不足的地方用1补足。容易看出来，2007拆分成的整数越多，它们的 和就越小，需要添加的1也就越多。2007的质因数分解式是 32 X 223, 3+3+223=229, 还需要补

14、2007-229=1778个1。所以共有仃81个。5. （2008年希望杯第六届六年级二试第 9题，5分）有一个不等于0的自然数，它的1是一个立方数，它的1是一个平方数，则这个23数最小是。分析：设为2a3bc （ c为不含质因子2、3的整数）， 贝陀的2是2=13c是立方数，所以a 1是3的倍数， b是3的倍数，另外它的£即2a3b1c是一个平方数， 所以a是偶数，b是奇数，符合以上两个条件的 a的最小值为4，b的最小值为3，这个数最小为 432。余数6. （2007年希望杯第五届六年级二试第 8题，5分）2007年4月15日（星期日）是第5届小学“希望杯”全国数学邀请赛举行地 2

15、 试的日子，那么这天以后的第 2007+ 4X 15天是星期。考点：周期、余数一级提示：计算星期，属于哪类问题？二级提示：有什么简单的方法可以计算？【答案】2。【分析】计算星期属于余数问题，也就是考虑被7除的余 数。因为2002被7整除，所以2007被7除余5;又因为15被7除余1，所以2007+4X 15 5+4X 1(mod7), 5+4X仁9,被7除余2,所以是星 期二。7. (2008年希望杯第六届六年级二试第 6题，5分)某小学的六年级有一百多名学生，若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人。该年级的人数是分析：符合第一、第三条条件的人数为的最少人 数为3X 7+仁22人