数学人教A版选修11优化练习：2．2　2.2.2　双曲线的简单几何性质 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料课时作业 a组基础巩固1设双曲线1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为()ay± x by±2xcy± x dy± x解析：由题意得b1,c .a ,双曲线的渐近线方程为y± x,即y±x.答案：c2双曲线2x2y28的实轴长是()a2 b2 c4 d4解析：将双曲线2x2y28化成标准方程1,则a24,所以实轴长2a4.答案：c3双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于()a b4 c4 d.解析：方程mx2y21表示双曲线,m<0.将方程化为标准方程为

2、y21.则a21,b2.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,可知b2a,b24a2,4,m.答案：a4中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线3x4y120上的等轴双曲线方程是()ax2y28 bx2y24c y2x28 dy2x24解析：令y0,则x4,即c4,又c2a2b2,ab,c22a2,a28.答案：a5(2015·高考全国卷)已知a,b为双曲线e的左、右顶点,点m在e上,abm为等腰三角形,且顶角为120°,则e的离心率为()a. b2c. d.解析：不妨取点m在第一象限,如图所示,设双曲线方程为1(a0,b0),则|bm|ab|2a,mbx180°120&

3、#176;60°,m点的坐标为.m点在双曲线上,1,ab,ca,e.故选d.答案：d6(2015·高考北京卷)已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0,则a_.解析：双曲线y21的渐近线为y±,已知一条渐近线为xy0,即yx,因为a0,所以,所以a.答案：7过双曲线1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于m,n两点,以mn为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为_解析：由题意知,ac,即a 2acc2a2,c2ac2a20,e2e20,解得e2或e1(舍去)答案：28已知双曲线c：1(a>0,b>0)的离心

4、率e2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线c的方程为_解析：双曲线中,顶点与较近焦点距离为ca1,又e2,两式联立得a1,c2,b2c2a2413,方程为x21.答案：x219已知椭圆1和双曲线1有公共的焦点,求双曲线的渐近线方程及离心率解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上,所以椭圆的右焦点坐标为(,0),双曲线的右焦点坐标为(,0),所以3m25n22m23n2,所以m28n2,即|m|2|n|,所以双曲线的渐近线方程为y±x,y±x.离心率e,e.10设a,b分别为双曲线1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为

5、.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于m、n两点,且在双曲线的右支上存在点d,使t,求t的值及点d的坐标解析：(1)由题意知a2,一条渐近线为yx,即bx2y0,b23,双曲线的方程为1.(2)设m(x1,y1),n(x2,y2),d(x0,y0),则x1x2tx0,y1y2ty0,将直线方程代入双曲线方程得x216x840,则x1x216,y1y212,t4,点d的坐标为(4,3)b组能力提升1(2016·高考全国卷)已知方程1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()a(1,3)b (1,)c(0,3) d(0,)解析：根据双曲线的焦距

6、,建立关于n的不等式组求解若双曲线的焦点在x轴上,则又(m2n)(3m2n)4,m21,1<n<3.若双曲线的焦点在y轴上,则双曲线的标准方程为1,即即n>3m2且n<m2,此时n不存在故选a.答案：a2已知f1,f2分别是双曲线1(a>0,b>0)的左、右焦点,过f1作垂直于x轴的直线交双曲线于a、b两点,若abf2为锐角三角形,则双曲线的离心率的范围是()a(1,1) b(1,)c(1,1) d(,1)解析：由abf2为锐角三角形得,<tan 1,即b2<2ac,c2a2<2ac,e22e1<0,解得1<e<1,又e&

7、gt;1,1<e<1.答案：a3(2015·高考全国卷)已知f是双曲线c：x21的右焦点,p是c左支上一点,a,当apf周长最小时,该三角形的面积为_解析：由双曲线方程x21可知,a1,c3,故f(3,0),f1(3,0)当点p在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知|pf|pf1|2,所以|pf|pf1|2,从而apf的周长|ap|pf|af|ap|pf1|2|af|.因为|af|15为定值,所以当(|ap|pf1|)最小时,apf的周长最小,由图象可知,此时点p在线段af1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线af1的方程为y2x6,由得y26y960,解得y2或y8

8、(舍去),所以sapfsaf1fspf1f×6×6×6×212.答案：124(2015·高考天津卷改编)已知双曲线1(a0,b0)的一个焦点为f(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切,则双曲线的方程为_解析：由双曲线的渐近线y±x与圆(x2)2y23相切可知解得故所求双曲线的方程为x21.答案：x215已知双曲线c：1(a>0,b>0)的离心率为,且.(1)求双曲线c的方程；(2)已知直线xym0与双曲线c交于不同的两点a,b,且线段ab的中点在圆x2y25上,求m的值解析：(1)由题意得解得所以b2c2a2

9、2.所以双曲线c的方程为x21.(2)设a,b两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段ab的中点为m(x0,y0)由得x22mxm220(判别式>0)所以x0m,y0x0m2m.因为点m(x0,y0)在圆x2y25上,所以m2(2m)25.故m±1.6已知双曲线c：1(a>0,b>0)的一个焦点是f2(2,0),离心率e2.(1)求双曲线c的方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线c相交于两个不同的点m,n,线段mn的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l的方程解析：(1)由已知得c2,e2,a1,b.所求的双曲线方程为x21.(2)设直线l的方程为yxm,点m(x1,y1),n(x2,y2)的坐标满足方程组将式代入式,整理得2x2