高一数学函数知识点总结_8202

1、学习必备欢迎下载函数知识点归纳一、函数的概念与表示构成函数概念的三要素定义域对应法则值域例 1、下列各对函数中，相同的是（）A 、 f ( x)lg x2, g( x)2lg xB 、 f ( x)lg x1 , g( x)lg( x1) lg( x1)x1C、 f (u)1u , g(v)1vD 、f （ x） =x ， f ( x)x 21u1v例 2、M x | 0x 2, N y | 0 y 3 给出下列四个图形， 其中能表示从集合M到集合 N 的函数关系的有（）A、 0个B、 1 个C、2个D、 3个yyyy322221111O12 xO1 2 xO12 xO1 2x二、函数的解析式

2、与定义域1、求函数定义域的主要依据：（ 1）分式的分母不为零；（ 2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（ 3）对数函数的真数必须大于零；（ 4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；例 .（ 05 江苏卷）函数ylog 0.5 (4 x23x) 的定义域为 _例 3：（ 1）已知 f (x)的定义域是-2,5,求 f(2x+3)的定义域。（ 2）已知 f ( 2x1)的定义域是-1,3,求 f()x的定义域 。例 4：设f ( x)lg2x ，则f (x )f ( 2 ) 的定义域为_2x2x变式练习：f (2x)4x 2，求f (x) 的定义域为_三、函数的值域1 求

3、函数值域的方法直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x) 的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；利用对勾函数分离常数：适合分子分母皆为一次式（ x 有范围限制时要画图） ；单调性法：利用函数的单调性求值域；几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数例：1（直接法） y212 f ( x) 224 2x x2x2x3学习必备欢迎下载3（换元法）yx2x1x214. y1x 25. yx y3x1 ( 2 x4)6 (对勾函数 ) y2x8 ( x4)x12x1x7. (单调性 ) yx3(x 1,3)8

4、. y1，yx1x 12x1xx 19. ( 几何意义 ) yx2x1四函数的奇偶性1.定义： 设 y=f(x) ， xA ，如果对于任意x A ，都有 f ( x)f ( x) ，则称 y=f(x) 为偶函数。如果对于任意 x A，都有 f (x)f ( x) ，则称 y=f(x) 为奇函数。2.性质 ：y=f(x) 的图象关于 y 轴对称 , y=f(x) 是偶函数y=f(x) 是奇函数y=f(x) 的图象关于原点对称,若函数 f(x) 的定义域关于原点对称，则f(0)=0奇±奇=奇 偶±偶 =偶奇×奇=偶偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义

5、域 D1 ，D2，D1D2要关于原点对称 3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看 f(x)与 f(-x)的关系例：1 已知函数f ( x) 是定义在 (,) 上的偶函数 . 当 x (,0 ) 时， f (x) x x 4 ，则当 x( 0,) 时，f (x).4 若奇函数 f (x)( xR) 满足 f (2) 1， f ( x 2)f ( x)f (2) ，则 f (5)_五、函数的单调性1、函数单调性的定义：如果对于某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2, 当 x1x2时都有 f(x1)f(x2).那么就说 f(x) 在 这个区间上是增函数。如果对于某个区间上的任意两个自变量的值x1

6、、x2，当 x1x2时都有 f(x1) f(x2).那么就是 f(x)在这个区间上是减函数。函数的单调性通常也可以以下列形式表达（等价形式）： 当 f ( x1 )f (x2 )0 的时候，函数单调递x1x2增当； f ( x1 )f ( x2 )0的时候，函数单调递减x1x22 设 y fg x是定义在 M 上的函数， 若 f(x) 与 g(x) 的单调性相反， 则 yf g x在 M上是减函数； 若 f(x)与 g(x) 的单调性相同，则yf g x在 M 上是增函数。例：1 定义证明函数f ( x)x3 ( xR) 的单调性学习必备欢迎下载2 已知定义域为 R 的函数 f ( x)2xb

7、 是奇函数。2x1a（）求 a, b 的值；（）若对任意的tR ，不等式 f (t 22t )f (2t 2k) 0 恒成立，求 k 的取值范围；3函数 f ( x) 对任意的 m, n R ，都有 f (mn)f (m)f ( n)1 ，并且当x 0时， f (x) 1， 证： f (x) 在 R 上是增函数；若 f (3)4 ，解不等式 f (a 2a5)24函数 y log 0.1 (6x2x 2 ) 的单调增区间是 _5(3a1)x 4a, x 1,) 上的减函数，那么a 的取值范围是已知 f ( x)loga是 (（）x, x 1（ A） (0,1)（B） (0, 1)（C） 1,

8、1)（D） 1 ,1)3737六函数的周期性：1（ 定义 ）若 f ( xT)f ( x)(T0)f (x) 是周期函数， T 是它的一个周期。说明： nT 也是 f ( x) 的周期。（推广 ）若 f (xa)f (xb) ，则 f ( x) 是周期函数， ba 是它的一个周期对照记忆：若 f ( x a)f (xa) ，则：若 f (ax)f (bx) ，则：若f ( x a)f ( x)； f ( x a)1； f ( x a)1；则f ( x)周期是2 a2f ( x)f ( x)例：1已知定义在 R 上的奇函数 f( x)满足 f(x+2 )= f( x),则 ,f(6)的值为（）(

9、A) 1(B) 0(C)1(D)22已知 f ( x) 是 (-，)上的奇函数，f (2x)f (x) ，当 0x1 时， f(x)=x ，则 f(7.5)=_3设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数x 恒满足 f (2x)f (x) ，当 x0,2 时 f (x)2x x2 证： f ( x) 是周期函数； 当 x 2,4 时，求 f (x) 的解析式； 计算： f (0)f (1)f (2)f (2014)七二次函数 (涉及二次函数问题必画图分析)1二次函数2bb4ac b2f(x)=ax +bx+c(a 0)的图象是一条抛物线，对称轴x，顶点坐标 (,)2a2a4a学习必

10、备欢迎下载2二次函数与一元二次方程关系一元二次方程 ax2bxc0(a0) 的根为二次函数 f(x)=ax 2+bx+c(a 0) y0 的 x 的取值。一元二次不等式 ax2bxc0(0) 的解集 (a>0)二次函数情况一元二次不等式解集2222ax +bx+c>0ax +bx+c<0Y=ax +bx+c (a>0) =b -4ac(a>0)(a>0) >0x xx1或xx2x x1xx2图象 =0x xx0与解<0R3、闭区间上二次函数的最值问题：是分类讨论， 数形结合， 函数方程， 转化思想的四个数学思想的集中体现一元二次函数的区间最值问题

11、，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般来说首先考虑开口方向。设 f (x) ax 2bx c( a 0) ，求 f ( x) 在 x m， n 上的最大值与最小值。将 f (x) 配方，得顶点为b4ac b2b(,) 、对称轴为 x2a4a2a当 a0 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m ，n 上 f (x) 的最值：最小值： 对称轴与区间端点大小比较进行分类讨论bm， n 时， f ( x) 的最小值是b4ac b2（ 1）当f ()2a2a4a当bm， n 时，2a（ 2）若bm ，由 f (x) 在 m， n2a（ 3）若bm ，由 f (x) 在 m， n

12、2a上是增函数则f (x) 的最小值是f ( m) ；上是减函数则f (x) 的最小值是f ( n) 。最大值： 对称轴与区间中点比较进行分类讨论学习必备欢迎下载bmn（ 1）当2a2时， f (x) 的最大值是f ( n) ；（ 2）当bmn时， f (x) 的最大值是f ( m) ；2a2当 a0 时，可类比得结论。例：（1）设 f (x)x 24x4, x t,t1( tR), 求函数 f (x) 的最小值 g(t ) 的解析式。（ 2）已知二次函数f ( x ) ax2( 2a 1)x 1 在区间3 ,2 上的最大值为3，求实数 a 的值。2（ 3）已知函数 f (x)x23 m 最大

13、值是3 n ，求 m ， n 的值x 在区间 m, n 上的最小值是24、二次方程根分布问题：从三个方面进行分析： （ 1）0（有不等实数根） ；（ 2）对称轴；（ 3）端点的函数值例：（ 1）已知方程2x2m1 xm0 有两个不等正实根，求实数m 的取值范围 .(2) 方程 mx22mx10 有一根大于1，另一根小于1，求实根 m 的取值范围是(3) 已知关于 x 的方程 (m2) x22x2m10 至少有一个根在区间(1, 2) 内，求实数 m 的取值范围 .八指数式与对数式1幂的有关概念零指数幂 a01 (a0)n1(1)(2)负整数指数幂 aan a0, n Nm(3)正分数指数幂 a

14、 nn ama 0,m, nN ,n1 ；m11(4)负分数指数幂 a n0, m, nN ,n 1maa nn am(5) 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 .2指数幂的运算性质1 ar asar sa 0, r , s Q 2 arsars a 0, r , s Q3 abra 0b,0r , Qar br3根式根式的性质 : 当 n 是奇数，则 n a na ；当 n 是偶数，则 n anaa0aa0a学习必备欢迎下载4对数(1)对数的概念 :如果 abN ( a 0, a1) ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数 ,记 b log a N (a 0, a 1)

15、(2)对数的性质：零与负数没有对数 log a 10 log a a1(3)对数的运算性质logMN=logM+logNlogm N( N0, a且1, m且m 1)对数换底公式： log a N0 a0log m a对数的降幂公式：log a m N n n log aN (N0, a0且 a1)m例：1(1) ( ) 41( 4ab 1 )3lg 8 lg 125lg 2 lg 521(2)(0.1) 2 ( a3b 3 ) 2lg 10lg 0.1九指数函数与对数函数1、指数函数y=ax 与对数函数 y=log ax (a>0 , a 1)互为反函数名称指数函数对数函数一般形式Y=

16、a x (a>0 且 a 1)y=log ax (a>0 , a 1)定义域(-,+ )(0,+ )值域(0,+ )(-,+ )过定点（ 0，1）（1，0）指数函数 y=ax 与对数函数y=log ax (a>0 , a 1)图象关于 y=x 对称图象a>1,在 (- ,+ )上为增函数a>1,在 (0,+ )上为增函数单调性0<a<1, 在 (0,+ )上为减函数0<a<1, 在 (- ,+ )上为减函数2、比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以

17、利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象，研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制。11.5例：（ 1）已知 a0.30.2 ， b0.20 .2， c 0.20.3 ， d，则比较 a ， b ， c ， d的大小2（ 2）设 a0.33 ， b30.3 ， clog3 0.3 ，则 a ， b ， c 从小到大排列为（ 3）在 (0.3)2,20.3,log 2 2这三个数中最大的是学习必备欢迎下载3、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。4、指

18、对数函数的图像与性质：十幂函数1、幂函数定义：形如y x(R) 的函数称为幂函数，其中x 是自变量，是常数。例：（ 1）下列函数是幂函数的是（）1A y=xx2C.y=x2 +1D.y=x3B.y=3x（ 2）已知函数 y ( m2m1)m22m 1 是幂函数，求此函数的解析式2、幂函数的性质归纳：幂函数在第一象限的性质：0 ，图像过定点（0,0 ）（ 1,1 ），在区间（ 0,）上单调递增。0 ，图像过定点（1,1 ），在区间（ 0,）上单调递减。m整数 m,n 的奇偶与幂函数 yx n ， (m, n Z, 且m, n互质) 的定义域以及奇偶性有什么关系？m结果：形如 yx n (m, nZ ,且m, n互质) 的幂函数的奇偶性（ 1）当 m， n 都为奇数时， f （ x）为奇函数，图象关于原点对称；（ 2）当 m为奇数 n 为偶数时， f （ x）为偶函数，图象关于y 轴对称；（ 3）当 m为偶数 n 为奇数时， f （ x）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.3、幂函数的图像画法：关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。指数大于 1,