第六节空间曲线及其方程

1、 0),(0),(zyxgzyxf空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程，曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时不在曲线上的点不能同时满足两个方程满足两个方程. .xozy1s2sc空间曲线空间曲线c c可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程例例1 1：方程组：方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 632122zxyx解解122 yx圆柱面圆柱面632 zx表示平面表示平面 632122zxyx交线为椭圆交线为椭圆.122 yx632 zx 632122z

2、xyx例例2 2 方程组方程组 表示怎样的表示怎样的曲线？曲线？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面4)2(222ayax 圆柱面圆柱面表示圆柱面与上半球面的交线表示圆柱面与上半球面的交线222yxaz 4)2(222ayax 0),(0),(zyxgzyxf消去变量消去变量z z后得：后得：0),( yxh曲线关于曲线关于 的投影柱面的投影柱面xoy设空间曲线的一般方程设空间曲线的一般方程：二、空间曲线在坐标面上的投影二、空间曲线在坐标面上的投影投影柱面投影曲线类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),

3、(xzyr 00),(yzxt面上的面上的投影曲线投影曲线,yoz面上的面上的投影曲线投影曲线,xoz 00),(zyxh空间曲线在空间曲线在 面上的投影曲线面上的投影曲线xoy1222 zyx1)1()1(222 zyx例例3：已知两球面的方程为：已知两球面的方程为和和求它们的交线求它们的交线c在在xoy面上的投影方程面上的投影方程解：消去解：消去z02222 yyx两球的交线两球的交线c在在xoy面上的投影方程为面上的投影方程为 00222zyyx例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影方程在坐标面上的投影方程. . 211222zzyx解解（1 1）消去变量消去变量z z后得后得432

4、2 yx在在xoy面上的投影为面上的投影为,04322 zyx所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段. .xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz.23|,021 yxz（2 2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上上21 z补充补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空间立体空间立体曲面曲面例例5.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在锥面所围成锥面所围成和和由上半球面由上半球面设一个立体设一个立体xoyyxzyxz 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 , )(3,4:

5、2222yxzyxzc122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去 x2+y21面上的投影为面上的投影为在在则交线则交线xoyc . 0, 122zyx一个圆一个圆, ,面上的投影为面上的投影为所求立体在所求立体在 xoy. 122 yx截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解（2）消去）消去y得投影得投影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影 ,004522 zxxyyx空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程四、小结四、小结空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxgzyxf 00),(zyxh 00),(xzyr 00),(yzxt思考题思考题 求求椭椭圆圆抛抛物物面面zxy 222与与抛抛物物柱柱面面zx 22的的交交线线关关于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和和在在xoy面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程.思考题解答思考题解答,22222 zxzxy交线方程为交线方程为消消去去z得得投投影影柱柱面面 , 122 yx在在 面上的投影为