数列极限的定义

1、一、数列极限的定义一、数列极限的定义割圆术：割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽概念的概念的引入引入r正六边形的面积正六边形的面积1a正十二边形的面积正十二边形的面积2a正正 形的面积形的面积126 nna,321naaaas数列的概念数列的概念定义定义:如果按照某一法则如果按照某一法则,对每个对每个 ,对应着一个确定对应着一个确定的实数的实数 ,这些实数这些实数 按照下标按照下标n从小到大排列得到的一从小到大排列得到的一个序列个序列 nnnxnx,321nxxxx就叫做数列就

2、叫做数列,简记为数列简记为数列 . nx数列中的每一个数叫做数列的数列中的每一个数叫做数列的项项，第，第n项项 叫做数列的叫做数列的一般项一般项. .nx例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn 注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在可看作一动点在数轴上依次取数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数),(nfxn . nn问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近

3、于某一确定的是否无限接近于某一确定的数值数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划它如何用数学语言刻划它.通过观察通过观察:nxnn1)1(1 当当n无限增大时无限增大时,无限接近于无限接近于1.数列的极限数列的极限观察数列观察数列)1(11nn 当当 n时的变化趋势时的变化趋势.注意：注意：如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.1.1.具有任意给定性，它是描述具有任意给定性，它是描述 与与 的无限接近程度的无限接近程度. .nxa2 2. n . n 与与有关，且不唯一有关，且不唯一. .

4、函数的极限函数的极限一、一、 函数极限的定义函数极限的定义二、二、 函数极限的性质函数极限的性质1 1、自变量趋于有限值时函数的极限、自变量趋于有限值时函数的极限axfxx )(lim0 或或)()(0 xxaxf定义定义1 1 设函数设函数f( (x) )在点在点x0 0的某一去心邻域内有定义，如果存的某一去心邻域内有定义，如果存在常数在常数a , ,对于任意给定的正数对于任意给定的正数（不论它多么小），总存（不论它多么小），总存在正数在正数, ,使得当使得当x 满足不等式满足不等式0|0|xx0 0|时，对应的函数时，对应的函数值值f( (x) )都满足不等式，都满足不等式，| | f(

5、(x) )a|那末常数那末常数a就叫做就叫做函数函数f( (x) )当当xx0 0时的极限时的极限，记作，记作注注, 0, 0 1） 语言表述语言表述 当当 时有时有 则则 00 xx axf)(axfxx )(lim0一、一、 函数极限的定义函数极限的定义2） 表示表示 时时 有无极限有无极限 与与 有无定义没有关系有无定义没有关系.00 xx 00,xxxx )(0 xf)(xf3） 任意给定后，才能找到任意给定后，才能找到 ， 依赖于依赖于 ，且，且 越小，越小， 越小越小. )( 4） 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可不唯一，也不必找最大的，只要存在即可. )(xfy a aa 0

6、 x 0 x0 x xyo几何意义几何意义 如果函数如果函数f(x)当当xx0时极限为时极限为a,以任意给定一以任意给定一正数正数,作两条平行于作两条平行于x轴的直线轴的直线y=a+和和y=a-,存在点存在点x0的的邻域邻域(x0-, x0+),当当x在邻域在邻域(x0-, x0+)内内,但但xx0时时,曲线曲线y=f(x)上的点上的点(x,f(x)都落在两条平行线之间。都落在两条平行线之间。.lim0ccxx .lim00 xxxx 例例1 1,lim0ccxx 证明证明 (c为常数为常数) 证证, 0 , 0 当当 时时, 00 xxaxf )(cc 0 成立成立,例例2 2.lim00

7、xxxx 证明证明证证,)(0 xxaxf , 0 , 取取 00 xx当当 时时,0)(xxaxf 成立成立,证证函数在点函数在点x= =1处没有定义处没有定义. ., 0 211)(2 xxaxf1 x. 211lim21 xxx例例3 3. 211lim21 xxx证明证明,)( axf要使要使, 只要取只要取 00 xx当当 时时,2112 xx就有就有.lim00 xxxx 证证0)(xxaxf 00 xxxx ,00 xxx 例例4 4.lim00 xxxx 00 x当当 时时, 0 ,)( axf要使要使,min00 xx 取取,0 xx当当 时时, 就有就有 00 xx只要只要

8、 且不取负值且不取负值. 00 xxx 结论结论: 函数函数f(x)当当xx0时极限存在的时极限存在的充分必要条件充分必要条件是左极限是左极限与右极限均存在且相等，即与右极限均存在且相等，即左极限和右极限左极限和右极限当自变量当自变量x从从x0的左的左(或右或右)侧趋于侧趋于x0时，函数时，函数f(x)有极限有极限a，则称则称a为函数为函数f(x)当当xx0时的时的左左(右右)极限极限，记作，记作axfxxxx )(lim)0(000或或)0( )0(00axfaxf axfxx)(lim0axfxf )0()0(00例例5 5 函数函数 0 , 10 , 00 , 1)(xxxxxxf当当 时时 的极限不存在的极限不存在.0 x)(xf证证 当当 时时 的左极限的左极限0 x)(xf, 1)1(lim)(lim00 xxfxx而右极限而右极限, 1)1(lim)(lim00 xxfxx因为左极限和右极限存在但不相等因为左极限和右极限存在但不相等,所以所以 不存在不存在.)(lim0 xfxyox1 xy1 xy-11小结小结注：分段函数分点处的极限，要分别求左极限和