人教版高中数学选修11课时跟踪检测十 双曲线的简单几何性质 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料课时跟踪检测（十）双曲线的简单几何性质层级一层级一学业水平达标学业水平达标1下列双曲线中离心率为下列双曲线中离心率为62的是的是()ax22y241bx24y221cx24y261dx24y2101解析：解析：选选 b由由 e62得得 e232,c2a232,则则a2b2a232,b2a212,即即 a22b2因此可知因此可知 b 正确正确2中心在原点中心在原点,实轴在实轴在 x 轴上轴上,一个焦点在直线一个焦点在直线 3x4y120 上的等轴双曲线方程是上的等轴双曲线方程是()ax2y28bx2y24cy2x28dy2x24解析：解析：选选 a令令 y0 得得,x4,

2、等轴双曲线的一个焦点坐标为等轴双曲线的一个焦点坐标为(4,0),c4,a212c212168,故选故选 a3双曲线双曲线x24y2k1 的离心率的离心率 e(1,2),则则 k 的取值范围是的取值范围是()a(10,0)b(12,0)c(3,0)d(60,12)解析：解析：选选 b由题意知由题意知 k0,a24,b2ke2a2b2a24k41k4又又 e(1,2),11k44,12k0,b0),由题意知由题意知 c3,a2b29,设设 a(x1,y1),b(x2,y2)则有则有x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式作差得两式作差得y1y2x1x2b2 x1x2 a2 y1y1 1

3、2b215a24b25a2,又又 ab 的斜率是的斜率是1501231,所以所以 4b25a2,代入代入 a2b29 得得 a24,b25,所以双曲线标准方程是所以双曲线标准方程是x24y2515(全国卷全国卷)已知已知 a,b 为双曲线为双曲线 e 的左的左,右顶点右顶点,点点 m 在在 e 上上,abm 为等腰三角形为等腰三角形,且且顶角为顶角为 120,则则 e 的离心率为的离心率为()a 5b2c 3d 2解析：解析：选选 d不妨取点不妨取点 m 在第一象限在第一象限,如图所示如图所示,设双曲线方设双曲线方程为程为x2a2y2b21(a0,b0),则则|bm|ab|2a,mbx1801

4、2060,m 点的坐标为点的坐标为(2a， 3a)m 点在双曲线上点在双曲线上,4a2a23a2b21,ab,c 2a,eca 2故选故选 d6(全国卷全国卷)已知双曲线过点已知双曲线过点(4, 3),且渐近线方程为且渐近线方程为 y12x,则该双曲线的标准方程为则该双曲线的标准方程为_解析：解析：法一：法一：双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为 y12x,可设双曲线的方程为可设双曲线的方程为 x24y2(0)双曲线过点双曲线过点(4, 3),164( 3)24,双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为x24y21法二：法二：渐近线渐近线 y12x 过点过点(4,2),而而 30,b0)由已知

5、条件可得由已知条件可得ba12，16a23b21，解得解得a24，b21，双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为x24y21答案答案：x24y217过双曲线过双曲线x2a2y2b21(a0,b0)的左焦点且垂直于的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于轴的直线与双曲线相交于 m,n 两两点点,以以 mn 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为则双曲线的离心率为_解析：解析：由题意知由题意知,acb2a,即即 a2acc2a2,c2ac2a20,e2e20,解得解得 e2 或或 e1(舍去舍去)答案：答案：28双曲线双曲线x29y2161 的右顶点为的

6、右顶点为 a,右焦点为右焦点为 f,过点过点 f 平行于双曲线的一条渐近线的直平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点线与双曲线交于点 b,则则afb 的面积为的面积为_解析：解析：双曲线双曲线x29y2161 的右顶点的右顶点 a(3,0),右焦点右焦点 f(5,0),渐近线方程为渐近线方程为 y43x不妨设直线不妨设直线 fb 的方程为的方程为 y43(x5),代入双曲线方程整理代入双曲线方程整理,得得 x2(x5)29,解得解得 x175,y3215,所以所以 b175，3215 所以所以 safb12|af|yb|12(ca)|yb|12(53)32153215答案：答案：3215

7、9 (全国卷全国卷)已知已知 f 是双曲线是双曲线 c： x2y281 的右焦点的右焦点,p 是是 c 的左支上一点的左支上一点,a(0,6 6) 当当apf 周长最小时周长最小时,求该三角形的面积求该三角形的面积解解： 设双曲线的左焦点设双曲线的左焦点为为f1,由双曲线方由双曲线方程程x2y281可知可知,a1,c3,故故f(3,0),f1(3,0)当点当点 p 在双曲线左支上运动时在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知由双曲线定义知|pf|pf1|2,所以所以|pf|pf1|2,从而从而apf 的周长的周长|ap|pf|af|ap|pf1|2|af|因为因为|af| 32 6 6 215 为

8、定值为定值,所以当所以当(|ap|pf1|)最小时最小时,apf 的周长最小的周长最小,由图象可知由图象可知,此时点此时点 p 在线段在线段 af1与双曲线的交点处与双曲线的交点处(如图所示如图所示)由题意可知直线由题意可知直线 af1的方程为的方程为 y2 6x6 6,由由y2 6x6 6，x2y281，得得 y26 6y960,解得解得 y26或或 y8 6(舍去舍去),所以所以 sapfsaf1fspf1f1266 61262 612 610已知双曲线已知双曲线 c：x2a2y2b21(a0,b0)的离心率为的离心率为 3,且且a2c33(1)求双曲线求双曲线 c 的方程；的方程；(2)

9、已知直线已知直线 xym0 与双曲线与双曲线 c 交于不同的两点交于不同的两点 a,b,且线段且线段 ab 的中点在圆的中点在圆 x2y25 上上,求求 m 的值的值解：解：(1)由题意得由题意得a2c33，ca 3，解得解得a1，c 3.所以所以 b2c2a22所以双曲线所以双曲线 c 的方程为的方程为 x2y221(2)设设 a,b 两点的坐标分别为两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段线段 ab 的中点为的中点为 m(x0,y0)由由xym0，x2y221，得得 x22mxm220(判别式判别式0)所以所以 x0 x1x22m,y0 x0m2m因为点因为点 m(x0,y0)

10、在圆在圆 x2y25 上上,所以所以 m2(2m)25故故 m1层级二层级二应试能力达标应试能力达标1双曲线双曲线x24y2121 的焦点到渐近线的距离为的焦点到渐近线的距离为()a2 3b2c 3d1解析解析： 选选 a不妨取焦点不妨取焦点(4,0)和渐近线和渐近线 y 3x,则所求距离则所求距离 d|4 30|312 3 故选故选 a2若双曲线与椭圆若双曲线与椭圆x216y2641 有相同的焦点有相同的焦点,它的一条渐近线方程为它的一条渐近线方程为 yx,则双曲线则双曲线的方程为的方程为()ay2x296by2x2160cy2x280dy2x224解析：解析：选选 d设双曲线方程为设双曲线

11、方程为 x2y2(0),因为双曲线与椭圆有相同的焦点因为双曲线与椭圆有相同的焦点,且焦点且焦点为为(0,4 3),所以所以0,b0)由题意由题意,知过点知过点(4,2)的渐近的渐近线方程线方程为为ybax,所以所以2ba4,即即a2b 设设bk(k0),则则a2k,c 5k,所所以以eca5k2k52故选故选 d4(全国甲卷全国甲卷)已知已知 f1,f2是双曲线是双曲线 e：x2a2y2b21 的左、右焦点的左、右焦点,点点 m 在在 e 上上,mf1与与 x轴垂直轴垂直,sinmf2f113,则则 e 的离心率为的离心率为()a 2b32c 3d2解析：解析：选选 a法一：法一：作出示意图作

12、出示意图,如图如图,离心率离心率 eca2c2a|f1f2|mf2|mf1|,由正由正弦定理得弦定理得 e|f1f2|mf2|mf1|sinf1mf2sinmf1f2sinmf2f12 23113 2故选故选 a法二：法二：因为因为 mf1与与 x 轴垂直轴垂直,所以所以|mf1|b2a又又sinmf2f113,所以所以|mf1|mf2|13,即即|mf2|3|mf1| 由双曲线的定义由双曲线的定义得得2a|mf2|mf1|2|mf1|2b2a,所以所以 b2a2,所以所以 c2b2a22a2,所以离心率所以离心率 eca 25已知双曲线已知双曲线x2a2y2b21(a0,b0)的一个焦点为的

13、一个焦点为 f(2 5,0),且离心率为且离心率为 e52,则双曲线则双曲线的标准方程为的标准方程为_解析解析： 由焦点坐标由焦点坐标,知知 c2 5,由由 eca52,可得可得 a4,所以所以 b c2a22,则双曲线的标则双曲线的标准方程为准方程为x216y241答案：答案：x216y2416已知双曲线已知双曲线x2a2y2b21(a0,b0)的右焦点为的右焦点为 f,若过点若过点 f 且倾斜角为且倾斜角为 60的直线的直线 l 与双与双曲线的右支有且只有一个交点曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率则此双曲线的离心率 e 的取值范围是的取值范围是_解析：解析：由题意由题意,知知b

14、a 3,则则b2a23,所以所以 c2a23a2,即即 c24a2,所以所以 e2c2a24,所以所以 e2答案：答案：2,)7设双曲线设双曲线x2a2y2b21(0aa,所以所以 e2a2b2a21b2a22,则则 e2于是双曲线的离心率为于是双曲线的离心率为 28已知双曲线已知双曲线 c：x2y21 及直线及直线 l：ykx1(1)若直线若直线 l 与双曲线与双曲线 c 有两个不同的交点有两个不同的交点,求实数求实数 k 的取值范围；的取值范围；(2)若直线若直线 l 与双曲线与双曲线 c 交于交于 a,b 两点两点,o 为坐标原点为坐标原点,且且aob 的面积是的面积是 2,求实数求实数 k 的的值值解：解：(1)由由ykx1，x2y21消去消去 y,得得(1k2)x22kx20由直线由直线 l 与双曲线与双曲线 c 有两个不同的交点有两个不同的交点,得得1k20，4k28 1k2 0，解得解得 2k 2且且 k1即即 k 的取值范围为的取值范围为( 2,1)(1,1)(1, 2)(2)设设 a(x1,y1)