数列极限存在的条件

1、3 数列极限存在的条件一 数列收敛的一个充分条件数列收敛的一个充分条件 单调有界原理单调有界原理 二二 数列收敛的充要条件数列收敛的充要条件 cauchy收敛准则收敛准则三三 关于极限关于极限 四 数列数列 单调有界证法欣赏单调有界证法欣赏 :11limennnnn11一一 单调有界原理单调有界原理定义定义 称为单调上升的，若 nxnxxxx321nx称为单调下降的，若 nxxxx321 单调增加和单调减少数列统称为单调数列 提问: 收敛的数列是否一定有界？ 有界的数列是否一定收敛？mv定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限 定理1的几何解释x1 x5 x4 x3 x2 xn a 以单调

2、增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点a 而对有界数列只可能后者情况发生 数列极限存在的条件数列极限存在的条件v定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限 .为有上界的递增数列不妨设na .sup,nnaaa记有上界数列由确界原理 .的极限就是下证naa ., 0nnnaaaa，使得按上确界定义事实上证明 .,nnnaaanna时有当的递增性又由 .,aaaaaannn都有故的一个上界是而.aaannn时有所以当.limaann即.数列必有极限同理可证有下界的递减例例1 设 ). 2 ( ,131211nan证明数列 收敛. na例例2 例例3

3、 222 , ,22 ,221naaa(n重根号), 证明数列 na单调有界, 并求极限. .21 .0 ,011nnnxaxxxa求 .limnnx( 计算 a的逐次逼近法, 亦即迭代法 ).解 由均值不等式, 有 nnnxaxx21 1 .nnnxaxax有下界; 注意到对 , n有 ,axn有 nnnnxaaxaxx . 1) (121121221 , .limaxnn例4 1）证明序列 nnxnln131211的极限存在； 2）求极限 1)1(31211lim1nnn解解 1） 因 1x时有 xxxx)1ln(1) 0( x所以 kkk1)11ln(11）， 21(k即有 nknknn

4、nnknkx110ln) 1ln(ln)11ln(ln1这表明序列 nx有下界。又 011)11ln(11ln) 1ln(1nnnnnxxnn故序列 nx下降。因此序列极限存在，记极限值为c。于是 nkncnk1ln1或 nknnck1ln1)0lim(nn2） 因 nnnnnknknkkncnckkk221212112lnln)2ln(2121) 1(所以 2ln) 1(lim211nkknk又 2ln) 1(lim1211nkknk即得 2ln) 1(lim11nkknk例例2 2.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的

5、是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32aa 2131,2131 aa解得解得(舍去舍去).2131lim nnx二二 数列收敛的充要条件数列收敛的充要条件 cauchy收敛准则收敛准则1 cauchy列：列： 如果数列 na具有以下特性：0,0:,nmnn maa 则称数列 na是一个基本数列.（ cauchy列）列）2 cauchy收敛准则：收敛准则：定理 数列 na收敛的充要条件是： na是一个基本数列.数列 na收敛 0,

6、 , , , .mnnm n naa 0, , , p, .n pnnn naa n或定理定理（柯西收敛准则柯西收敛准则）数列 nx收敛的充分必要条件 是0，n，当nmn ,时，有mnxx。证明证明：必要性。则0，nn，nn，nm时，若 nx收敛于a，设axnnlim，有2axn，2axm， 故22axaxxaaxxxmnmnmn。充分性的证明从略。 柯西收敛准则也可叙述为 数列 nx收敛0，nn，nn时， np，有npnxx。 柯西收敛准则表明，数列收敛等价于数列中充分远（即n充分大）的任意两项的距离能够任意小。柯西收敛准则的优点在于它不需要借助数列以外的任何数，只须根据数列自身各项之间的相

7、互关系就能判别该数列的敛散性。数列极限存在的条件定理的几何解释 柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.x1 x2 x3 x4 x5 例例5 证明: 任一无限十进小数 1 20. (01)nbbb 的不足近似值所组成的数列1121222, , , , 1010 1010 1010nnbbbbbb收敛. 其中 ( 1,2,9 )ibi 是0,1,9中的数. 证证 令 na 122 , 10 1010nnbbb有 121211 1010109111101010n pnnn pn

8、nnn pnpbbbaa1910n1 (0.1)1111 (0.1).1 0.11010ppnnn 证明：npn,，有pnnnnpnpnnnxx2)sin(2)2sin(2) 1sin(21)2121211 (2121212112121pnpnnn.21)211 (21211211211npnpn 0，1log2n， nn时，有npnxx。 数列 nkknkx1 2sin收敛。证明证明：已知数列 ns收敛，根据柯西收敛准则，0，nn，nn时，np，有1111pnnnnpncccss，1121pnpnnnnnxxxxxx11pnnnccc，数列 nx也收敛。nnnpnpnpnxxxxxx1111

9、三三. 关于极限关于极限 1lim 1:nnen( 2.71828 )e（证明留在下段进行.） 例例8 11lim 1, lim 1. n kknnnnn例例9 311lim 1, lim 1, lim 12.n knnnnncnnn例例1023lim.21nnnn四四 数列数列 证法一证法一11nn单调有界证法欣赏单调有界证法欣赏: cauchy (17891857 ) 最先给出这一极限，riemann（18261866）最先给出以下证法一.设 11.nnxn用二项式展开，得 111 11!nkn nn kxnnkn (1)3 2 1 1!nn nnn 1111211211 11111112

10、!3!nnnnnnnn 11112!nx 111211113!11nnn1(1)!n111;11nnn注意到 1111,1nn 2211,1nn 11, 11.1nnnn且 1nx比 nx多一项 1(1)!n 1110,11nnn 1 ,nnxx即 nx . 11111101 11 12! 3!12 2 3(1)nxnnn 11 11111 111 1 13. 22 31nxnnn 有界. 综上, 数列nx单调有界.评註评註: 该证法朴素而稳健, 不失大师风度.证法二证法二 ( 利用bernoulli不等式 ) 注意到bernoulli不等式 (1)1, (1, nxnxxn 为正整数 ),

11、有nnnnnnxx1111111nnnn11111111nnnnnn12211122 ,) 1(111112nnn 由 , 1) 1(12n 利用bernoulli不等式,有 . 1133233) 1(1111232321nnnnnnnnnxxnn nx . 为证nx 上方有界, 考虑数列 .111nnny 可类证ny . 事实上, 1nnyy 2111111nnnn1111111111nnnn12221221nnnnnnn nnnnnnnnnn2112121121212 nynnnnnn , 1441442323. 显然有 , .nyxnn 有 . 41yyxnn 即数列ny 有上界. 评註

12、: 该证法的特点是惊而无险，恰到好处. 证法三 ( 利用均值不等式 ) 在均值不等式 ) 0( ,1121iniinnaanaaa 中, 令 , 1 ,111121nnanaaa 就有 ,11111111) 1(1 111111nnnnnnnnxnnnnnnx , 1nnxx 即 nx . 令 , 1 ,111121nnanaaa 可仿上证得 3n 时 nn11。 ( 1n时无意义, 2n时诸ia =0, 不能用均值不等式. ) 当2n时, 由 .11111 , 11111112nnnnn .11111 nnnn 由 nn11 nn111 . 22111 nx 证法四 ( 仍利用均值不等式 ) 个nnnnnn11111111 , .111121111 1 1111nnnnnxxnnnnnn 即 nx . “均值不等式妙用两则”. 证法五 先证明：对 ba0和正整数n，有不等式 .) 1(11nnnbnabab 事实上，