曲线积分与曲面积分习题课(北工大)

1、一一.第一型曲线积分第一型曲线积分定理定理 若曲线若曲线,),(),(:),( ttytxbac是光滑的，即在连续，且不是光滑的，即在连续，且不( ),( )tt ,同时为零，函数在同时为零，函数在 连续，则函连续，则函数数),(yxf在在 存在第一型曲线积分，且存在第一型曲线积分，且),(yxfdtttttfdsyxfbac)()()(),(),(22),( 一定要小于上限一定要小于上限定积分的下限定积分的下限c ,c a bbxaxyl ),(: lsyxfd),()(ba baxf,(1)xx d)(12 )(x dycyxl ),(: lsyxfd),()(dc (2) dcyyf),

2、( yy d)(12 lsyxfd),( d)()(sin)(,cos)( 22f),(: l (3)其它形式的计算方法其它形式的计算方法222,xya.22axyx ra cosra )( ).(),(),( ttztytx推广推广 若三维欧氏空间若三维欧氏空间3rc中光滑曲线中光滑曲线 的参数方程是的参数方程是则第一型曲线积分为则第一型曲线积分为空间曲线空间曲线 的弧长微分为的弧长微分为dttttds)()()(222 c cdszyxf),(dtttttttf)()()()(),(),(222 1.1.计算计算 其中其中c c为圆周为圆周,22dsyxc .22axyx 22a2.2.计

3、算其中计算其中c c为螺旋线为螺旋线,)(222dszyxc )20(,sin,cos tbtztaytax的一段的一段22222)43(32baba 3.计算积分计算积分,22dsecyx 其中其中c为由曲线为由曲线4, 0, ar所界的凸围线所界的凸围线4)1(2aaaee 连续，且连续，且则则 与与 在在 的第二型的第二型定理定理 如果函数如果函数 在有向光滑曲线在有向光滑曲线,),(),(:),( ttyytxxbac),(),(),(),( yxbyxa曲线积分都存在，且曲线积分都存在，且dttxtytxfdxyxfbac)()(),(),(),( dttytytxfdyyxfbac

4、)()(),(),(),( 二、第二型曲线积分二、第二型曲线积分 ,fx y ,fx y dx ,fx y dy ,c a b对坐标的曲线积分与曲线的方向有关对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. .因此下限应是起点的坐标因此下限应是起点的坐标, ,上限是上限是终点的终点的坐标坐标. .特殊情形特殊情形)(:xyyl , ax起起点点为为 lyyxqxyxpd),(d),(1)(1)b终终点点为为则则xxyxyxqxyxpbad)()(,)(, )(:yxxl lyyxqxyxpd),(d),(, cy起点为起点为(2)d终终点点为为yyyxqyxyyxpdcd),()(),( 则则,)()()(

5、: tztytx (3)推广推广, 起点起点t 终点终点 zzyxryzyxqxzyxpd),(d),(d),( )()(),(),(ttttp)()(),(),(ttttq ( ),( ),( )( )rtttt dt 格林公式格林公式定理定理 若函数若函数 及其偏导数及其偏导数),(),(yxqyxpypxq ,在有界闭区域在有界闭区域d上连续，则有上连续，则有 .qdypdxdxdyypxqd其中是围成闭区域其中是围成闭区域d的边界封闭曲线，的边界封闭曲线， 取正向取正向三、三、格林公式格林公式注注:对于不是封闭的曲线可以加些简单的辅对于不是封闭的曲线可以加些简单的辅助曲线使其构成封闭曲

6、线助曲线使其构成封闭曲线.格林公式格林公式四、曲线积分与路径无关的条件四、曲线积分与路径无关的条件定理定理若函数若函数 , , 以及以及ypxq ,在单连通区域在单连通区域g g连续，下列四个断语是等价的：连续，下列四个断语是等价的： ),(bacqdypdx与路线与路线c c无关无关，1.1.曲线积分曲线积分即只与始点即只与始点a a与终点与终点b b有关；有关；),(yxp),(yxq2.2.在在g g中存在一个函数中存在一个函数 , ,使使;qdypdxdu ),(yxu4.4.对对g g内的任意光滑闭曲线内的任意光滑闭曲线. 0 qdypdx;,),(xqypgyx 3.3., 定理定

7、理若在单连通区域若在单连通区域g g内函数内函数是是 的原函数，而的原函数，而),(11yxa与与 是是g g内任意两点，则内任意两点，则),(22yxb)(),(1122),(yxuyxudyqdxpbac .),(),(),(2211yxyxyxu ),(yxuqdypdx 4.,)2()2(22dyxyydxxyxc 其中其中c为沿曲线从为沿曲线从(-1,1)到到(1,1) ,)sin()cos1( cxxdyyyedxye其中其中c为为域域xyxsin0 ,0 的正方向的围线的正方向的围线5.5.2xy ;1514. 4 6 lyyxxxyx.d)(d)2(422计算计算为为其中其中l

8、.2sin)1 , 1()0 , 0(xybo 的曲线弧的曲线弧到点到点由点由点;1523.6);1(51. 5 xe7 计算计算 ,d)cos(d)sin(ymyexmyyexaox .22axyx )0 ,(aa)0 , 0(o其中其中aoao是从点是从点的上半圆周的上半圆周到点到点oxy )0,(aa281am 定理定理 若曲面块若曲面块s: s: ,),(dvu 是光滑或者逐片光滑的，其中是光滑或者逐片光滑的，其中d d是有是有 dzyxfs ),(,),(),(),(2dudvfegvuzvuyvuxfd 其中其中,222uuuzyxe , zzyyxxfuvuvu .222vvvz

9、yxg 界闭区域。函数界闭区域。函数 在曲面在曲面s s连续，则函数连续，则函数在在s s的第一型曲面积分存在，且的第一型曲面积分存在，且),(),(),(vuzzvuyyvuxx ),(zyxf),(zyxf五、第一型曲面积分的计算法五、第一型曲面积分的计算法, yxf szyxf d),(则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：yxzzyxdd1d22 ),(yxzyxzzyxdd122 xyd:s若若曲曲面面),(yxzz (1).(1).其它情形曲面积分的计算法其它情形曲面积分的计算法设设s s在在 面的投影区域为面的投影区域为 , ,xoyxyd ,zxf

10、 szyxf d),( ,zyf szyxf d),(xzdyzd),(zyxzyxxzydd122 ：若曲面若曲面 s(3).(3).),(zyxx (2).(2).:s若若曲曲面面),(zxyy ),(zxyzxyyzxdd122 设设s s在在 面的投影区域为面的投影区域为 , ,则则设设 s s 在在 面的投影区域为面的投影区域为 , ,则则xozyozxzdyzd计算计算 2125 sdszyx,)( 其中其中s为平面为平面 5 zy被柱面被柱面 2522 yx所截得的部分所截得的部分.8 8. .计算曲面积分计算曲面积分 其中其中s s是柱面是柱面222ryx syxd,22 hz

11、z , 0 被平面被平面 所截取的部分。所截取的部分。rh 2 sdszyx,)(其中其中s s是上半球面是上半球面).0(2222 zazyx10.3a 定理定理 若有光滑曲面若有光滑曲面s:s:,),(dyx ),(yxzz 其中其中d d是有界闭区域。函数是有界闭区域。函数 在曲面在曲面s s连续，连续，则函数则函数 在在s s第二型曲面积分第二型曲面积分,),(,(),( xydsdxdyyxzyxfdxdyzyxf其中符号其中符号“ ”“ ”由曲面由曲面s s的正侧外法线与的正侧外法线与z z轴轴正向的夹角余弦的符号决定。正向的夹角余弦的符号决定。六六. .第二型曲面积分的计算方法第

12、二型曲面积分的计算方法),(zyxfdxdyzyxf),(存在，且存在，且dxdyzyxrdzdxzyxqdydzzyxps),(),(),( 定理定理 设是中的双侧闭曲面设是中的双侧闭曲面s s所围成的所围成的v3rxy型（同时既是又是型（同时既是又是 型）有界闭体型）有界闭体yzzx若三元函数及其偏若三元函数及其偏),(),(),(zyxrzyxqzyxp导数在包含的区域上连续，则导数在包含的区域上连续，则v,dxdydzzryqxprdxdyqdzdxpdydzsv 其中曲面其中曲面s s的外侧为正的外侧为正奥奥-高公式高公式七、奥七、奥- -高公式高公式 vvzryqxpd d)cos

13、coscos( srqp syxrxzqzypdddddd的的整整个个边边界界曲曲面面的的是是这这里里vs cos,cos,cos.法向量的方向余弦法向量的方向余弦外侧外侧, ,处的处的上点上点是是),(zyxv定理定理设设s s是光滑或分片光滑的有向有界曲面，是光滑或分片光滑的有向有界曲面，s s的边界的边界c c是光滑或逐段光滑的有向闭曲线是光滑或逐段光滑的有向闭曲线c c的正向与的正向与s s的正侧符合右侧法则若三元函数的正侧符合右侧法则若三元函数),(zyxp),(zyxq),(zyxr 及其偏导数在包含曲及其偏导数在包含曲面面s s的空间区域内连续，则的空间区域内连续，则.)()()

14、(dxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyrs crdzqdypdx斯托克斯公式斯托克斯公式八斯托克斯公式八斯托克斯公式 srqpzyxyxxzzyddddddsrqpzyxsdcoscoscos 另一种形式另一种形式)cos,cos,(cos n其中其中上述形式便于记忆上述形式便于记忆. . czryqxpddd czryqxpddd斯托克斯公式可写成斯托克斯公式可写成定理定理若三元函数若三元函数及其偏导数在单连通体及其偏导数在单连通体v v连续，则下列四个连续，则下列四个断语断语是等价的：是等价的：）曲线积分）曲线积分 ),(bacrdzqdypdx与路径与路径c c无关，即只与始点无关，即只与始点a a与终点与终点b b有关；有关；）在）在v v内存在函数内存在函数 ),(zyxu