高一数学必修2教案：2.2.2直线与圆的位置关系

1、§直线与圆的位置关系教学目标：1依据直线和圆的方程，能熟练求出它们的交点坐标2能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系3理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系4会初步处理直线与圆相交时所得的弦长有关的问题，渗透方程思想，巩固基本量的求法教学重点：依据直线和圆的方程，求它们的交点坐标，理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系教学难点：直线与圆相交时所得的弦长有关的问题教学过程：1问题情境(1) 情境：圆心到直线的距离决定直线与圆的位置关系，那么已知圆( x1)2( y2

2、)24 和直线l1 : x 4 ， l 2 : y 0 ， l3 : x y 1 0 (2) 问题：判断该圆与三条直线的位置关系2直线 l 与圆 C 的方程分别为： Ax By C 0, x2y2DxEyF0如果直线 l 与圆 C 有公共点，由于公共点同时在 l 和 C 上，所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程有公共解，那么以公共解为坐标的点必是 l 与 C 的公共点由 l 与 C 的方程联立方程组AxByC0,我们有如下结论：x2y2DxEyF 0,位置关系：相离相切相交d rd rdr方程组无解方程组仅有一组解方程组有两组不同的解rdd=rrd3例题讲解例 1求直

3、线 4x3y40 和圆 x2y2100的公共点坐标，并判断它们的位置关系解： 直线4x 3y和圆 224x3y40的解40xy的公共点坐标就是方程组100x2y2100x214(10,0),( 14 , 48) 解这个方程组，得x110 ，5所以公共点坐标为y10y248555所以，直线 4x 3y40 和圆 x2y2100 有两个公共点，即直线和圆相交例 2自点 A(1,4) 作圆(x2)2( y3)21的切线,l求切线 l 的方程解法 1：当直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l: x1与圆相离，不满足条件，当直线 l不垂直于 x 轴时，可设直线 l 的方程为yy 4 k( x 1), 即

4、kx y ( k4) 0，如图，因为直线与圆相切，A(-1,4)所以圆心(2,3)到直线 l 的距离等于圆的半径，2k3( k4)1 解得 k0 或 k3故k214Ox因此，所求直线l 的方程是 y4或 3x4y13 0解法 2：当直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l: x1与圆相离，不满足条件当直线 l 不垂直于 x 轴时，可设直线 l 的方程为 y 4k( x1), 由于直线 l 与圆相切，所以方程组y4k (x 1)仅有一组解( x2) 2( y3)21由方程组消去y ，得关于 x 的一元二次方程 (1k 2 ) x2(2k 22k 4) xk 22k4 0 ，因为一元二次方程有两个相等

5、实根，所以判别式(2k 22k 4) 24(1k 2 )( k 22k4)0 ，解得 k 0或 k3，l 的方程是 y4或 3x4y 13 0 4因此，所求直线结论：相离0 ；相切0 ；相离0 变式： (1) 当点A 的坐标为 (2, 2) 时，切线 l 的方程(2) 当点 A 的坐标为 (1,1)，切线 l 的方程解： (1)由题意得： A (2, 2) 在圆 ( x 2)2( y 3)21上所以直线 AO 的方程为 x 2 ，因为 AO 与切线 l 垂直，所以切线l 的方程为 y 2说明：求圆的切线方程首先应判断点是否在圆上(2) 由题意：当直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l : x 1

6、与圆相切，满足条件当 直 线 l 不 垂 直 于 x 轴 时 ， 可 设 直 线 l 的 方 程 为 y 1k( x 1) ， 即 k xy (1k) 0，kxy(1 k)0(k21)x22(k22k2)x(k24k7)0，( x2) 2( y3)214(k22k2)24( k21)(k 24k7)0k33，经检验 k3 3练习：已知圆 C : x2y2444，直线 l : xyb ，(1) b 为何值时 l 与圆 C 相切，并求出切点坐标；(2) b 为何值时 l 与圆 C 相交，并求出弦长解答见苏大教学与测试P105 例 1例 3求直线 x3y23 0 被圆 x2y24 截得的弦长解法 1

7、： x3y230 ，解得x13x20y2，2y1y22xy41即公共点坐标为(3,1),(0,2) ，BMAOx则弦长为(30) 2(12)22 解法2：如图，设直线x3y2 30 与圆 x2y24交于 A, B 两点，弦 AB 的中点为 M ，则 OMAB ( O 为坐标原点 )，所以 OM0023123,(3) 2所以 AB2 AM2OA2OM 22 22(3) 22 例4已知圆 C ：2(y2，直线 l ： (2m 1)x (m 1)y 7m 4 0 (mR) ，(x 1)2)25(1) 证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；(2) 求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l

8、的方程分析：若直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于半径；若直线过圆内一点，则直线和圆相交，涉及相交弦问题，要注意运用弦长，半径及弦心距三者之间的关系解： (1)由题意直线方程可变形为(2 xy7)m( xy4)0mR,2 xy70x3A(3,1) ，xy40，直线 l 必过定点y1又(3 1)2(12) 2525，点 (3,1) 在圆 C 内，故 l 必与圆 C 相交(2) 要使弦长最小时，必须 l AC ,圆心 C (1,2) 和定点A(3,1)所在的直线 l1 的斜率 k11 ， l 的斜率 k2 ，2所以，直线 l 的方程为 2xy50 例 5已知圆 C : x2y22x4 y4 0 ，是否存在斜率为 1的直线 l ，使以 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直径经过原点？若存在， 求出 l 的方程；若不存在，说明理由解答见苏大教学与