人教版高中数学选修11：2.2 双 曲 线 课时提升作业十二 2.2.1 Word版含解析

1、起课时提升作业(十二)双曲线及其标准方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知f1(-8,3),f2(2,3)为定点,动点p满足|pf1|-|pf2|=2a,当a=3和a=5时,p点的轨迹分别为()a.双曲线和一条直线b.双曲线的一支和一条直线c.双曲线和一条射线d.双曲线的一支和一条射线【解析】选d.易得|f1f2|=10.当a=3时,2a=6,即2a<|f1f2|,所以p点的轨迹为双曲线的一支(靠近点f2).当a=5时,2a=10,即2a=|f1f2|,此时p,f1,f2共线.所以p点的轨迹是以f2为起点的一条射线.2.(2015·福建高考)若双曲线e

2、:x29-y216=1的左、右焦点分别为f1,f2,点p在双曲线e上,且|pf1|=3,则|pf2|等于()a.11b.9c.5d.3【解析】选b.因为pf1-pf2=2a,所以pf1-pf2=±6,所以pf2=9或-3(舍去).3.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程的曲线是()a.焦点在x轴上的椭圆b.焦点在x轴上的双曲线c.焦点在y轴上的椭圆d.焦点在y轴上的双曲线【解析】选d.方程mx2-my2=n可化为:y2-nm-x2-nm=1,因为mn<0,所以-nm>0,所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线.4.(2015·吉首高二检测)椭圆

3、x24+y2m2=1与双曲线x2m2-y22=1有相同的焦点,则m的值是()a.±1b.1c.-1d.不存在【解析】选a.方法一:直接法:显然双曲线焦点在x轴上,故4-m2=m2+2.所以m2=1,即m=±1.方法二:验证法:当m=±1时,m2=1,对椭圆来说,a2=4,b2=1,c2=3.对双曲线来说,a2=1,b2=2,c2=3,故当m=±1时,它们有相同的焦点.【误区警示】本题在求解时常常因为混淆椭圆与双曲线的数量关系导致错误.5.(2015·三明高二检测)已知双曲线的左、右焦点分别为f1,f2,过f1的直线与双曲线的左支交于a,b两点,

4、线段ab的长为5,若2a=8,那么abf2的周长是()a.16b.18c.21d.26【解题指南】借助双曲线的定义求解,注意点a,b的位置.【解析】选d.|af2|-|af1|=2a=8,|bf2|-|bf1|=2a=8,所以|af2|+|bf2|-(|af1|+|bf1|)=16,所以|af2|+|bf2|=16+5=21,所以abf2的周长为|af2|+|bf2|+|ab|=21+5=26.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知点p(2,-3)是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点,双曲线两个焦点间的距离等于4,则该双曲线方程是.【解析】由题意知c=2,设该

5、双曲线方程是x2a2-y24-a2=1,把点p(2,-3)代入,得4a2-94-a2=1,解得a2=1或a2=16(舍).所以该双曲线方程为x2-y23=1.答案:x2-y23=17.若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k=.【解题指南】先化双曲线方程为标准形式,再借助a,b,c的关系求解.【解析】方程可化为y2-8k-x2-1k=1,由焦点在y轴上,得a2=-8k,b2=-1k.所以c2=-9k,所以9=-9k,所以k=-1.答案:-18.(2015·潍坊高二检测)已知双曲线的两个焦点f1(-5,0),f2(5,0),p是双曲线上一点,且pf1·pf2=

6、0,|pf1|·|pf2|=2,则双曲线的标准方程为.【解析】由题意可设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).由pf1·pf2=0,得pf1pf2.根据勾股定理得|pf1|2+|pf2|2=(2c)2,即|pf1|2+|pf2|2=20.根据双曲线定义有|pf1|-|pf2|=±2a.两边平方并代入|pf1|·|pf2|=2得20-2×2=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,所以双曲线方程为x24-y2=1.答案:x24-y2=1【拓展延伸】与双曲线定义相关问题的解法利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是

7、要注意定义条件|pf1|-|pf2|=2a的变形的使用,特别是与|pf1|2+|pf2|2,|pf1|·|pf2|间的关系;二是要与三角形知识相结合,如勾股定理、余弦定理、正弦定理等,同时要注意整体思想的应用.三、解答题(每小题10分,共20分)9.根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)过点p3,154,q-163,5且焦点在坐标轴上.(2)c=6,经过点(-5,2),焦点在x轴上.【解析】(1)设双曲线方程为x2m-y2n=1,因为p,q两点在双曲线上,所以9m-22516n=1,2569m-25n=1解得m=-16,n=-9,所以所求双曲线方程为-x216+y29=1,即y29

8、-x216=1.(2)因为焦点在x轴上,c=6,所以设所求双曲线方程为x2-y26-=1(其中0<<6).因为双曲线经过点(-5,2),所以25-46-=1,所以=5或=30(舍去),所以所求双曲线的方程是x25-y2=1.10.在周长为48的rtmpn中,mpn=90°,tanpmn=34,求以m,n为焦点,且过点p的双曲线方程.【解题指南】由双曲线定义可知|pm|-|pn|=2a,|mn|=2c,所以利用条件确定mpn的边长是关键.【解析】因为mpn的周长为48,且tanpmn=34,所以设|pn|=3k,|pm|=4k,则|mn|=5k.由3k+4k+5k=48得k

9、=4.所以|pn|=12,|pm|=16,|mn|=20.以mn所在直线为x轴,以mn的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.设所求双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).由|pm|-|pn|=4得2a=4,a=2,a2=4.由|mn|=20得2c=20,c=10.所以b2=c2-a2=96,所以所求双曲线方程为x24-y296=1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·广州高二检测)椭圆y249+x224=1与双曲线y2-x224=1有公共点p,则p与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为()a.48b.24c.243d.123【

10、解析】选b.由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点f1(0,5)和f2(0,-5),又由椭圆与双曲线的定义可得|pf1|+|pf2|=14,|pf1|-|pf2|=2,所以|pf1|=8,|pf2|=6,或|pf1|=6,|pf2|=8.又|f1f2|=10,所以pf1f2为直角三角形,f1pf2=90°.所以pf1f2的面积s=12|pf1|pf2|=12×6×8=24.2.(2015·成都高二检测)若方程x2m-1+y2m2-4=3表示焦点在y轴上的双曲线,则m的取值范围是()a.(1,2)b.(2,+)c.(-,-2)d.(-2,2)【解析】选c.由题

11、意,方程可化为y2m2-4-x21-m=3,所以m2-4>0,1-m>0,解得m<-2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知f是双曲线x24-y212=1的左焦点,a(1,4),p是双曲线右支上的动点,则|pf|+|pa|的最小值为.【解题指南】借助双曲线的定义,把|pf|+|pa|的最值问题转化为点共线问题.【解析】设右焦点为f1(4,0),依题意,|pf|=|pf1|+4,所以|pf|+|pa|=|pf1|+4+|pa|=|pf1|+|pa|+4|af1|+4=5+4=9.答案:94.(2015·昆明高二检测)已知动圆m与圆c1:(x+3)2+y2=9外切

12、且与圆c2:(x-3)2+y2=1内切,则动圆圆心m的轨迹方程是.【解析】设动圆m的半径为r.因为动圆m与圆c1外切且与圆c2内切,所以|mc1|=r+3,|mc2|=r-1.相减得|mc1|-|mc2|=4.又因为c1(-3,0),c2(3,0),并且|c1c2|=6>4,所以点m的轨迹是以c1,c2为焦点的双曲线的右支,且有a=2,c=3.所以b2=5,所以所求的轨迹方程为x24-y25=1(x2).答案:x24-y25=1(x2)【误区警示】本题在求解时常常因为忽略限定条件“x2”导致错误.三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·济南高二检测)已知方程kx2+

13、y2=4,其中k为实数,对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.【解题指南】解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系数应满足的条件进行分类讨论.【解析】(1)当k=0时,y=±2,表示两条与x轴平行的直线.(2)当k=1时,方程为x2+y2=4,表示圆心在原点,半径为2的圆.(3)当k<0时,方程为y24-x2-4k=1,表示焦点在y轴上的双曲线.(4)当0<k<1时,方程为x24k+y24=1,表示焦点在x轴上的椭圆.(5)当k>1时,方程为x24k+y24=1,表示焦点在y轴上的椭圆.【补偿训练】当0°180°时,方程x2co

14、s+y2sin=1表示的曲线如何变化?【解析】(1)当=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=±1.(2)当0°<<90°时,方程为x21cos+y21sin=1.当0°<<45°时,0<1cos<1sin,它表示焦点在y轴上的椭圆.当=45°时,它表示圆x2+y2=2.当45°<<90°时,1cos>1sin>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.(3)当=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=±1.(4)当90°<<180°时,方程为y21sin-x21-cos=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.(5)当=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.6.已知定点a(0,7),b(0,-7),c(12,2),以c为一个焦点作过a,b的椭圆,求另一焦点f的轨迹方程.【解