曲线积分与曲面积分20879

1、第十章 习题课曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分一一 基本要求基本要求1理解两类曲线和曲面积分的概念，了解两类理解两类曲线和曲面积分的概念，了解两类积分的性质以及两类积分的关系。积分的性质以及两类积分的关系。2掌握计算两类曲线、曲面积分的方法。掌握计算两类曲线、曲面积分的方法。3掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件。无关的条件。4了解高斯公式，并会用高斯公式求曲面积分。了解高斯公式，并会用高斯公式求曲面积分。5会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长质量重心转动惯量引力、理量（弧长质量重心转动惯量

2、引力、功和流量等）。功和流量等）。 二二. .要点提示要点提示1.曲线积分的计算曲线积分的计算化为定积分计算化为定积分计算（1）对弧长（第一型）对弧长（第一型）设设l：弧微分弧微分( ),( ),xtytt 22( , )( ),( )( )( ),lf x y dsftttt dt22( )( ),dstt dt（2）对坐标（第二型）对坐标（第二型）设设l： ( ),( ),xtytb 从a到( , )( , )( ),( )( )( ),( )( )lp x y dxq x y dyptttqttt dt2曲面积分的计算（化为二重积分）曲面积分的计算（化为二重积分）（1）对面积（第一型）的

3、曲面积分）对面积（第一型）的曲面积分若22( , , ), , ( , )1( , )( , )xyxydf x y z dsf x y z x yzx yzx y dxdy( , )zz x y:22:( , ),1yzxx y z dsxx dydz22:( , ),1xzyy x z dsyy dxdz（2）对坐标（第二型）的曲面积分）对坐标（第二型）的曲面积分若 上侧，则若 下侧，则( , , ), , ( , )xydr x y z dxdyr x y z x y dxdy:( , )zz x y:( , )zz x y( , , ), , ( , )xydr x y z dxdyr

4、 x y z x y dxdy ( , , )( , ), ,yzdp x y z dydzp x y zy z dydz :( , ),xx y z:( , ),yy x z( , , ). ( , ),zxdq x y z dzdxq x y z x z dzdx ()dlqpdxdypdxqdyxy3.格林公式格林公式平面上曲线积分与二重积分的平面上曲线积分与二重积分的关系：关系：（1）曲线积分与路径无关的条件）曲线积分与路径无关的条件l正向正向.以及等价关系以及等价关系.qpxy（2）添加曲线使积分曲线弧段成为闭曲线，）添加曲线使积分曲线弧段成为闭曲线，利用格林公式求曲线积分利用格林公

5、式求曲线积分.4.高斯公式高斯公式 曲面积分与三重积分的关系曲面积分与三重积分的关系()pqrdvpdydzqdzdxrdxdyxyz. 为为外外侧侧三 问题与思考问题问题1 下列运算正确吗？下列运算正确吗？ 22222222232224122xyaldxyaxydsadsaxydada 解解 （1）正确）正确. (2) 错误，因为二重积分的积分包括圆的边界错误，因为二重积分的积分包括圆的边界 和内部，正确的是和内部，正确的是 222222240012axyaxyddrrdra 问题问题2.如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念？如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念？答：由于实际需要，曲

6、线积分与曲面积分为两种类型，答：由于实际需要，曲线积分与曲面积分为两种类型，有关质量重心转动惯量等数量积分问题导出第一有关质量重心转动惯量等数量积分问题导出第一类线面积分；有关变力作功、流体流过曲面的流量等类线面积分；有关变力作功、流体流过曲面的流量等向量问题导出第二类线、面积分。向量问题导出第二类线、面积分。 前者被积函数化为数量函数沿区域积分，无需考虑前者被积函数化为数量函数沿区域积分，无需考虑方向性，而后者被积函数是向量函数，必须考虑方向。方向性，而后者被积函数是向量函数，必须考虑方向。因此，一个函数的积分可以由积分区域的有向或无向因此，一个函数的积分可以由积分区域的有向或无向分为两种类

7、型的积分，分为两种类型的积分， 在所学过的积分中在所学过的积分中区域无向的积分有：区域无向的积分有：重积分第一类曲线积分和第一类曲面积分；重积分第一类曲线积分和第一类曲面积分；区域有向的积分有：区域有向的积分有：定积分第二类曲线积分和第二类曲面积分定积分第二类曲线积分和第二类曲面积分. 曲线的方向是由起点到终点（定积分）或切向量曲线的方向是由起点到终点（定积分）或切向量的方向来确定，曲面的方向则由曲面上点的法向量所的方向来确定，曲面的方向则由曲面上点的法向量所指向的侧来确定指向的侧来确定.例例1 计算计算 12llxy dsxy dx :1,1,00,1lxy从从到到。 1,0 0,1oyx四

8、 典型题目1.解解 21:1,12l yx dsy dxdx 10122lxy dsdx 12lllxy dsdsds或或 2:1,:10,l yx x 0111lxy dxdx 22222,:nlxydsl yax 例例求求上上半半圆圆周周 222221nnnnlllxydsadsadsa 1( 1, 1),( ,0),(0,1)2abc 这里labc是有向折线是有向折线223lxdyydxixy例求2222qyxpxxyx解解积积分分与与路路径径无无关关可选路径可选路径aefc，则，则11022222111111lxdyydxdxdydxixyxyx11020555arctan|14dxx

9、xadc请思考：能否请思考：能否取折线取折线4cossinxxleydxeydy 例例 计计算算 22(0)1,00,0lxyx yao其其中中 ：从从到到的的上上半半圆圆周周. .sinxqpeyxx 解解积积分分与与路路径径无无关关ao:0,:0aoyx a另另选选直直线线 0cossin1cos012xxlxaaeydxeydyedxe 25x ds例 求2222xyzr：，第一卦限部分.222222221:1xyzrxyrdxdydszzdxdyrxy解解法法222222222:,0,0 xyxydrx dxdyx dsdxyr xyrxy32422200cos6rrrdrrr解解 法法2 由对称性（轮换性）由对称性（轮换性）222x dsy dsz ds2222222411433386rrx dsxyz dsdsrr22226xyzxy dxdy例，22:10.zxyz 的下侧22:1xyxoydxy下下解解向向面面的的投投影影区区域域22222221200=23xydx