人教版高中数学选修11：3.3 导数在研究函数中的应用 课时提升作业二十三 3.3.2 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料课时提升作业(二十三)函数的极值与导数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·天津高二检测)函数y=f(x)是定义在r上的可导函数,则下列说法不正确的是()a.若函数在x=x0时取得极值,则f(x0)=0b.若f(x0)=0,则函数在x=x0处取得极值c.若在定义域内恒有f(x)=0,则y=f(x)是常数函数d.函数f(x)在x=x0处的导数是一个常数【解析】选b.f(x0)=0是函数在x=x0处取得极值的必要不充分条件,故b错误,a,c,d均正确.2.设函数f(x)=xex,则()a.x=1为f(x)的极大值点b.x=-1为f(x

2、)的极大值点c.x=1为f(x)的极小值点d.x=-1为f(x)的极小值点【解析】选d.f(x)=ex+xex,令f(x)=0得x=-1,当x<-1时,f(x)<0;当x>-1时,f(x)>0,故x=-1时取极小值.【补偿训练】设函数f(x)=2x+lnx,则()a.x=12为f(x)的极大值点b.x=12为f(x)的极小值点c.x=2为f(x)的极大值点d.x=2为f(x)的极小值点【解析】选d.f(x)=-2x2+1x=-2+xx2,令f(x)=0得,x=2,当x<2时,f(x)<0;当x>2时,f(x)>0,故x=2时取极小值.3.已知函数

3、f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是()a.-1<a<2b.-3<a<6c.a<-1或a>2d.a<-3或a>6【解析】选d.f(x)=3x2+2ax+a+6,函数f(x)有极大值和极小值,则f(x)=3x2+2ax+a+6=0有两不相等的实数根,即有=(2a)2-12(a+6)>0,解得a<-3或a>6.4.(2015·济宁高二检测)已知f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0),则f(x)的极值情况是()a.极大值为f13,极小值为f(1)b.极大值为f(1),

4、极小值为f13c.极大值为f13,没有极小值d.极小值为f(1),没有极大值【解析】选a.由函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于点(1,0)得:p+q=1,p2+4q=0.解出p=2,q=-1,则函数f(x)=x3-2x2+x,则f(x)=3x2-4x+1,令f(x)=0得到:x=1或x=13.当x1或x13时,函数单调递增;当13<x<1时,函数单调递减,所以极大值为f13,极小值为f(1).【补偿训练】(2014·宿州高二检测)设a为实数,求函数f(x)=ex-2x+2a,xr的单调区间与极值.【解析】因为f(x)=ex-2,令f(x)=0,解得x=ln2

5、,当x<ln2时,f(x)<0,函数单调递减;当x>ln2时,f(x)>0,函数单调递增;故函数的减区间为(-,ln2),增区间为(ln2,+),当x=ln2时函数取极小值,极小值f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2-2ln2+2a.5.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于()a.2b.3c.6d.9【解题指南】利用函数在x=1处有极值得到a,b的关系式,再利用基本不等式求最大值.【解析】选d.f(x)=12x2-2ax-2b,因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,所以

6、f(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,则aba+b22=9(当且仅当a=b=3时,等号成立).二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值0,则m+n=.【解析】f(x)=3x2+6mx+n,则f'(-1)=0,f(-1)=0,代入解得m=2,n=9,或m=1,n=3,当m=1,n=3时,f(x)=3x2+6x+3=3(x+1)20,函数f(x)无极值,舍去.故m=2,n=9,故m+n=11.答案:117.(2015·陕西高考)函数y=xex在其极值点处的切线方程为.【解析】依题意得y=ex+xex,令y=0,可得x

7、=-1,所以y=-1e.因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=-1e.答案:y=-1e8.(2015·邢台高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则f(-1)=.【解析】f(x)=3x2+2ax+b,由题意得f'(1)=0,f(1)=10,得3+2a+b=0,1+a+b+a2=10,解得:a=-3,b=3,或a=4,b=-11.所以f(x)=x3-3x2+3x+9或f(x)=x3+4x2-11x+16,故f(-1)=2或f(-1)=30.答案:2,30三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·安徽高考)已知函数f

8、(x)=ax(x+r)2(a>0,r>0),(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性.(2)若ar=400,求f(x)在(0,+)内的极值.【解析】(1)由题意知x-r,所以定义域为-,-r(-r,+),f(x)=ax(x+r)2=axx2+2rx+r2,f(x)=a(x2+2rx+r2)-ax(2x+2r)(x2+2rx+r2)2=a(r-x)(x+r)(x+r)4,所以当x<-r或x>r时,f(x)<0,当-r<x<r时,f(x)>0.因此,f(x)的单调递减区间是-,-r,(r,+);f(x)的单调递增区间是(-r,r).(2)由(

9、1)可知f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+)上单调递减,因此,x=r是f(x)的极大值点,所以f(x)在(0,+)内的极大值为f(r)=ar(2r)2=a4r=100.10.设f(x)=(x2-2x+2-a2)ex,(1)讨论该函数的单调性.(2)设g(a)为函数f(x)的极大值,证明:g(a)<2.【解析】(1)因为f(x)=(x2-2x+2-a2)ex,所以f(x)=(x-a)(x+a)ex,a>0,由f(x)>0,可得x<-a或x>a,由f(x)<0,可得-a<x<a;a<0,由f(x)>0,可得x<a或x>

10、-a,由f(x)<0,可得a<x<-a;a=0,函数在r上递增,综上,a>0,函数的单调递增区间为(-,-a),(a,+),单调递减区间为(-a,a);a<0,函数的单调递增区间为(-,a),(-a,+),单调递减区间为(a,-a);a=0,函数的单调递增区间为(-,+).(2)由(1)知g(a)=2(a+1)e-a,a>0,2(-a+1)ea,a<0,因为g(-a)=2(-a+1)ea,a<0,2(a+1)e-a,a>0=g(a),所以g(a)是偶函数,a<0时,g(a)=2(-a+1)ea,g(a)=-2aea>0,所以g(

11、a)在(-,0)上为增函数,所以g(a)<2,a>0时,g(a)=g(-a)<2,综上,g(a)<2.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·西安高二检测)已知函数f(x)=13x3+12ax2+2bx+c(a,b,cr),且函数f(x)在区间(0,1)内取得极大值,在区间(1,2)内取得极小值,则z=(a+3)2+b2的取值范围为()a.22,2b.12,4c.(1,2)d.(1,4)【解析】选b.f(x)=x2+ax+2b,因为函数f(x)在区间(0,1)内取得极大值,在区间(1,2)内取得极小值,所以f'(0)>

12、0,f'(1)<0,f'(2)>0.即b>0,a+2b+1<0,a+b+2>0,画出可行域如图所示,z=(a+3)2+b2表示可行域内的点到(-3,0)距离的平方,由图可知,距离的最小值为|-3+0+2|2=22,距离的最大值为2(均取不到),则z的取值范围为12,4.2.(2015·邢台高二检测)若f(x)=13x3-12ax2+x+1在12,3上有极值点,则实数a的取值范围是()a.2,52b.2,103c.2,103d.2,52【解题指南】利用函数在12,3上有极值点,分离出a后求a的范围.【解析】选b.因为函数f(x)=x33-a

13、2x2+x+1,所以f(x)=x2-ax+1,若函数f(x)=x33-a2x2+x+1在区间12,3上有极值点,则f(x)=x2-ax+1在区间12,3内有零点.由x2-ax+1=0可得a=x+1x,因为x12,3,故a=x+1x在12,1上是减函数,在(1,3)上是增函数.所以2a<103.【补偿训练】已知函数y=x3-ax在(0,1)上有极小值,则实数a的取值范围是()a.(3,+)b.(-,0)c.(0,1)d.(0,3)【解析】选d.y=3x2-a,解y=0得x=±a3,则0<a3<1,解得0<a<3.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知函

14、数f(x)=mx+x在x=14处有极值,则m=.【解析】f(x)=m+12x,则f14=m+1214=m+1=0,解得m=-1.答案:-14.如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则x12+x22=.【解题指南】根据函数图象上的特殊点求出b,c,d,又得到x1,x2是方程f(x)=0的根,结合根与系数的关系求值.【解析】由图象可知f(0)=d=0,又f(-1)=0,f(2)=0,解得b=-1,c=-2,故f(x)=x3-x2-2x,f(x)=3x2-2x-2,由图象可知x1,x2是方程3x2-2x-2=0的两个根,故x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=169.答案:1

15、69三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex(a2,xr)(1)当a=1时,求f(x)的单调区间.(2)是否存在实数a,使f(x)的极大值为3?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.【解析】(1)f(x)=(x2+x+1)ex,f(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex,当f(x)>0时,解得x<-2或x>-1,当f(x)<0时,解得-2<x<-1,所以函数的单调增区间为(-,-2),(-1,+);单调减区间为(-2,-1).(2)f(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a)ex=x

16、2+(2+a)x+2aex=(x+a)(x+2)ex=0,所以x=-a,或x=-2,列表如下:因为a2,所以-a-2.x(-,-2)-2(-2,-a)-a(-a,+)f(x)+0-0+f(x)极大极小由表可知f(x)极大=f(-2)=(4-2a+a)e-2=3,解得a=4-3e22,所以存在实数a2,使f(x)的极大值为3.6.(2015·重庆高考)设函数f(x)=3x2+axex(ar).(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.(2)若f(x)在3,+上为减函数,求a的取值范围.【解析】(1)对f(x)求导得f(x)=

17、(6x+a)ex-(3x2+ax)exex2=-3x2+(6-a)x+aex.因为f(x)在x=0处取得极值,所以f(0)=0,即a=0.当a=0时,f(x)=3x2ex,f(x)=-3x2+6xex,故f(1)=3e,f(1)=3e,从而y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-3e=3e(x-1),化简得3x-ey=0.(2)由(1)知f(x)=-3x2+(6-a)x+aex,令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0解得x1=6-a-a2+366,x2=6-a+a2+366.当x<x1时,g(x)<0,即f(x)<0,故f(x)为减函数;当x1<x<x2时,g(x)>0,即f(x)>0,故f(x)为增函数;当x>x2时,g(x)<0,即f(x)<0,故f(x)为减函数;由f(x)在3,+上为减函数,知x2=6-a+a2+3663,解得a-92,故a的取值范围为-92,+.【补偿训练】已知f(x)=x3+bx2+cx+2.若f(x)在x=1时有极值-1,求b,c的值.在的条件下,若函数y=f(x)的图象与函数y=k的图象恰有三个不同的交点,求实数k的取值范围.【解析】因为f(x)=x3+bx2+cx+2,所以f(x)=3x2+2bx+c.由