第十一章程多元函数极限与连续

1、一、一、eucid空间点集相关概念空间点集相关概念（1 1）n 维空间维空间实数实数 x一一对应一一对应数轴点数轴点. 数组数组 (x, y)实数全体表示直线实数全体表示直线(一维空间一维空间)一一对应一一对应r平面点平面点(x, y) 全体表示平面全体表示平面(二维空间二维空间)2r数组数组 (x, y, z)一一对应一一对应空间点空间点(x, y, z) 全体表示空间全体表示空间(三维空间三维空间)3r推广推广：n 维数组维数组 (x1, x2, , xn) 全体称为全体称为 n 维空间维空间，记为，记为.nr.)(3).0 , 0 , 0(0),(2., 2 , 1,),(|12121积

2、的笛卡尔个也称为注中的零元素记为个坐标的第称为也称向量或点中的元素注注descartesrnrrr、r，rixx，xxxx、rnirxxxxxxrrr、rnninninn （3）euclid空间空间在在n维空间维空间rn上定义加法和数乘运算：上定义加法和数乘运算： （2）向量空间）向量空间),(),(),(),(),(212122112121nnnnnnxxxxxxxyxyxyxyyyxxxyx 则则rn成为向量空间。成为向量空间。 在在n维向量空间维向量空间rn上定义内积运算：上定义内积运算： .,12211 niiinnyxyxyxyxyx则则rn成为成为euclid空间。其中内积有如下性

3、质：空间。其中内积有如下性质： (i)正定性：正定性：0,而而=0当且仅当当且仅当x=0;(ii)对称性对称性:=;(iii)线性性线性性:=a+b;(iv)schwarz不等式不等式:2 .（4）euclid空间中的距离定义：空间中的距离定义：.,),(.,|)(0)()()(|),(),(),(2222122222112121 yxyxyxdxxxxxxeuclidxxyxyxyxyxyxdyyyyxxxxeuclidnnnnn范数的模长的距离也叫到点的距离定义为和空间中的两点(5)距离有下面的性质距离有下面的性质:(i)正定性正定性:|x-y|0,|x-y|=0当且仅当当且仅当x=y;(

4、ii)对称性对称性:|x-y|=|y-x|;(iii)三角不等式三角不等式:|x-z|x-y|+|x-z|;一、平面点集一、平面点集r r中邻域中邻域。且且是是两两个个实实数数与与设设0, a,叫叫做做这这邻邻域域的的中中心心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 ),( axxau的的称称为为点点数数集集aaxx ,邻域),( au记作记作),( axaxau) ,( aaxa a a设设),(000yxp是是xoy平平面面上上的的一一个个点点， 是是某某一一正正 数数，与与点点),(000yxp距距离离小小于于 的的点点),(yxp的的全全 体体，称称为为点点0p的的 邻邻域域，记记为为

5、),(0 pu， （1 1）r r2 2邻域邻域0p ),(0 pu |0ppp .)()(| ),( 2020 yyxxyx :)( 00pup 的去心邻域的去心邻域点点 .)()(0| ),( )(20200 yyxxyxpur rn n中的邻域中的邻域),(0 pu |0ppp.)(.)(| ),.,( 221121nnnaxaxxxx:)( 00pup 的去心邻域的去心邻域点点.)(.)(0| ),.,( )(221110nnnoaxaxxxpurn中点列收敛概念中点列收敛概念:定义定义:设设 xk是是rn 中的点列中的点列,若存在若存在rn中的点中的点a,使得对于使得对于任意的任意的

6、 0,存在正整数存在正整数k,kkaxk,|成立成立,则称则称xk收敛于收敛于a或者或者a是是xk的极限的极限.记为记为lim kx k =a. 定理定理: lim kx k =a的充分必要条件是的充分必要条件是lim kx i k =ai.（2 2）区域）区域的的为为则称则称，的某一邻域的某一邻域个点如果存在点个点如果存在点是平面上的一是平面上的一是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设epepuppe )(.ee 的内点属于的内点属于ep 为为的点都是内点，则称的点都是内点，则称如果点集如果点集ee41),(221 yxyxe例如，例如，即为即为开集开集内点内点.内点：内点：开集：开集

7、：开集开集.的的为为），则称），则称，也可以不属于，也可以不属于属于属于本身可以本身可以点点的点的点点，也有不属于点，也有不属于的的于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点epeepeep ( ep 的的边边界界的的边边界界点点的的全全体体称称为为ee是是，则称开集，则称开集于于都属都属起来，且该折线上的点起来，且该折线上的点连结连结任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设dddd 边界点：边界点：边界点边界点.连通：连通：连通的连通的.开区域：开区域：连通的开集称为连通的开集称为区域区域或或开区开区域域.41| ),(22 yxyx例如，例

8、如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域. . .41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo闭区域：闭区域：对于点集对于点集 e，如果存在正数，如果存在正数 k，使一切点，使一切点 pe 与某一点与某一点 a 间的距离间的距离 |ap| 不超过不超过 k，即，即kap 对于一切点对于一切点 pe 成立，则称成立，则称 e 为为有界点集有界点集。否则称为否则称为无界点集无界点集.0| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，41| ),(22 yxyxxyo（3 3）聚点）聚点设设 e是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，p

9、 是平面上的一个是平面上的一个 点，如果点点，如果点 p的任何一个邻域内总有无限多个的任何一个邻域内总有无限多个 点属于点集点属于点集 e，则称，则称 p为为 e 的的聚点聚点. . （1 1）内点一定是聚点；内点一定是聚点；（2 2）边界点可能是聚点边界点可能是聚点, ,也可能不是聚点；也可能不是聚点；10| ),(22 yxyx例如，例如，(0, 0) 既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点（3 3）点集点集e的聚点可以属于的聚点可以属于e，也可以不属于，也可以不属于e10| ),(22 yxyx例如例如, ,(0, 0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例

10、如, ,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合性质定理第一组性质定理第一组:(1)x是是s的聚点的充分必要条件是的聚点的充分必要条件是:存在存在s的点列的点列 x k |x k s, x k x,使得使得lim kx k =x.(2)s为闭集的充分必要条件为为闭集的充分必要条件为sc是开集是开集.(3)任意组开集的并是开集任意组开集的并是开集;(4)任意组闭集的交是开集任意组闭集的交是开集;(5)有限个开集的交是开集有限个开集的交是开集;(6)有限个闭集的并是闭集有限个闭集的并是闭集;acacaaacacaassbssa.)(),)()性质定理第二组性质定理第二组:de

11、morgan公式公式:设设sa是是(有限或者无限有限或者无限)rn中的子集合中的子集合,则则二、二、euclid空间基本定理空间基本定理,.;2 , 1,kdcbakkkkk（1）闭区间套定理）闭区间套定理11.1.6:设设是一列是一列矩形套，如果矩形套，如果),(0)()()2(;)1(221kcdabkkkkkk则存在唯一点则存在唯一点a每个每个k . 1321kksssss（2）cantor闭区域套定理闭区域套定理11.1.6:设设是一列是一列 闭区域套，如闭区域套，如果果;0)(lim)1(kksdiam则存在唯一点则存在唯一点a每个每个sk .（3）一个应用：）一个应用：bolzan

12、o-weierstrass定理：定理：定理：rn上的有界点列xn必有收敛子列。证明：推论： rn上的有界无限点集至少有一个聚点。cauchy收敛原理：收敛原理：定义： rn中的点列xn满足：对于任意的0,存在正整数k，使得对任意的k,lk,成立|xl-xk|，称xk为基本列（或者cauchy列）。定理：rn中的点列xn收敛的充分必要条件是： xn是基本列。heine-borel定理：定理：定义：设s是rn的一个子集，如果rn中的一组开集ua| aa 满足 aa ua s，称ua是s的一个开覆盖。如果s的每个开覆盖ua中总存在一个有限的子覆盖，称s是紧集。定理：s是紧集的充分必要条件是：s是有界

13、闭集。 三个等价结论：三个等价结论：定理：设s是rn的子集合，那么以下三个命题等价（1）s是有界闭集合；（2）s是紧集合；（3）s的任意无限子集在s中必有聚点。本节涉及数学家：本节涉及数学家： euclid:古希腊数学家，公元前330年生于雅典，代表作：几何原本，十三卷。公元前275年卒。 cantor:德国数学家，1845年生于德国，集合论的创始人。1918年卒。 weieratrass:19世纪下半叶德国数学家，生于1815年德国，数学分析大师，一是建立了实数理论，二是建立了极限理论。1897年卒。 augustus de morgan:1806-1871，生于india,移住英国，主要著

14、作formal logic ，首先使用规范数学归纳法,对数学的贡献很多，见/projects/reals/history/demorgan.html。 rene descartes:1596-1650,法国,西方近代资产阶级哲学的奠基人之一,数学家,自然科学家.是他的公开发表的唯一的数学著作标志着解析几何的诞生.恩格斯说:“数学的转折点是迪卡尔的变数.” bolzano：1781-1848，捷克数学家http:/www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/biographies/bolzano.html,与weierstrass有过合

15、作研究,主要贡献在数学和哲学。 heine：1821-1881，德国数学家，主要贡献在给出一致连续概念，研究兴趣在spherical functions, lam functions, and bessel functions.发表超过50篇论文。 borel：1871-1956，法国数学家，主要研究为测度论、概率论（borel集是其提出的典型集合），one of the founders of the theory of functions of real variables 。.lb/en/themes/biographies/mainbiogra

16、phies/h/heine/1.html augustin-louis cauchy:1789-1857,法国数学家，积分定义为和的极限，无穷级数的收敛发散判别，定义了“行列式”及运算等。 听雨尘心含藏识读书博客听雨尘心含藏识读书博客 http:/ 5）二元函数的定义）二元函数的定义回忆回忆y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是是 设设x和和y是两个变量。是两个变量。d是一个给定是一个给定 的的数集数集，若对于每个数，若对于每个数dx ，变量，变量 ).(xfy x 的的函数函数，记作，记作 定定义义 1 1 设设d是是平平面面上上的的一一

17、个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点 dyxp ),(，变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定 的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数， 记记为为 ),(yxfz （或或记记为为)(pfz ）. . ),(),( dyxyxfzzw 点集点集 d -定义域定义域，- 值域值域.x、y -自变量自变量，z -因变量因变量.当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. . 对对应应地地，函函数数)(xfy 称称为为一一元元函函数数. 类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数定定义义 1 1 设设d是是平平

18、面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点 dyxp ),(，变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定 的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数， 记记为为 ),(yxfz （或或记记为为)(pfz ）. . ),(),( dyxyxfzzw 点集点集 d -定义域定义域，- 值域值域.x、y -自变量自变量，z -因变量因变量.).,(),(yxzyxzzyxz 的的函函数数也也可可记记为为、是是函数的函数的两个要素两个要素: : 定义域、对应法则定义域、对应法则. .与一元函数相类似，对于定义域与一元函数相类似，对于定义域约定约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集. .例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxd （6 6）二元函数）二元函数 的图形的图形),(yxfz 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为d，对对于于任任意意 取取定定的的dyxp ),(，对对应应的的函函数数值值为为),(yxf