第四章积分变换法

1、第四章第四章 积分变换法积分变换法4.1 傅立叶变换的概念和性质4.2 傅立叶变换的应用4.3 拉普拉斯变换的概念和性质4.4 拉普拉斯变换的应用定义定义：假设：假设 i 是数集是数集(实数或者复数实数或者复数)，k(s,x) 为为 上的函数上的函数,这里这里 a,b为任意区间。如果为任意区间。如果 f(x) 在区间在区间 a,b 有定义有定义, 且且 k(s,x) f(x)为为 a,b 上可积函数上可积函数, 则含参变量积分则含参变量积分 , ia b ,si ,:bafx dksxxsf 定义了一个从定义了一个从 f(x) 到到 f(s) 的变换的变换, 称为称为积分变换积分变换, k(s

2、,x) 为变换的为变换的核核。 常见的积分变换有常见的积分变换有傅立叶变换傅立叶变换和和拉普拉斯变换。拉普拉斯变换。 4.1 4.1 傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换傅立叶变换 .ixff x dex 记作：记作：( ) ( )ff f x 假设假设 f(x) 在在 上有定义，在上有定义，在 上绝对上绝对可积，在任一有限区间上有有限个极大值、极小可积，在任一有限区间上有有限个极大值、极小值，且至多有有限个值，且至多有有限个第一类不连续点第一类不连续点，则函数，则函数(,) (,) 称为称为f(t)的傅立叶变换。的傅立叶变换。 , (,)a b 即是区间即是区间上，核为上，

3、核为的积分变换的积分变换 ,ixkxe 4.1 4.1 傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换的概念和性质傅立叶逆变换傅立叶逆变换定义为：定义为： 12ixfxfed 记作：记作： 1( )( )f xff 当当 f(x) 满足上述条件时，有满足上述条件时，有 1( )2ixitfxedf t edt 傅立叶积分定理：傅立叶积分定理： ( )1( )(0)(0)22ixitf tedf t edtf tf t t是连续点是连续点t是第一类间断点是第一类间断点特别的，当特别的，当 f(x) 连续时连续时 4.1 4.1 傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换具有如下性质傅立叶变换具有如

4、下性质: : ()( )ffgf ff g 1)1)线性性质：线性性质：设设 f, ,g是绝对可积的函数，是绝对可积的函数， 为数为数 , 2)2)微分运算性质微分运算性质 ffi ff ( )()nnffiff 4.1 4.1 傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换的概念和性质3)3)对傅立叶变换后的函数求导数对傅立叶变换后的函数求导数 ( )dfffix f xd ()( )nnndfffixf xd 4) 卷积性质卷积性质 ( )f xg xf xt g t dtf t g xt dt ffgfff g 则则设设 f(x)，g(x) 在在 上绝对可积上绝对可积, 定义卷积：定义卷积：(,) 4

5、.1 4.1 傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换的概念和性质5) 乘积运算乘积运算 1.2f f gf ff g 傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立了一个对偶关系。了一个对偶关系。 6) 平移性质平移性质 ()( ),.i yf f xyef fyr 4.1 4.1 傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换的概念和性质思考：思考： 对于对于u(x,y), 若以若以 y 为参数为参数, 对对 x 作傅立叶变换作傅立叶变换 ,fourierxu x yuy 由傅立叶变换的由傅立叶变换的线性性质线性性质同理同理, , ,fourierxuyudx yuyyydy 是参

6、数是参数 2222,fourierxudx yuyydy 4.1 4.1 傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换的概念和性质4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用例例 用积分变换法解方程：用积分变换法解方程： 22,0,.,0uutxrtxu xfx 解：解：由自变量的取值范围，对由自变量的取值范围，对 x 进行傅立叶变换，设进行傅立叶变换，设 ,ixu x tutu x t edxf xf 那么方程转变为那么方程转变为 20,|tdututdtutf 4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用解得解得 2,.tutfe 为了求出原方程的解为了求出原方程的解, ,下面对下面对 关于关

7、于 进行进行 傅立叶逆变换傅立叶逆变换. ,ut 222144,121.2txtstu x tfxfefxetfxs edst ffgff f g 1ffff gfg 4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用 22( , ),0,0uuf x txr ttxu xx例例 用积分变换法解方程：解： 作关于 的傅立叶变换。设xdxetxututxuxi, x 方程变为 20,|tdututftdtut ,f x tft 4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用 22()0,( , ).tttutefed 可解得 22412xttfeet 而则 224401122(),( , ).(

8、)xxtttutfeffedtt 上式两边关于x作逆傅立叶变换，得 4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用 1,( , )u x tfut 2214401212()( , )()xtxttffetffedt 241*2xtet 24012()( , )*()xttf xedt 2()412xtedt 24012()()( , )xttfdedt 4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用例 用积分变换法求解初值问题： 200( , )(,0)|ttxxtt tua uf x txtuxux 解：作关于 x 的傅立叶变换。设,u x tut( )( ),x ( )( ).x ,f

9、 x tft 4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用于是原方程变为2222,d utautftdt 满足初始条件0,|,tut 0,|tdutdt 4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用的通解为0( , )cossin1( , )sin()tutca tda tfatda 由初始条件0sin( , )( )cos( )1( , )sin()ta tuta tafatda 2222,d utautftdt 解常微分方程：解常微分方程： 4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用取傅立叶逆变换，得 11( )cos2fa txatxat其中：1( )cos( )( )2i

10、atiata tee注意到1sin( )ata tfgx1,( )20,atatxatgx其它而 4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用所以 取傅立叶逆变换，得 ( , )ut()01,211( )( )tata tu x txatxatgxfgx daa11()cos2fatxatxat11,sin()20,atatxatatfgx其 它0sin1( , )( )cos( )( , )sin()ta tuta tfatdaa 4.2 4.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用 ()0()1211,22x a tx attx atx a txatxats dsdf sdsaa所以 取傅

11、立叶逆变换，得 ( , )ut()01,211( )( )tata tu x txatxatgxfgx daa 4.24.2 傅立叶变换的应用傅立叶变换的应用4.3 拉普拉斯变换的拉普拉斯变换的 概念和性质概念和性质拉普拉斯变换拉普拉斯变换 傅立叶变换要求函数傅立叶变换要求函数 f 在在 有定义并且绝对有定义并且绝对可积。很多常见函数，如常函数，多项式，三角可积。很多常见函数，如常函数，多项式，三角函数等都不满足条件。以时间函数等都不满足条件。以时间 t 为自变量的函数为自变量的函数在区间在区间 也无意义。这些都限制了傅立叶变也无意义。这些都限制了傅立叶变换的应用。为此引入换的应用。为此引入拉

12、普拉斯拉普拉斯 (laplace) 变换变换。(,) (,0)拉普拉斯变换的积分核为拉普拉斯变换的积分核为 ,0,ptet 0:.ptelf tfpf tdt （单边）拉普拉斯变换：（单边）拉普拉斯变换： ( ) ( )f pl f t 4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质0,)( ),f t在在上上有有定定义义 且且积积分分 0.ptf tdte 在在复参数复参数 p 的某个区域内收敛。的某个区域内收敛。（单边）拉普拉斯变换对函数（单边）拉普拉斯变换对函数 f(t) 的要求：的要求：定理定理：若函数：若函数f(t)满足下列条件：满足下列条件：1. 0, ( )0t

13、f t2. 0, ( )tf t 在任意有限区间上分段连续在任意有限区间上分段连续003. ( ) |( )|, 0, ,0s tf tf tmetm s 的增长速度不超过一个指数函数，即的增长速度不超过一个指数函数，即( )f t则：则： 的的laplacelaplace变换在半平面变换在半平面 存在。存在。0re ps 4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质( )( )( )( )f pf tf tf p若若是是的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换，则则称称拉拉普普拉拉斯斯逆逆为为的的变变换换，记记作作：1( )( )f tlf p 基本性质：基本性质： 1)1)基本变换

14、基本变换: :1!(),0,1,2,nnnl tnp 1(),atl epa 22(sin),alatpa 22(cos)platpa 4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质2)2)线性性质线性性质 lfgl fl g 3) 微分性质微分性质 0 ,l ftpfpf 若若 则则( ) ( ),f pl f t 2 0 0 ,l ftp f pp ff 2110 00 .nnnnnl ftp f ppfpff 4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质4) 积分性质积分性质 01tlf s dsf pp 6) 位移性质位移性质 atl ef tfp

15、a 7) 延迟性质延迟性质 psl f tsef p 5) 对拉普拉斯变换求导对拉普拉斯变换求导( )( )()( )nnfpltf t 4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质8) 卷积性质卷积性质 l fgl f l g 0tfgtf s g ts ds 其其中中应用应用：拉普拉斯变换既适用于常微分方程：拉普拉斯变换既适用于常微分方程 (如如 p38 ),也适用于偏微分方程。也适用于偏微分方程。4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质例例 解常微分方程的初值问题解常微分方程的初值问题: : 20, 0.tta t tf ttbtc 解解：对：

16、对 t 进行拉普拉斯变换进行拉普拉斯变换, 设设 则原方程变为则原方程变为 22( )p t pbp ca t pf p ( ),lt tt p .lf tf p 4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质 222222221f pbp capcat pf pbpaapapaa pa 对对 p 进行拉普拉斯逆变换进行拉普拉斯逆变换, , 考虑到考虑到 112222sin,cosaplatlatpapa 有有 11sincossint tlt pcf tatbatataa 01( )sin ()dcossintcf sa tssbatataa 4.3 4.3 拉普拉斯变换的

17、概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质例 设 ，求解常微分方程的初值问题: tyy 1| , 0|32 00tttyyeyyy解 对 进行拉普拉斯变换, 设 , 则t pfty11pet )(0ppfyppfy 00 2ypypfpy 12pfp4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质于是原方程变为 11321)(2ppfppfpfp由上式得: 318111411183ppppf对 进行拉普拉斯逆变换, 得 pf 3311848ttty teee4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的反演公式：拉普拉斯变换的反演公式： 0 ( )( )

18、.ptf pf tl ftted 11( )(,02()iiptef tf pdptiftl ,( )re( )re( ).f ppp 在在计计算算这这个个积积分分时时, ,适适当当选选取取使使得得的的所所有有奇奇点点均均落落在在直直实实数数积积分分值值不不线线依依的的左左侧侧，即即内内，赖赖于于4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质利用留数基本定理，可得利用留数基本定理，可得1,( ),( )0,nppf ppf p 若若是是的的所所有有奇奇点点 并并且且当当时时则则11( )( )re ( )2knipptip pktf tf pdtsp eief 4.3 4.3

19、 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质( )(laurent)naf z如如果果点点是是的的，这这时时阶阶有有洛洛朗朗极极点点展展开开式式：00122( )()()()()kknnf zcczaczaccczazaza 则则1111re ( )lim()( )(1)!nnnzaz ads f zczaf zndz 4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质220011relim1,(1)(1)ptptppseep pp 2111relim(1).(1)ptpttppdesee tdppp p 1211(1),0.(1)tle ttp p 21:( ).(1)f

20、 pp p 求求的的拉拉普普拉拉斯斯逆逆变变换换例例4.3 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质拉普拉斯变换的概念和性质4.4 4.4 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用例例：设：设 x0, y0, 求解定解问题求解定解问题 22201|,|cosyxux yx yuxuy 解解：对：对 y 进行拉普拉斯变换。设进行拉普拉斯变换。设 ,u x yu x p则方程变为：则方程变为： 2221,dpu x pxxdxp4.4 4.4 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用232.duxxdxpp 而而 变为变为 1|cosxuy 12,|,1xpu x pp 解解ode: ode: 323231111

21、,.313pu x pxxppppp 对对 p 取拉普拉斯逆变换，得取拉普拉斯逆变换，得 322211,cos166u x yx yxyy1!(),0,1,nnnl tnp 4.4 4.4 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用0, 0,222txxuatu0|0tu 0|xuf t解 问题归结为求解下列定解问题: 例 一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为0，求杆上温度分布规律。对 t 进行拉普拉斯变换怎么变换？为什么？知道 的值了0|tu4.4 4.4 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用分析分析 由于由于 ，故不能用傅立叶变换，故不能用傅立叶变换，而要用拉普拉斯变换。如果对而要

22、用拉普拉斯变换。如果对 进行拉普进行拉普拉斯变换，由于方程中出现了拉斯变换，由于方程中出现了 , ,在变换在变换中需要知道中需要知道 以及以及 的值；如果对的值；如果对 进行拉普拉普拉斯变换，由于方程中出进行拉普拉普拉斯变换，由于方程中出现了现了 ，在变换中需要知道，在变换中需要知道 。因此，。因此，我们对我们对 进行拉普拉斯变换进行拉普拉斯变换。0, txx22xu0|xu0|xxuttu0|tut4.4 4.4 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用对对 t 进行拉普拉斯变换，设进行拉普拉斯变换，设 ,u x tu x pf tf p于是方程变为于是方程变为 2220,|xd u x pap

23、u x pdxu x pfp 这是二阶常微分方程的边值问题，它的通解为这是二阶常微分方程的边值问题，它的通解为 ,.ppxxaau x pcede 22200,|0,|.txuuatxuuft 二阶方程，但是仅有一个边界条件！需要引入自然二阶方程，但是仅有一个边界条件！需要引入自然边界条件边界条件. 4.1 4.1 傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换的概念和性质4.4 4.4 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用 ,.ppxxaau x pcede 考虑到具体问题的物理意义：考虑到具体问题的物理意义：u(x, t) 表示温度，表示温度，, ( , )( , )xu x tu x p 当当应应该该有有界界，所所以以也也应应该该有有界界。从而从而 d=0. 再由边值条件再由边值条件 可知，可知，c = f(p). 0,|xu x pf p ,.pxau x pf p e 为求出为求出 u(x,t), 在上式中对在上式中对 p 进行拉普拉斯逆变换进行拉普拉斯逆变换4.4 4.4 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用 ,.pxau x pf p e 111,ppxxaau x tlf plef tle 由拉普拉斯变换表知，由拉普拉斯变换表知， 2212( ),pxyaxa tl g teg tedyp d ( )1(0),dppxxaag tlpegetp由由于于221