第十二章第6节可降阶的高阶微分方程58885

1、1可降阶的高阶方程第六节)()(xfyn一、),(yxfy 二、),(yyfy 三、四、小结及作业四、小结及作业2第六节第六节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程一.)()(xfyn令,) 1( nyz则)(nyxdzd因此1)(cxdxfz即1) 1()(cxdxfyn同理可得2)2( cxdyn1)(cxdxfxd xdxf)(依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 ., )(xf21cxc型的微分方程3例例1. 求解xeyxcos2 解解: 12cxdxeyx cos12sin21cxexxey241xey281( 这里 )1121ccxsin21xc32cxcxco

2、s21cxc42例例.的通解的通解求求121 xy:解解dxxy 121112cxdxcxy)(11221231231cxcx)(dxcxcxy)(21231231322125212151cxcxcx)(5二二. ),(yxfy 型的微分方程设,py 则py 于是原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1cxp则),(1cxy再一次积分, 得原方程的通解21),(cxdcxy63例例.的的通通解解求求02 xyyx:解解, py 设设,py 则则方程为方程为02xppxxpxp1111cdxxeepdxxdxxxcx1231dxxcxy)(123121391cxcxln7例例4. 求

3、解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: 设,py 则,py 代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(22xxdxppd积分得,ln)1(lnln12cxp即)1(21xcp,3 0 xy利用得,31c于是有)1(32xy两端再积分得233cxxy利用,10 xy得12c133xxy因此所求特解为8三三.),(yyfy 型的微分方程设,)(ypy 则xdpdy xdydydpdydpdp故方程化为),(pyfydpdp设它的通解为,),(1cyp即得),(1cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(cxcyyd9例例5. 求解.02 yyy代入方程得02 pydpdpy即y

4、ydppd两端积分得,lnlnln1cyp即,ycp1,ycy1再分离变量积分得21cxcylnln故所求通解为xcecy12解解: 设,py 则xdpdy xdydydpdydpdp0)(pydpdypcyp 0由由0 pydpdy由由),(cyc 时时当当0110例例6. 解下列初值问题 解解: 令02 yey,00 xy10 xy, py 则,ydpdpy 代入方程得ydepdpy2积分得1221221cepy利用初始条件 ,0100 xyyp得,01c从而yep但根据yepxdyd积分得,2cxey再利用,00 xy得12c故所求特解为xey1应取11为曲边的曲边梯形面积上述两直线与

5、x 轴围成的三角形面1soyx例例7. 设函数)0()(xxy二阶可导, 且,0)( xy过曲线)(xyy 上任一点 p(x,y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线 ,1s区间 0, x 上以,2s)(xy且212ss 恒为 1 ,求)(xyy 解解: 设曲线)(xyy ),(yxp,由于,1)0(y,0)( xy所以,0)(xy于是cotyys211yy22xyp12s在点处的切线倾角为满足的方程 ., 1)0(y积记为记为tdtysx02)(12再利用 y (0) = 1 得利用,1221 ss得xtdtyyy021)(两边对 x 求导, 得方程2)( yyy 定解条件为)0(,1)0(yy

6、令,)(ypy 方程化为,ydpdp则yydppd解得,1ycp 利用定解条件得,11c再解,yy 得,2xecy ,12c故所求曲线方程为xey 1sxypoyx2s1 y2pydpdpy113.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解将方程写成将方程写成, 0)( yydxd,1cyy 故有故有,1dxcydy 即即积分后得通解积分后得通解.212cxcy 注意注意: :这一段技巧性较高这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程关键是配导数的方程.例例 814.0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy解解,)(py4设设代入原方程代入原方程, 0 ppxxcp1 解线性方程解线性方程,

7、得得两端积分两端积分,得得原方程通解为原方程通解为)()5(xpy ）（0 p,1)4(xcy 即即,21221cxcy ,2612054233251cxcxcxcxcy 54233251dxdxdxdxdy 例例 915内容小结内容小结可降阶微分方程的解法降阶法)(. 1)(xfyn逐次积分),(. 2yxfy 令, )(xpy 则xdpdy ),(. 3yyfy 令, )(ypy 则ydpdpy 16作业作业12-6: p292 1(2)(4) (5)(7)(10); 2 (3) (5) (6) ; 3 ; 4 .17思考与练习思考与练习1. 方程)(yfy 如何代换求解 ?答: 令)(x

8、py 或)(ypy 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 .例如2)(yey 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号 18 3、 已已知知31 y，223xy ，xexy 233都都是是微微分分方方程程 16222222 xyxyxyxx的的解解，求求此此方方程程所所对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解. 19思考题解答思考题解答321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,21223xeyyyyx 常数常数

9、所求通解为所求通解为.221xcecx 122231yycyycy 20一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: :1 1、xxey ； 2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy. .二、二、 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: :1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy. .三、三、 试求试求xy 的经过点的经过点)1,0(m且在此点与直线且在此点与直线12 xy相切的积分曲线相切的积分曲线 . .练练 习习 题题21练习题答案练习题答案一、一、1 1、32