第十二章第七节

1、1三角函数系的正交性三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数( (傅氏级数傅氏级数fourier series)问题的提出问题的提出第七节第七节 傅里叶傅里叶( (fourier) )级数级数正弦级数或余弦级数正弦级数或余弦级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 傅里叶傅里叶(fourier,1768-1830) 法国数学家和法国数学家和物理学家物理学家. 法国科学院院士法国科学院院士,英国皇家学会会员英国皇家学会会员.2傅里叶傅里叶(fourier)级数级数1757年年, ,法国数学家克莱罗：太阳引起的摄动，法国数学家克莱罗：太阳引起的摄动， 10cos2)(nnnxaa

2、xf 1759年年, ,拉格朗日：声学的研究，拉格朗日：声学的研究，三角级数三角级数. .1777年年, ,欧拉：天文学欧拉：天文学, , 三角级数三角级数历史朔源历史朔源三角级数三角级数表示函数表示函数: :1753年年, ,三角级数。三角级数。丹丹 贝努利：弦振动方程，贝努利：弦振动方程，1822年年, ,傅里叶：傅里叶：热的解析理论热的解析理论函数的傅里叶展开函数的傅里叶展开3一、问题的提出一、问题的提出最简单最基本最简单最基本的周期函数是的周期函数是)sin( ta谐函数谐函数周期周期 2振幅振幅时间时间角频率角频率初相初相 简谐波简谐波 简谐振动简谐振动正弦型函数正弦型函数傅里叶傅里

3、叶(fourier)级数级数4矩形波矩形波 tttu0, 10, 1)(当当当当不同频率正弦波不同频率正弦波,sin4t ,3sin314t ,5sin514t ,7sin714t 非正弦周期函数非正弦周期函数,较复杂的较复杂的周期现象周期现象逐个叠加逐个叠加分解分解,9sin914t 傅里叶傅里叶(fourier)级数级数otu11 5tusin4 傅里叶傅里叶(fourier)级数级数11 otu 2 22 2 23 23 6)3sin31(sin4ttu 傅里叶傅里叶(fourier)级数级数otu11 2 22 2 23 23 7)5sin513sin31(sin4tttu 傅里叶傅里

4、叶(fourier)级数级数otu11 2 22 2 23 23 8)7sin715sin513sin31(sin4ttttu 傅里叶傅里叶(fourier)级数级数otu11 2 22 2 23 23 9)9sin917sin715sin513sin31(sin4)( ttttttu )0,( tt )9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu 傅里叶傅里叶(fourier)级数级数otu11 2 22 2 23 23 10 三角级数三角级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa函数函数 f (t) 满足什么条件满足什么条件,系数系数nnbaa,0才能展为才

5、能展为如何确定如何确定? 10)sincos(2nnnnxbnxaa三角级数三角级数?傅里叶傅里叶(fourier)级数级数11, 1三角函数系三角函数系二、三角函数系的二、三角函数系的正交性正交性的的正交性正交性是指是指:其中任何两个其中任何两个不同的函数的乘积不同的函数的乘积上上的的积积分分为为零零，, 在一个周期长的区间在一个周期长的区间 而任而任一个函数的自乘一个函数的自乘(平方平方)在在 ,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cosnx,sinnx或或上上的的积积分分为为 , .2 为为 1nxcosxd 1nxsinxd0 即有即有xd12 2 傅里叶傅里叶(fou

6、rier)级数级数orthogonality12 xnxmxdsinsin xnxmxdcossin), 2 , 1,( nm其中其中xnxdcos2 xnxdsin2 nm , 0nm , 0 xnxmxdcoscosnm , 0nm , 傅里叶傅里叶(fourier)级数级数 131.1.傅里叶系数傅里叶系数 (fourier coefficient) 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有若有.)1(0a求求 220 a xxfad)(10 xad20利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性两边积分两边积分 1dsindcoskkkxkxbxkxa 0 0 10)si

7、ncos(2)(kkkkxbkxaaxf xd xd xd傅里叶傅里叶(fourier)级数级数三、函数展开成傅里叶级数三、函数展开成傅里叶级数14.)2(na求求 xnxxfdcos)(dcossindcoscos1 xnxkxbxnxkxakkk 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf xnxandcos2 na xnxxfandcos)(1), 3 , 2 , 1( n,cosnx两边同乘两边同乘逐逐项项积积分分到到再再从从 xnxadcos20利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性nk 0 0 傅里叶傅里叶(fourier)级数级数15.)3(nb求求 xnxxfbn

8、dsin)(1), 3 , 2 , 1( n xnxxfdsin)(dsinsindsincos1 xnxkxbxnxkxakkk nb 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf,sinnx两边同乘两边同乘逐逐项项积积分分到到再再从从 xnxadsin20利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性0 nk 0 傅里叶傅里叶(fourier)级数级数161993,研究生考题研究生考题,填空填空,3分分的傅里叶级数的傅里叶级数设设)( ,)(2 xxxxf则则展开式为展开式为)sincos(210nxbnxaannn ).(3 b系数系数 32 xnxxfbndsin)(1解解由由傅里

9、叶系数公式傅里叶系数公式, 3 n xxxxbd3sin)(123 xxxxxxd3sind3sin12dxxx 3sin 32 偶偶奇奇 02傅里叶傅里叶(fourier)级数级数0 172. 狄利克雷狄利克雷(dirichlet)充分条件充分条件狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859它它在在的的周周期期函函数数是是周周期期为为设设函函数数,2)( xf:,上上满满足足条条件件区区间间 ;,)1(处处处处连连续续外外除除有有限限个个第第一一类类间间断断点点.)2(只只有有有有限限个个极极值值点点(收敛定理收敛定理)傅里叶傅里叶(fourier)级数级数)()sincos(210 xfnx

10、bnxaannn 上它的和函数为上它的和函数为且在且在, ,)(都收敛都收敛一点一点产生的傅里叶级数在任产生的傅里叶级数在任则由则由xxf18傅里叶傅里叶(fourier)级数级数 当当x是是f (x)的连续点时的连续点时,2)0()0( xfxf当当x是是f (x)的间断点时的间断点时当当 时时 x)(xs傅氏级数的和函数与函数傅氏级数的和函数与函数f(x)的关系的关系),(xf)()sincos(210 xfnxbnxaannn ,2)()(ff 0 0 19(1)函数展开成傅里叶级数的条件比展开成函数展开成傅里叶级数的条件比展开成(2) 周期函数的三角级数展开是唯一的周期函数的三角级数展

11、开是唯一的,就是就是常说把常说把 f (x)在在 上展开成傅氏级数上展开成傅氏级数., (3) 要注明要注明傅氏级数的和函数与函数傅氏级数的和函数与函数f (x)相等相等注注幂级数的条件低幂级数的条件低得得多多;其其傅里叶级数傅里叶级数,20a它它的的常常数数项项 xxfad)(10傅里叶傅里叶(fourier)级数级数的区域的区域.就是函数就是函数在一个周期内的平均值在一个周期内的平均值;20 设函数设函数 f (x)以以 为周期为周期, 且且 2 .0,1,0, 1)(2时时当当时时当当 xxxxf其傅氏级数在其傅氏级数在 处收敛于处收敛于( ). x1992,研究生考题研究生考题,填空填

12、空,3分分22 傅里叶傅里叶(fourier)级数级数21解解上上满满足足狄狄利利克克雷雷条条件件，在在区区间间由由于于,)( xf)0( f)0( f收收敛敛于于在在 x2)0()0( ff,1)1(lim22 xx, 1)1(lim x22 傅里叶傅里叶(fourier)级数级数22周期函数的周期函数的傅里叶级数解题程序傅里叶级数解题程序: :并验证是否满足狄氏条件并验证是否满足狄氏条件(画图目的画图目的: 验证狄氏条件验证狄氏条件;由图形写出收敛域由图形写出收敛域;易看出奇偶性可减少求系数的工作量易看出奇偶性可减少求系数的工作量);(2) 求出傅氏系数求出傅氏系数;(3) 写出傅氏级数写

13、出傅氏级数, 并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于f (x).傅里叶傅里叶(fourier)级数级数(1) 画出画出 f (x)的图形的图形,23且且为为周周期期以以函函数数,2)( xf ,0, 0, 0,)( xxxxf解解 计算傅里叶系数计算傅里叶系数 xxfad)(10 0d1 xx2 例例傅里叶傅里叶(fourier)级数级数 2 3 2 3oxy将将 f (x) 展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数. f (x) 的图象的图象24 xnxxfandcos)(1 0dcos1 xnxx)cos1(12 nn 02cossin1 nnxnnxx ,22 n, 0, 5 , 3 , 1

14、n;, 6 , 4 , 2 n)1(1 12nn xnxxfbndsin)(1 0dsin1 xnxx02sincos1 nnxnnxxnn cos .)1(1nn 傅里叶傅里叶(fourier)级数级数25 112sin)1(cos)1(1 14nnnnxnnxn xxx5cos513cos31cos2422 .3sin312sin21sin xxx)(xf傅里叶傅里叶(fourier)级数级数故故 f (x)的傅里叶级数的傅里叶级数26解解, 例例 将函数将函数 xxxxxf0,0,)(展开为傅氏级数展开为傅氏级数.拓广的周期函数拓广的周期函数的傅氏级数展开式在的傅氏级数展开式在 xxfa

15、d)(10 0d2xx 计算傅里叶系数计算傅里叶系数傅里叶傅里叶(fourier)级数级数oxy 2 2 所给函数在区间所给函数在区间满足狄氏充要条件满足狄氏充要条件,收敛于收敛于 f (x).上上, 27 xnxxfandcos)(1)1(cos22 nxn 1)1(22 nn xxxf,)( 0dcos2xnxx偶函数偶函数 , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,42nnn xnxxfbndsin)(10 奇函数奇函数傅里叶傅里叶(fourier)级数级数28 12)12cos()12(142)(nxnnxf )( x所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为 xxx5co

16、s513cos31cos4222 利用傅氏展开式求级数的和利用傅氏展开式求级数的和, 0)0(,0 fx时时当当 222513118 xxxf,)(傅里叶傅里叶(fourier)级数级数2998 (a) 填空题填空题 (3分分) ,61212 nn 已知级数已知级数 则级数则级数 的和的和 12121nn等于等于82 12216nn 12)12(1nn 1212141)12(1nnnn解解641)12(1212 nn 222241312111 12)2(1nn8)12(1212 nn所以所以,傅里叶傅里叶(fourier)级数级数30由奇函数与偶函数的积分性质由奇函数与偶函数的积分性质系数的公

17、式系数的公式,易得下面的结论易得下面的结论.和傅里叶和傅里叶 na nb此时称傅里叶级数为此时称傅里叶级数为nxbnnsin1 即即 xnxxfandcos)(1), 2 , 1 , 0( n0), 2 , 1( n)(xf奇函数奇函数 xnxxfbndsin)(12 0 xnxxfdsin)( )(xf奇函数奇函数(sine series)正弦级数正弦级数,傅里叶傅里叶(fourier)级数级数sine series and cosine series四、正弦级数和余弦级数四、正弦级数和余弦级数它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为,)(2. 1展成傅里叶级数时展成傅里叶级数时的奇函数的奇函数当周

18、期为当周期为xf 31 nb此时称傅里叶级数为此时称傅里叶级数为nxaann 10cos2即即), 2 , 1( n), 2 , 1( n na 0dcos)(2xnxxf xnxxfandcos)(1 xnxxfbndsin)(10注注将函数展为傅里叶级数时将函数展为傅里叶级数时,先要考查函数先要考查函数是非常有用的是非常有用的.是否有奇偶性是否有奇偶性, 0a 0d)(2xxf(cosine series)余余弦级数弦级数,傅里叶傅里叶(fourier)级数级数它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为,2. 2展成傅里叶级数时展成傅里叶级数时的偶函数的偶函数当周期为当周期为 32 xxxxxf0,

19、0,)(2 的函数的函数试将周期为试将周期为解解 函数的图形如图函数的图形如图,电学上称为电学上称为 偶函数偶函数 0a 0d)(2xxf 0d2xx 0dcos)(2xnxxfan)1(cos22 nxn 1)1(22 nn 0dcos2xnxx的的图图象象)(xf例例展为傅里叶级数展为傅里叶级数.锯齿波锯齿波.傅里叶傅里叶(fourier)级数级数oxy 2 2 333 , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,42nnn ,)(处处处处连连续续由由于于xf所以所以 12)12cos()12(142)(nxnnxf x xxx5cos513cos31cos4222 0 nbnxa

20、ann 10cos2余余弦级数弦级数傅里叶傅里叶(fourier)级数级数oxy 2 2 334解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.为为周周期期的的是是以以时时 2)()12(xfkx ), 2 , 1 , 0(, 0 nan奇函数奇函数傅里叶傅里叶(fourier)级数级数 2 2 3 3xyo设设 f (x)是周期为是周期为 的周期函数的周期函数,它在它在例例 2上上), 上的表达式为上的表达式为,)(xxf 将将 f (x)展开成傅氏级数展开成傅氏级数. f (x)的图形的图形352)0()0( ff收敛于收敛于2)( , 0 ),()12(xfkxx处收敛于处

21、收敛于在连续点在连续点 0dsin)(2xnxxfbn 0dsin2xnxx 02sincos2nnxnnxx nncos2 1)1(2 nn), 2 , 1( n,), 2, 1, 0()12(处不连续处不连续在点在点 kkx 傅里叶傅里叶(fourier)级数级数的的图图形形)(xf 2 2 3 3xyo和函数图象和函数图象 2 2 3 3xyo36)3sin312sin21(sin2)( xxxxf 11sin)1(2nnnxn),3,;( xxnxbnnsin1 正弦级数正弦级数1)1(2 nnnb), 2 , 1( n傅里叶傅里叶(fourier)级数级数37上上函数定义在函数定义在

22、, 0 上上函函数数延延拓拓到到一一个个周周期期, 数数轴轴上上函函数数按按周周期期延延拓拓到到整整个个级数级数上的函数展开成傅立叶上的函数展开成傅立叶定义在定义在, 0 傅里叶傅里叶(fourier)级数级数38上上的的使使函函数数成成为为,. 1 上上有有上上的的函函数数延延拓拓到到把把, 0 上上的的使使函函数数成成为为,. 2 奇延拓奇延拓 偶延拓偶延拓两种两种:正弦级数正弦级数.偶函数偶函数,奇函数奇函数,余弦级数余弦级数;傅里叶傅里叶(fourier)级数级数因而展开成因而展开成因而展开成因而展开成39上有定义上有定义., 0 作法作法3. f(x)可展开为傅氏级数可展开为傅氏级数

23、, 这个级数必定是这个级数必定是)()(xfxf 得到得到 f (x)的的正弦级数正弦级数 的展开式的展开式.上，上，在在限制限制, 0(. 4 x)0 ,( ,( (偶函数偶函数)的的奇函数奇函数正弦级数正弦级数(余弦级数余弦级数)(余弦级数余弦级数)注注其实也不必真正实施这一手续其实也不必真正实施这一手续.傅里叶傅里叶(fourier)级数级数 满足收敛定理的条件满足收敛定理的条件1. f (x)在在 2. 在开区间在开区间内补充定义内补充定义,得到定义在得到定义在上的函数上的函数f(x),),( 使它成为使它成为 在上在上40解解(1) 求正弦级数求正弦级数. .进行进行对对)(xf 0

24、dsin)(2xnxxfbn 0dsin)1(2xnxx)coscos1(2 nnn 0 nan22 , 5 , 3 , 1 nn2 , 6 , 4 , 2 n奇延拓奇延拓,nxbnnsin1 正弦级数正弦级数分别展开成正弦级数和余弦级数分别展开成正弦级数和余弦级数.)0(1)( xxxf将函数将函数例例3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x傅里叶傅里叶(fourier)级数级数1 1 oxy41(2) 求余弦级数求余弦级数. .进行进行对对)(xf0 nb 00d)1(2xxa2 0dcos)1(2xnxxan)1(cos22 nn5cos513cos31(cos4

25、12122 xxxx 注注又可展成余弦级数又可展成余弦级数,既可展成正弦级数既可展成正弦级数, 0 仅在仅在其傅氏级数不唯一其傅氏级数不唯一.nxaann 10cos2余余弦级数弦级数 偶延拓偶延拓,)0( x傅里叶傅里叶(fourier)级数级数oxy 1上有定义的函数上有定义的函数,42 设函数设函数 xxxf0101)(1) 把把f (x) 展开为正弦级数展开为正弦级数;(2) 求级数的和函数求级数的和函数s(x)在在, .25)2()3(的值的值和和求求 ss解解 0dsin2xnxbn(1)cos1(2 nn kn2 , 012 kn,)12(4 k上的表达式上的表达式;正弦级数正弦级数,)