第十一节闭区间上连续函数的性质

1、 有界性有界性 最小值与最大值定理最小值与最大值定理 介值定理与介值定理与零点定理零点定理第十一节第十一节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质一、一、 有界性有界性定理定理1 (有界性有界性) 若函数若函数f(x)在闭区间在闭区间 a, b上连续上连续, 则函数则函数f(x)都有都有( ).f xm ,xa b 在在a, b上一定有界上一定有界, 即存在常数即存在常数m 0, 使得对任何使得对任何二、二、 最大值与最小值定理最大值与最小值定理定义定义1 100000( ), ,( )()( ( )()()( )()( ,)if xxif xf xfxxf xf xf xiix 对对于

2、于在在区区间间 上上有有定定义义的的函函数数如如果果存存在在使使得得对对于于都都有有则则称称是是函函数数在在区区间间 上上的的最最大大 小小 值值 点点为为最最大大任任小小意意值值点点. . 最大值和最小值统称为最值最大值和最小值统称为最值, 最大值点和最小值点统最大值点和最小值点统称为最值点称为最值点.例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y定理定理2(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) 若函数若函数 在闭区间在闭区间a,b上连续上连续, 则在

3、则在a, b上上 一定有最大值与最小值一定有最大值与最小值. ( )f x( )f xab2 1 xyo)(xfy 1212( ) , , , , , , , ()( ),()( ).f xc a ba bxa bff xff x 若若则则使使得得有有注注 定理中的连续性与闭区间条件缺一不可定理中的连续性与闭区间条件缺一不可. 即即若区间是若区间是开区间开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定理不一定成立定成立.却无最大、最小值却无最大、最小值.在闭区间上在闭区间上 0,2 有间断点有间断点 x =1, 而函数而函数 f(x) 在在 0,2 上上

4、xyo)(xfy 211例如例如, 函数函数 y = x 在在(0, 1)内连续，却没有最大、小值内连续，却没有最大、小值. xy11o1 01()1 13 12xxf xxxx ，又如，函数又如，函数xy11o1 01()1 13 12xxf xxxx ，又如，函数又如，函数三、三、 介值定理与零点定理介值定理与零点定理定义定义2000()0,( ).xf xxf x 如如果果使使则则称称为为函函数数的的零零点点.),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf 几何解释几何解释:ab3 2 1 xyo)(xfy 在在a, b上连续的曲线上连续的曲线 y = (x)

5、的两个端点如果分布在的两个端点如果分布在 x 轴的轴的两侧两侧, 则在则在 (a, b) 内内, 此曲线必此曲线必与与 x轴至少有一个交点轴至少有一个交点.( , ),( ).a bfc 使使得得介于介于 m 与与 m 之间的实数之间的实数至少存在一点至少存在一点定理定理4 (介值定理介值定理) 若函数若函数 f(x) 在闭区间在闭区间a, b上连续上连续, 且且 m与与 m 分别为分别为 f(x) 在在 a, b上的最小值与最大值上的最小值与最大值, 则对于任意则对于任意(),c mcm 几何意义几何意义: 介于介于a, b内的连续曲线的最高与最低点之间的内的连续曲线的最高与最低点之间的任意

6、直线任意直线 至少与该曲线至少与该曲线 相交相交于相交于一点于相交于一点.(),yc mcm ( )yf x mbcamab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证 由最大值最小值定理可知由最大值最小值定理可知, 在在a,b上存在两点上存在两点12 和和12(),()fmfm ( )( )f xf xc 令令于是于是12()0,()0ff 由零点定理得由零点定理得, 至少存在一点至少存在一点 , 使得使得( , )a b ( )( )0ffc 即有即有( )fc 使得使得推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值m与最小值与最小值m之间的任意数之间的任

7、意数. . 零点定理的应用零点定理的应用: 零点存在定理给了大家一个判定方程零点存在定理给了大家一个判定方程在某个区间上是否有根以及寻找近似根的方法在某个区间上是否有根以及寻找近似根的方法.证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上上连连续续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内内至至少少有有一一根根在在方方程程 xx例例132410(0,1).xx证证明明方方程程在在区区间间内内至至少少有有一一根根并求出根的近似值并求出根的近似值.近似根的求法近似根的求法 (对分区间

8、法对分区间法) :0111()( )0228ff ，121353 ()( )02464ff 而而，31245 ()( )0.32028ff 而而，继继续续下下去去，可可求求出出满满足足精精度度要要求求的的近近似似根根。若若令令近近似似1( ,1)2则则在在内内方方程程至至少少有有一一根根；1 3( ,)2 4则则在在内内方方程程至至少少有有一一根根；1 5( ,)2 8则则在在内内方方程程至至少少有有一一根根；01 1592 2816根根为为（），则则它它与与精精确确值值 的的误误差差的的绝绝对对值值不不超超过过区区间间长长的的一一半半，01 511().2 8216即即 证证( )21xf

9、xx 函数函数 在闭区间在闭区间0, 1上连续上连续, 且且(0)10,f (1)10f 21001.xx 证证明明方方程程 在在开开区区间间，内内至至少少有有一一个个实实根根则则 f (x)在闭区间在闭区间0, 1上满足零点存在定理上满足零点存在定理, 在开区间在开区间(0, 1)内内 至至少少有有一一个个实实根根 , , 使使得得( )0f 即得证即得证.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxf 令令,)(上连续上连续在在则则baxfaafaf )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),

10、(ba , 0)()( ffbbfbf )()(, 0 .)( f即即的实根的实根研究方程研究方程例例019:3 xx解解试算试算01)3( f09)2( f1)2, 3(x内有一个根内有一个根方程在方程在 07) 1( f01)0( f2)0, 1(x有一个根有一个根方程在方程在 01)3( f027)4( f3)4, 3(x有有一一个个根根方方程程在在根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根是是方方程程的的全全部部实实根根321,xxx3 ( )91,( )(,)f xxxf x 令则在连续令则在连续)31()(,1, 0:),1()0(1, 000

11、0 xfxfxffcf使使证证明明且且设设函函数数例例 证证 )31()()( xfxfxg令令32, 0)(cxg ., 0)(,32, 000命命题题得得证证使使若若 xgx0)(,32, 0 xgx有有不不妨妨设设0)(0)(,32, 0, xgxg或或必必有有上上在在否否则则0)31()0()0( ffg0)32()31()31( ffg0)1()32()32( ffg)1()0(ff 矛盾！矛盾！. 0)(,32, 000 xgx使使故故)31()(,1, 0000 xfxfx使使即即四个定理四个定理有界性定理有界性定理; 最值定理最值定理; 介值定理介值定理; 零点零点(根的存在性根的存在性)定理定理.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法: 先利用最值定理先利用最值定理, 再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法: : 先作辅助函数先作辅助函数f(x), 再利用零点定理再利用零点定理;小结小结思考题思考题下述命题是否