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1、第十一节第十一节 曲曲 率率 一、弧微分一、弧微分二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式一、弧微分一、弧微分nrta0 xmxxx .),()(内具有连续导数内具有连续导数在区间在区间设函数设函数baxfxyo),(:00yxa基点基点,),(为任意一点为任意一点yxm规定：规定：;)1(增增大大的的方方向向一一致致曲曲线线的的正正向向与与x,)2(sam .,取取负负号号相相反反时时取取正正号号一一致致时时的的方方向向与与曲曲线线正正向向当当ssam单调增函数单调增函数).(xss .12dxyds 弧弧微微分分公公式式二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程

2、度）的量。曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。1m3m)2 2m2s 1s mm 1s 2s nn )弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1.曲率的定义曲率的定义1 ) s s) .m .mc0myxo.skmm 的平均曲率为的平均曲率为弧段弧段（定义定义sks 0lim曲线曲线c在点在点m处的曲率处的曲率,lim0存在的条件下存在的条件下在在dsdss .dsdk 2.曲率的计算公式曲率的计算公式注意注意: (1) 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数

3、,且且半径越小曲率越大半径越小曲率越大.,)(二阶可导二阶可导设设xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctany 有有.12dxyds 三、曲率圆与曲率半径定义定义d)(xfy mk1 .),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线mdkdmdmkkyxmxfy ,曲率中心曲率中心 d.曲率半径曲率半径 xyo1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲

4、率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数.1,1 kk即即注意注意: :2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲曲率越大率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).例例1：求抛物线：求抛物线 在点在点(1,0)处的曲处的曲率及曲率半径率及曲率半径.243yxx例例2 2?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 显然显然,2时时当当a

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