曲面及其方程28122

1、高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯

2、的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面s与与三三元元方方程程0),( zyxf有有下下述述关关系系：曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.解解设设),(zyxm是球面上任一点，是球面上任一点，rmm |0根据题意有根据题意

3、有 rzzyyxx 202020 2202020rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222rzyx 高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations解解设设),(zyxm是曲面上任一点，是曲面上任一点，,21|0 mmmo根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动

4、关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations例例 3 3 已知已知)3 , 2 , 1(a，)4 , 1, 2( b，求线段，求线段ab的的垂直平分面的方程垂直平分面的方程.设设),(zyxm是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|mbma 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial r

5、elationschina institute of industrial relationszxyo例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industri

6、al relationschina institute of industrial relations以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industria

7、l relations二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴播放播放高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relationsxozy0),( zyf), 0(111zym m),(zyxm设设1)1(zz |122yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图

8、将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd , 0,22 zyxf得方程得方程高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 . 0,22 zxyf 平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，而将曲线方程中的另一变量改写不变，而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个

9、变量的平方和的正负成该变量与第三个变量的平方和的正负平方根。平方根。高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relationsxozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ), 0(111zym ),(zyxm圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of i

10、ndustrial relations例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程122222 czyax122222 czayx解解 绕绕 z 轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转单叶轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转单叶 双曲面，它的方程为双曲面，它的方程为:绕绕 x 轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转双叶轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，它的方程为双曲面，它的方程为:高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute

11、 of industrial relations xyoz z单叶双曲面图形单叶双曲面图形双叶双曲面图形双叶双曲面图形xyoz高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations绕绕y轴轴旋旋转转 绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial rela

12、tionschina institute of industrial relations播放播放定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线.cl高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relationsoyxzm222ryx

13、柱面举例柱面举例圆柱面圆柱面高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例

14、12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴x12222 byax双曲柱面双曲柱面 / 轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 / 轴轴y高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relationsxyzoc准线准线f (x, y)=0 xyzo准线准线x -z=0母线平行于母线平行于 z 轴轴母线平行于母线平行于 y 轴轴高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relati

15、onschina institute of industrial relations二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面四、二次曲面四、二次曲面高高 等等 数数 学学中国劳动关系学

16、院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relationsoxyz(一一) 椭圆锥面椭圆锥面:22222zbyax1)()(2222btyatx以垂直于以垂直于 z 轴的平面轴的平面 截截此曲面，当此曲面，当 时，得一时，得一点点 ；当；当 时，时， 得得平面平面 上上 的椭圆的椭圆 tz 0t)0 , 0 , 0(0ttz 平面平面 与曲面与曲面 的交线称为截痕的交线称为截痕. 通过综合通过综合截痕的变化来了解曲面形状截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法的方法称为截痕法.t

17、z ozyxf),(高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations伸缩变形法伸缩变形法yxabmmao 在在 xoy 平面上平面上, 把点把点m(x,y)变为点变为点 , 从而把点从而把点m的轨迹的轨迹c变为点变为点 的轨迹的轨迹 , 称为称为把图形把图形c沿沿 y 轴方向伸缩轴方向伸缩 倍变成图形倍变成图形 .),(yxmmcc，0),(:yxfccyxm),(11),(),(2211yxmyxm，令1212,yyxx0),(11

18、yxf0)1,(22yxfcyxmyxfc),(, 0)1,(:22222ayx如，沿沿 y 轴伸缩轴伸缩ab12222byax高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relationsoxzyoxyz沿沿y 轴方向伸缩轴方向伸缩b/a倍倍22222zayax圆锥面22222zbyax椭圆锥面高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina insti

19、tute of industrial relationsozyx（二）椭球面（二）椭球面1222222 czbyax 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 同理与平面

20、同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：122222 czayx方程可写为方程

21、可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )| (1cz 高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute

22、of industrial relations1222222 czbyax(三三)单叶双曲面单叶双曲面:12222 czax122222 czayx绕绕 z 轴轴沿沿 y 轴伸缩轴伸缩ab（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.)0 , 0 , 0(o 012222zbyax高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz

23、当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz 122122221zzczbyax（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线. 012222yczax实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.xz高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations 122122221yybyczax双曲线的双曲线的中心中心都在都在 轴上轴上.y与

24、平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线.1yy )(1by ,)1(221by x实轴与实轴与 轴平行轴平行,z虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)2(221by z实轴与实轴与 轴平行轴平行,x虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)3(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交

25、于点 的直线的直线.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得双曲线均可得双曲线.高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是的截痕是两对相交直线两对相交直线.ax 高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial rel

26、ationschina institute of industrial relations(四四)双叶双曲面：双叶双曲面：1222222 czbyax12222 czax122222 czayx绕绕 x 轴轴沿沿 y 轴伸缩轴伸缩cbxyo1222222 czbyax高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations（5）椭圆抛物面）椭圆抛物面:zbyax 2222zax 22绕绕 z 轴轴沿沿y轴伸缩轴伸缩abzayax 2222旋转

27、抛物面旋转抛物面xyzo高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relationszqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点)0 , 0 , 0(o设设0, 0 qp原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china instit

28、ute of industrial relationschina institute of industrial relations与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 11212122zzqzypzx当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz)0(1 z与平面与平面 不相交不相交.1zz )0(1 z（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得抛物线截得抛物线高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina insti

29、tute of industrial relations与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.1yy 121222yyqyzpx它的轴平行于它的轴平行于 轴轴z顶点顶点 qyy2, 0211（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.0, 0 qp高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relationszxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭

30、圆抛物面的图形如下：0, 0 qp0, 0 qp高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0( p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）xozpzx22 11222zzpzyx与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )0(1 z当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.1

31、zz高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relationszbyax 2222(六六)双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）:用坐标面用坐标面 ， 与与)0( xyoztx 曲面相截曲面相截, 均可得抛物线均可得抛物线.txatzby2222顶点顶点22, 0,att顶点的轨迹为顶点的轨迹为xoz(y = 0)上的抛物线上的抛物线22axz 高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of ind

32、ustrial relationschina institute of industrial relations用截痕法讨论图形如下：用截痕法讨论图形如下：xyzo高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations还有三种二次曲面是以二次曲面为准线的柱面：还有三种二次曲面是以二次曲面为准线的柱面：12222 byax椭圆柱面椭圆柱面:12222 byax双曲柱面双曲柱面: ayx 2抛物柱面抛物柱面:高高 等等 数数 学学中国劳动关系学

33、院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线). 0),( zyxf五、小结五、小结二次曲面二次曲面(椭球面、抛物面、双曲面椭球面、抛物面、双曲面). 截痕法截痕法.高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial

34、relations思考题思考题1 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations思考题思考题1解答解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y轴轴的的直直线线平平行行于于yoz面面的的平平面面圆圆心心

35、在在)0 , 0(，半半径径为为2的的圆圆以以z轴为中心轴的圆柱面轴为中心轴的圆柱面斜率为斜率为1的直线的直线平平行行于于z轴轴的的平平面面方程方程高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations思考题思考题2方程方程 3254222xzyx表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute

36、of industrial relations思考题思考题2解答解答 3254222xzyx.316422 xzy表示双曲线表示双曲线.高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳

37、动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations高高 等等 数

38、数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial r

39、elations高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial relationschina institute of industrial relations高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院china institute of industrial