曲面积分与曲线积分

1、102 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系一、对坐标的曲线积分的概念与性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算二、对坐标的曲线积分的计算第二类曲线积分的定义、定义的推广对坐标的曲线积分的性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功： 设在xoy面内有一个质点，在变力f(x, y)p(x, y)iq(x, y)j 的作用下从点 a 沿光滑曲线 l 移动到点 b，试求变力 f(x, y) 所作的功 oxyabf(x , y)l一、对坐标的曲线积分的概念与性质一、对坐标的曲线积分的概念与

2、性质变力沿曲线所作的功：oxyabl 用点aa0，a1，a2， ，an1，anb把l分成 n个小弧段，a1a2akak+1an-1f(xk , yk)1kkaacosk, sink sk，显然，变力f(x, y)沿有向小弧段akak+1 所作的功可以近似为f(xk , yk)1kkaap(xk , yk)cosk q(xk , yk)sinksk 则设 ak(xk , yk)，有向线段1kkaa的长度为sk，它与 x 轴的夹角为k ，于是，变力f(x, y)所作的功w11nkf(xk , yk)1kkaa11nkp(xk , yk)cosk q(xk , yk)sinksk从而wlp(x, y

3、)cosq(x, y)sinds这里(x, y)，cos, sin是曲线l在点(x, y)处的与曲线方向一致的单位切向量对坐标的曲线积分的定义： 设l为xoy面上一条光滑有向曲线，cos, sin是与曲线方向一致的单位切向量，函数p(x, y)、q(x, y)在l上有定义 如果下列二式右端的积分存在，我们就定义ldxyxp),(lp(x, y)cosds，ldyyxq),(lq(x, y)sin ds，ldxyxp),(称为函数 p(x, y)在有向曲线 l 上对坐标 x 的曲线积分，ldyyxq),(称为函数 q(x, y)在有向曲线 l 上对坐标 y 的曲线积分，对坐标的曲线积分也叫第二类

4、曲线积分 定义的推广： 设g为空间内一条光滑有向曲线，cosa, cosb, cosg是曲线在点(x, y, z)处的与曲线方向一致的单位切向量，函数p(x, y, z)、q(x, y, z)、r(x, y, z)在g上有定义我们定义(假如各式右端的积分存在)gdxzyxp),(=gp(x, y, z)cosa ds，gdyzyxq),(=gq(x, y, z)cosbds，gdzzyxr),(=gr(x, y, z)cosgds对坐标的曲线积分的简写形式：ldxyxp),(ldyyxq),(=dyyxqdxyxpl),(),(，gdxzyxp),(gdyzyxq),(gdzzyxr),(=g

5、dxzyxp),(q(x, y, z)dyr(x, y, z)dz对坐标的曲线积分的性质： (1) 如果把l分成l1和l2，则lqdypdx1lqdypdx2lqdypdx (2) 设l是有向曲线弧，l是与l方向相反的有向曲线弧，则ldxyxp),(ldxyxp),(，ldyyxq),(ldxyxq),(二、对坐标的曲线积分的计算二、对坐标的曲线积分的计算),(),(tytx lp(x, y)dxq(x, y)dy应注意的问题： 下限 a 对应于 l 的起点，上限 b 对应于l的终点，a不一定小于b 定理：设p(x, y)、q(x, y)在光滑有向曲线l上连续，l的参数方程为 当参数t单调在由

6、a变到b 时，点m(x, y)从l的起点a沿l运动到终点b，则ba p(t), (t)(t)q(t), (t)(t)d t 若空间曲线g由参数方程x(t)，y = (t)，zw(t)给出，曲线的起点对应于t=a，终点对应于tb，那么曲线积分讨论：如何计算？ p(t), (t), w(t)(t)q(t), (t), w(t)(t)r(t), (t), w(t)w(t)d tba提示：lp(x, y, z) dx q(x, y, z)dyr(x, y, z)dzlp(x, y, z) dx q(x, y, z)dyr(x, y, z)dzb(1, 1)的一段弧 例 1 计算lxydx，其中 l 为

7、抛物线 y2x 上从点 a(1, 1)到点 解 第一种方法：以x为积分变量l分为ao和ob两部分ao 的方程为 yx，x 从 1 变到 0；ob 的方程为 yx，x 从 0 变到 1因此lxydxaoxydxobxydx01)(dxxx10dxxx10232dxx01)(dxxx10dxxx10232dxx54yxo1-11b(1, 1)a(1, -1)xy xyb(1, 1)的一段弧 例 1 计算lxydx，其中 l 为抛物线 y2x 上从点 a(1, 1)到点yxo1-11b(1, 1)a(1, -1) 解 第二种方法：以y为积分变量l的方程为xy2，y从1变到1因此lxydx1122)(

8、dyyyy1142dyyxy2lxydx1122)(dyyyy1142dyy54(1) l为半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周；(2) l为从点a(a, 0)沿x轴到点b(a, 0)的直线段 例 2 按不同路线计算ldxy2：q从0变到 解 (1)l 的参数方程为xa cosq，ya sinq，ldxy2qqq022)sin(sindaaqq023cos)cos1 (da334axyoa(a, 0)b(a, 0) (2)l的方程为y0，x从a变到aldxy2aadx00因此因此 例 3 按不同路线计算ldyxxydx22：(3)有向折线oab，顶点分别为o(0, 0)， a (1

9、, 0)， b(1, 1) oxya (1, 0)b(1, 1)yx2xy2(1)抛物线yx2上从o(0, 0)到b(1, 1)的一段弧；(2)抛物线xy2上从o(0, 0)到b(1, 1)的一段弧； 解 (1)l：yx2，x从0变到1所以ldyxxydx221022)22(dxxxxx1034dxxldyxxydx221022)22(dxxxxx1034dxx1ldyxxydx221022)22(dxxxxx1034dxx (2)l：xy2，y从0变到1所以ldyxxydx221042)22(dyyyyy1045dyyldyxxydx221042)22(dyyyyy1045dyyldyxxy

10、dx221042)22(dyyyyy1045dyy1 例 3 按不同路线计算ldyxxydx22：(3)有向折线oab，顶点分别为o(0, 0)， a (1, 0)， b(1, 1) oxya (1, 0)b(1, 1)yx2xy2(1)抛物线yx2上从o(0, 0)到b(1, 1)的一段弧；(2)抛物线xy2上从o(0, 0)到b(1, 1)的一段弧；(3) ldyxxydx22oadyxxydx22abdyxxydx22102)002(dxxx10) 102(dyyldyxxydx22oadyxxydx22abdyxxydx220+1=1 解 (3)l=oa+ab， 例 4 计算ydzxd

11、yzydxx2233g，其中g是从点 a(3, 2, 1)到点b(0, 0, 0)的直线段 解 ab 的方程为123zyx；其参数方程为x3t，y2t，xt，t从1变到0所以ydzxdyzydxx2233gdtttttt012232)3(2)2(33)3(01387dtt487 例5 设一个质点在m(x, y)处受到力f的作用，f的大小与m 到原点o的距离成正比，f的方向恒指向原点 此质点由点a(a, 0)沿沿椭圆12222byax按逆时针方向移动到点b(0, b)，求力f所作的功 解 椭圆的参数方程为t 从 0 变到2 omx iy j ，|om22yx 由假设有fk(x iy j)，其中k0是比例常数于是wabkydykxdxabydyxdxkabkydykxdxabydyxdxk2022)cossinsincos(dtttbttak2022cossin)(tdttbak)(222bakoxyababxa cos t， yb sin t ，f三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 由定义，得lp(x, y)cosa q(x, y)co