曲面积分(一)

1、曲面积分（一）n第一类曲面积分n第二类曲面积分一、第一类曲面积分概念的引入实例实例 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度为为连连续续函函数数),(zyx , 求求它它的的质质量量. 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面, ,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时, ,切平面也连续转动切平面也连续转动. .二、第一类曲面积分的定义1.1.定义定义记为记为 dszyxf),(.即即 dszyxf),(iiiniisf ),(lim10 .叫积分曲面叫积分曲面 叫被积函数，叫被积函数，其中其中),(zyxf2.2.对面积的曲面积分的性质

2、对面积的曲面积分的性质则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面若若,21 dszyxf),( 21),(),(dszyxfdszyxf.三、第一类曲面积分的计算法按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：),(:. 1yxzz 若若曲曲面面则则 dszyxf),(;1),(,22dxdyzzyxzyxfxydyx 2 若曲面：),( zxyy则则 dszyxf),(;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzdzx ),(. 3zyxx ：若曲面若曲面则则 dszyxf),(.1,),(22dydzxxzyzyxfyzdzy 例例1 1解解积积分分曲曲面面 ：yz

3、 5 ,投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxdxydxdyzzdsyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy dszyx)(故故 xyddxdyyyx)5(2 xyddxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 例例 2 2 计计算算dsxyz |,其其中中 为为抛抛物物面面 22yxz （10 z）.解解依对称性知：依对称性知：轴对称，轴对称，关于关于抛物面抛物面zyxz22 被被积积函函数数| xyz关关于于xoz、yoz 坐标面对称坐标面对称有有 14成立成立，(1 为为第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyzdxdyzzdsyx221 dxdyyx22)2

4、()2(1 原式原式dsxyz |dsxyz 14dxdyyxyxxyxyd2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxdxy, 0, 0 yx 利用极坐标利用极坐标 trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 四、第二类曲面积分基本概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面; ;2.

5、2.单侧曲面单侧曲面. .典典型型双双侧侧曲曲面面n典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. .决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面. .曲面的投影问题曲面的投影问题: :在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小块块面面在在xoys ,为为上上的的投投影影xys)( .0cos00cos)(0cos)()( 时时当当时时当当时时当当 xyxyxys.)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xy 五、第二类曲面积分概念的引入实例实例: : 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. .( (1 1) ) 流流速速场场

6、为为常常向向量量 v, ,有有向向平平面面区区域域a a, ,求求单单位位时时间间流流过过a a的的流流体体的的质质量量 ( (假假定定密密度度为为 1 1) ). .aavnvava 0cos 流量流量v0n axyzo xyzo is ),(iii ivin 把曲面分成把曲面分成n小块小块is ( (is 同时也代表同时也代表第第i小块曲面的面积小块曲面的面积),),在在is 上任取一点上任取一点),(iii , ,1. 分割分割则该点流速为则该点流速为 .iv法向量为法向量为 .in该该点点处处曲曲面面的的单单位位法法向向量量kjiniiii coscoscos0 , ,通通过过is 流

7、流向向指指定定侧侧的的流流量量的的近近似似值值为为)., 2 , 1(nisnviii ,),(),(),(),(krjqipvviiiiiiiiiiiii 2. 求和求和通通过过流流向向指指定定侧侧的的流流量量 niiiisnv1iiiiiiiiiniiiiisrqp cos),(cos),(cos),(1 )(,()(,()(,(1xyiiiixziiiiyzniiiiisrsqsp 3.3.取极限取极限0 .的精确值的精确值取极限得到流量取极限得到流量 )(,()(,()(,(lim10 xyiiiixziiiiyzniiiiisrsqsp 定定义义 设设为为光光滑滑的的有有向向曲曲面面

8、, ,函函数数在在上上有有界界, ,把把分分成成n块块小小曲曲面面is ( (is 同同时时又又表表示示第第i块块小小曲曲面面的的面面积积) ), ,is 在在xoy面面上上的的投投影影为为xyis )( , ,),(iii 是是is 上上任任意意取取定定的的一一点点, ,如如果果当当各各小小块块曲曲面面的的直直径径的的最最大大值值0 时时, , nixyiiiisr10)(,(lim 存在存在, ,则称此极限为函数则称此极限为函数),(zyxr在有向曲面上在有向曲面上对对坐标坐标yx,的曲面积分的曲面积分( (也称也称第二类曲面积分第二类曲面积分) )六、第二类曲面积分的概念及性质六、第二类

9、曲面积分的概念及性质记记作作 dxdyzyxr),(, ,即即 nixyiiiisrdxdyzyxr10)(,(lim),( 被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义 niyziiiispdydzzyxp10)(,(lim),( nizxiiiisqdzdxzyxq10)(,(lim),( 存在条件存在条件:当当),(),(),(zyxrzyxqzyxp在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上连连续续时时, ,对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分存存在在. .组合形式组合形式:dxdyzyxrdzdxzyxqdydzzyxp),(),(),( 物理意义物理意义:dxdyzyxrdzdxzyxq

10、dydzzyxp),(),(),( 性质性质: 2121. 1rdxdyqdzdxpdydzrdxdyqdzdxpdydzrdxdyqdzdxpdydz dxdyzyxrdxdyzyxrdzdxzyxqdzdxzyxqdydzzyxpdydzzyxp),(),(),(),(),(),(. 2七、第二类曲面积分的计算法 设积分曲面是由设积分曲面是由方程方程),(yxzz 所给所给出的曲面上侧出的曲面上侧, ,在在xoy面上的投影区域面上的投影区域为为xyd, ,函数函数),(yxzz 在在xyd上具上具有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数, ,被积函数被积函数),(zyxr在在上连续上连续. . )

11、,(yxfz xydxyzoxys)( nixyiiiisrdxdyzyxr10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizs 又又取上侧取上侧 nixyiiiiinixyiiiizrsr1010)(,(,(lim)(,(lim xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr),(,),(即即,)()(, 0cos,xyxyis 取下侧取下侧若若 xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr),(,),(则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx yzddydzzyzyxpdydzzyxp,),(),(则有则有给出给出由由如果如果,),(xzyy zxddzdxzxzyxqdzdxzyxq),(,),(注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .例例 1 1 计计算算 xyzdxdy其其中中