高中数学人教版选修11习题：第3章　导数及其应用3.4 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料选修1-1第三章3.4一、选择题1汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是()答案a解析加速过程,路程对时间的导数逐渐变大,图象下凸；减速过程,路程对时间的导数逐渐变小,图象上凸,故选a2(2016·广东东莞高二检测)若商品的年利润y(万元)与年产x(百万件)的函数关系式yx327x123(x>0),则获得最大利润时的年产量为()a1百万件 b2百万件c3百万件 d4百万件答案c解析依题意得,y3x2273(x3)(x3),当0<x<3时,y>0；当x>3时,

2、y<0.因此,当x3时,该商品的年利润最大3某箱子的容积与底面边长x的关系为v(x)x2·()(0<x<60),则当箱子的容积最大时,箱子底面边长为()a30b40c50d35答案b解析v(x)(30x2)60xx2,x(0,60)令v(x)0,得x40.当x40时,箱子的容积有最大值4某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子,其容积为48 m3,高为3 m,如果箱底每1 m2的造价为15元,箱壁每1 m2的造价为12元,则箱子的最低总造价为()a900元 b840元 c818元 d816元答案d解析设箱底一边的长度为x m,箱子的总造价为l元,根据题意得箱底面积为16(

3、m2),箱底另一边的长度为m,则l16×15(2×3x2×3×)×1224072,l72.令l0,解得x4或x4(舍去)当0<x<4时,l<0；当x>4时,l>0.故当x4时,l有最小值816.因此,当箱底是边长为4 m的正方形时,箱子的总造价最低,最低总造价是816元5某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2(x>0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x>0),为使利润最大,则应生产()a6千台 b7千台 c8千台 d9千台答案a解析设利润为y(万元

4、),则yy1y217x22x3x218x22x3(x>0),y36x6x2,令y>0,得0<x<6,令y<0,得x>6,当x6时,y取最大值,故为使利润最大,则应生产6千台6设底面为等边三角形的直棱柱的体积为v,则其表面积最小时,底面边长为()a b c d2答案c解析如图,设底面边长为x(x>0),则底面积sx2,h.s表x·×3x2×2x2,s表x,令s表0得x,因为s表只有一个极值,故x为最小值点二、填空题7(2016·山东淄博月考)某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总

5、存储费为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x_吨.答案20解析设该公司一年内总共购买n次货物,则n,总运费与总存储费之和f(x)4n4x4x,令f(x)40,解得x20,x20(舍),x20是函数f(x)的最小值点,故x20时, f(x)最小8做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27,且用料最小,则圆柱的底面半径为_.答案3解析设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则vr2l27,l,要使用料最省,只需使圆柱形表面积最小,s表r22rlr2,s(r)2r0,令s0得r3,当r3时,s表最小9用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为21,该长方体的最大

6、体积是_.答案3 m3解析设长方体的宽为x,则长为2x,高为3x(0<x<),故体积为v2x26x39x2,v18x218x,令v0得,x0或1,0<x<,x1.该长方体的长、宽、高各为2 m、1 m、1.5 m时,体积最大,最大体积vmax3 m3.三、解答题10用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接成水箱问：水箱底边的长取多少时,水箱容积最大？最大容积是多少？解析设水箱底边长为x cm,则水箱高为h60(cm)水箱容积vv(x)60x2(0<x<120)(cm3)v(x)12

7、0xx2.令v(x)0得,x0(舍)或x80.当x在(0,120)内变化时,导数v(x)的正负如下表：x(0,80)80(80,120)v(x)0因此在x80处,函数v(x)取得极大值,并且这个极大值就是函数v(x)的最大值将x80代入v(x),得最大容积v802×60128 000(cm3)答：水箱底边长取80 cm时,容积最大,最大容积为128 000 cm3.一、选择题1某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入r与年产量x(0x390)的关系是r(x)400x,0x390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是()a150

8、b200 c250 d300答案d解析由题意可得总利润p(x)300x20 000,0x390.由p(x)0,得x300.当0x300时,p(x)>0；当300<x390时,p(x)<0,所以当x300时,p(x)最大,故选d2三棱锥oabc中,oa、ob、oc两两垂直,oc2x,oax,oby,且xy3,则三棱锥oabc体积的最大值为()a4 b8 c d答案c解析v×·y(0<x<3),v2xx2x(2x)令v0,得x2或x0(舍去)x2时,v最大为.3某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,则要使砌墙所用材

9、料最省,则堆料场的长和宽各为()a16 m,16 m b32 m,16 mc32 m,8 m d16 m,8 m答案b解析如图所示,设场地一边长为x m,则另一边长为 m.因此新墙总长度l2x(x>0),l2.令l0,得x16或x16(舍去)l在(0,)上只有一个极值点,x16必是最小值点x16,32.故当堆料场的宽为16 m,长为32 m时,可使砌墙所用的材料最省4(2016·山东莱芜高二月考)某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进行该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y

10、t3t236t.则在这段时间内通过该路段用时最多的时刻是()a6时 b7时 c8时 d9时答案c解析yt2t36(t12)(t8),令y0得t12(舍去)或t8.当6t<8时,y>0；当8<t9时,y<0,当t8时,y有最大值二、填空题5做一个容积为256的方底无盖水箱,它的高为_时最省料.答案4解析设底面边长为x,则高为h,其表面积为sx24××xx2,s2x,令s0,则x8,则当高h4时s取得最小值6某商品一件的成本为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(200x)件,要使利润最大每件定价为_元.答案85解析设每件商品定价x元,依题意可得

11、利润为lx(200x)30xx2170x(0x200)l2x170,令2x1700,解得x85.因为在(0,200)内l只有一个极值,所以以每件85元出售时利润最大三、解答题7某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元,已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本c(x)200xx3(元),若生产出的产品都能以每件500元售出,要使利润最大,该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？解析设该厂生产x件这种产品利润为l(x)则l(x)500x2 500c(x)500x2 500300xx32 500(xn)令l(x)300x20,得x60(件)又当0x<60时,l(x)>0x

12、>60时,l(x)<0所以x60是l(x)的极大值点,也是最大值点所以当x60时,l(x)9 500元答：要使利润最大,该厂应生产60件这种产品,最大利润为9 500元8. (2016·广东佛山检测)如图所示,有一块半椭圆形钢板,其长轴长为2,短半轴长为1,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底ab是半椭圆的短轴,上底cd的端点在椭圆上,记|cd|2x,梯形的面积为s.(1)求面积s以x为自变量的函数解析式,并写出其定义域；(2)求面积s的最大值.解析(1)依题意,建立以ab的中点o为原点,ab所在的直线为x轴的平面直角坐标系,如图所示,则点c(x,y)满足方程x21,且x>0,y>0,y2(0<x<1)s(2x2)·22(x1)(0&l