65分布和微观状态热力学统计物理汪志诚

1、回顾：回顾：6.1 6.1 粒子运动状态的经典描述粒子运动状态的经典描述 6.2 6.2 粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述 6.3 6.3 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述 6.4 6.4 等概率原理等概率原理新课：新课：6.6.5 5 分布和微观状态分布和微观状态第六章第六章 近独立粒子的最概然分布近独立粒子的最概然分布热力学热力学统计物理统计物理新课：新课：6 6.5 .5 分布和微观状态分布和微观状态6.6.5 5 分布和微观状态分布和微观状态二、对应于一个分布的系统的微观状态数二、对应于一个分布的系统的微观状态数三、经典极限条件（非简并条件）、三种三、经典极限条

2、件（非简并条件）、三种系统微观态之间的关系系统微观态之间的关系一、一、 分布分布四、经典统计的分布和微观态数四、经典统计的分布和微观态数 设有一个系统，由大量全同近独立的粒子组成，设有一个系统，由大量全同近独立的粒子组成，具有确定的粒子数具有确定的粒子数n、能量能量e和体积和体积v能级：能级：简并度：简并度：粒子数：粒子数：,21l,21l,21laaa分布：分布： 以符号以符号al表示数列表示数列a1， a2， ， al， 称为一个分布。称为一个分布。eanalllll,显然：显然：一、一、 分布：分布：1、分布概念：、分布概念：新课：新课：6 6.5 .5 分布和微观状态分布和微观状态2、

3、分布和微观状态、分布和微观状态1) 给定一个分布给定一个分布al,只是确定了每个能级只是确定了每个能级l上的粒子数上的粒子数al要确定系统的微观状态，还要求确定每一个要确定系统的微观状态，还要求确定每一个个体量子态上的粒子数，即必须确认个体量子态上的粒子数，即必须确认每一个每一个能级能级l上上al个粒子占据个粒子占据l 个量子态的方式。个量子态的方式。bose系统系统femi系统系统boltzmann系统系统确定系统的微观状态要求确定每一个粒子的个体量子确定系统的微观状态要求确定每一个粒子的个体量子态。因此，在分布给定之后，为了确定系统的微观运态。因此，在分布给定之后，为了确定系统的微观运动状

4、态，还必须确定动状态，还必须确定各能级各能级l上是哪上是哪al 个粒子，以及个粒子，以及能级能级l 上上al个粒子占据个粒子占据l 个量子态的方式。个量子态的方式。2) 对应于一个分布对应于一个分布al，系统的微观状态数（，系统的微观状态数（）有很多。）有很多。新课：新课：6 6.5 .5 分布和微观状态分布和微观状态新课：新课：6 6.5 .5 分布和微观状态分布和微观状态二、对应于一个分布的系统的微观状态数二、对应于一个分布的系统的微观状态数三、经典极限条件（非简并条件）、三种三、经典极限条件（非简并条件）、三种系统微观态之间的关系系统微观态之间的关系一、一、 分布分布四、经典统计的分布和

5、微观态数四、经典统计的分布和微观态数二、对应于一个分布的系统的微观状态数二、对应于一个分布的系统的微观状态数1.玻耳兹曼系统：粒子可以分辨，每一个个体量子态能够玻耳兹曼系统：粒子可以分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数不受限制对粒子编号容纳的粒子数不受限制对粒子编号1) 能级能级l 上，上，al个编了号的粒子占据个编了号的粒子占据l 个量子态的方式：个量子态的方式：共有共有 种：种：lal2) 各个能级各个能级a1,a2, ,al上上, 粒子粒子占据占据1,2, , l,各各量子态的总方式：量子态的总方式：总占据方式：总占据方式：321321aaalallllllaaa,21lalaaaaa

6、a,21212122221111新课：新课：6 6.5 .5 分布和微观状态分布和微观状态3) 交换两个粒子将给出系统新的状态，交换两个粒子将给出系统新的状态，n个粒子的总交换数个粒子的总交换数!n4) 总交换数中应去除总交换数中应去除同能级上同能级上al个粒子的交换数个粒子的交换数lla !交换不同能级上的粒子才给出系统新的状态交换不同能级上的粒子才给出系统新的状态lallllbman! .故玻尔兹曼系统与分布故玻尔兹曼系统与分布al相应的系统的微观状态数为：相应的系统的微观状态数为：例：玻尔兹曼系统例：玻尔兹曼系统n3，1 =2=3 =1， al=2,1,0。求。求系统对应分布系统对应分布

7、al的微观状态数。的微观状态数。 3111! 0! 1! 2! 3012.bm这里的总交换数包含与自身的交换，这里的总交换数包含与自身的交换，实际给出交换引起的总状态数实际给出交换引起的总状态数新课：新课：6 6.5 .5 分布和微观状态分布和微观状态2.玻色系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳玻色系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳 的粒子数不受限制的粒子数不受限制1) al个粒子占据个粒子占据l个量子态时可能的方式个量子态时可能的方式将量子态排成一行将量子态排成一行将每个量子态上的粒子排在量子态的后面将每个量子态上的粒子排在量子态的后面1234512345固定第一个量子态，

8、其它的量子态和粒子交换所能固定第一个量子态，其它的量子态和粒子交换所能给出的排列数为：给出的排列数为：(l al1)!量子态交换不给出新的状态，下述微观态与前述微观态是同一态量子态交换不给出新的状态，下述微观态与前述微观态是同一态12345量子态的交换数量子态的交换数: (l1)!新课：新课：6 6.5 .5 分布和微观状态分布和微观状态粒子交换不给出新的状态，粒子的交换数粒子交换不给出新的状态，粒子的交换数: al!故故al个粒子占据个粒子占据l个量子态的可能方式有：个量子态的可能方式有：)!1( !)!1(llllaa2) 各能级上粒子占据各量子态是彼此独立的事件，因此各能级上粒子占据各量

9、子态是彼此独立的事件，因此 玻色系统与玻色系统与al对应的系统的微观状态数为：对应的系统的微观状态数为：)!1( !)!1(.lllllebaa例：玻色系统例：玻色系统n3， 1 =2=3 =1， al=2,1,0。求系。求系统对应分布统对应分布al的微观状态数。的微观状态数。 1!11! 0)!101 (!11! 1)!111 (!11! 2)!121 (.eblalllc11新课：新课：6 6.5 .5 分布和微观状态分布和微观状态3. 费米系统：全同粒子不可分辨；根据泡利不相容原理，费米系统：全同粒子不可分辨；根据泡利不相容原理， 每个个体量子态上只能容纳一个费米子。每个个体量子态上只能

10、容纳一个费米子。1) 从从l个量子态挑出个量子态挑出al个被粒子占据个被粒子占据)!( !llllaaacll2) 与与al对应的系统的微观状态数对应的系统的微观状态数llllldfaa)!( !.例：费米系统例：费米系统n3， 1 =2=3=1， al=2,1,0。求系。求系统对应分布统对应分布al的微观状态数。的微观状态数。 0,.dflla新课：新课：6 6.5 .5 分布和微观状态分布和微观状态总结：与分布总结：与分布al对应的系统的微观状态数对应的系统的微观状态数玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统-玻色系统玻色系统-费米系统费米系统-llllldfaa)!( !.)!1( !)!1(.llll

11、lebaalallllbman! .新课：新课：6 6.5 .5 分布和微观状态分布和微观状态例：例： 求可能的微观状态数求可能的微观状态数. .!()!lf dllllaa. .(1)!(1)!llb elllaa. . !lam bllllna 22, 3233,321，简并度能级la解：3227!3 3 23!2!2!2041203 3 1 ! 3 2 1 ! 2 2 1 !3! 3 1 ! 2! 3 1 ! 2! 2 1 ! 1803!3!2!3!(3 3)!2! 3 2 !2!(2 2)!3新课：新课：6 6.5 .5 分布和微观状态分布和微观状态新课：新课：6 6.5 .5 分布和

12、微观状态分布和微观状态二、对应于一个分布的系统的微观状态数二、对应于一个分布的系统的微观状态数三、经典极限条件（非简并条件）、三种三、经典极限条件（非简并条件）、三种系统微观态之间的关系系统微观态之间的关系一、一、 分布分布四、经典统计的分布和微观态数四、经典统计的分布和微观态数三、经典极限条件（非简并条件），三种系统微观态三、经典极限条件（非简并条件），三种系统微观态之间的关系之间的关系1lla单个量子态的平均粒子数远小于单个量子态的平均粒子数远小于1。非简并性条件非简并性条件(6.5.6) ! ! !)2)(1()!1( !)!1(m.b.b.e.naaaaaalallllllllllll

13、lll(6.5.7) ! ! !) 1() 1()!( !m.b.f.d.naaaaalallllllllllllll 玻色系统和费米系统中，玻色系统和费米系统中， al个粒子占据个粒子占据l 个量子态本来是存个量子态本来是存在着关联的，满足经典极限条件时，粒子间的关联可以忽略。在着关联的，满足经典极限条件时，粒子间的关联可以忽略。新课：新课：6 6.5 .5 分布和微观状态分布和微观状态经典极限条件下经典极限条件下是由于粒子的全同性影响带来的结果！是由于粒子的全同性影响带来的结果！!1.nabmebdfll?!1n新课：新课：6 6.5 .5 分布和微观状态分布和微观状态新课：新课：6 6.

14、5 .5 分布和微观状态分布和微观状态二、对应于一个分布的系统的微观状态数二、对应于一个分布的系统的微观状态数三、经典极限条件（非简并条件）、三种三、经典极限条件（非简并条件）、三种系统微观态之间的关系系统微观态之间的关系一、一、 分布分布四、经典统计的分布和微观态数四、经典统计的分布和微观态数(1)经典极限条件下，每个量子态上平均粒子数远远小经典极限条件下，每个量子态上平均粒子数远远小于于1，粒子间的相关可以忽略。，粒子间的相关可以忽略。rrrhppqq011四、经典统计的分布和微观态数四、经典统计的分布和微观态数(2)粒子全同性的影响体现在因子粒子全同性的影响体现在因子1/n!.(3)相格

15、：相格： 经典力学，经典力学，h0 可以任意小，量子力学限制可以任意小，量子力学限制h0 的最小的最小值为普朗克常数值为普朗克常数 h; h0 越小，描述越精确。越小，描述越精确。 具有自由度具有自由度r的粒子的相空间的相格的大小为：的粒子的相空间的相格的大小为： (4)相空间可以被分为许多体积元相空间可以被分为许多体积元), 2 , 1(ll体积元体积元l内的粒子所具有的能量内的粒子所具有的能量能级l体积元体积元l粒子的运动状态数粒子的运动状态数简并度rlh0新课：新课：6 6.5 .5 分布和微观状态分布和微观状态，体积元l21 !0cllarllllhan ，简并度rlrrhhh00201，能量l21，粒子数laaa21类似于玻尔兹曼系统类似于玻尔兹曼系统新课：新课：6 6.5 .5 分布和微观状态分布和微观状态6 6.5 .5 分布和微观状态分布和微观状态小结小结二、对应于一个分布的系统的微观状态数二、对应于