第十二章第2节可分离变量的微分方程58163

1、1第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形如形如xdxfydyg)()(的一阶微分方程叫做的一阶微分方程叫做已分离变量方程已分离变量方程 .设设 是方程的解是方程的解 , )(xyxdxfxdxxg)()()(两边积分两边积分, 则有则有ydyg)(,)(xdxf即即cxfyg)()(称为称为隐式通解隐式通解)形如形如)()(21yfxfxdyd的方程都叫做的方程都叫做可分离变量方程可分离变量方程 . 则有恒等式则有恒等式 0 )( )(11xnxdxmydynym)( )(22或或 5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 2例例1. 求微分方程yxxdyd23的

2、通解.解解: 分离变量得xdxyyd23两边积分xdxyyd23得13lncxycxylnln3即13cxey 31xcee 3xec 令1cec( c 为任意常数 )或或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.如此例, y = 0 也是原方程的解 , 但在变量分离时丢失了此解.3例例2. 解下述初值问题解下述初值问题0)1(2ydxxdyx解解: 分离变量得分离变量得xdxxyyd21两边积分得两边积分得cxyln11lnln2即即cxy12由初始条件得由初始条件得 c = 1 112xy( c 为任意常数为任意常数 )故所求特解为故所求特解为 1)0(y4求方程

3、求方程 的通解的通解 . yxey 解法解法 1：xdeydexy ceexy 或或01)( yxece( c 0 )解法解法 2: 令令 ,yxu则则yu1故有故有ueu1积分积分cxeudu1cxeuu)1 (ln( c 为任意常数为任意常数 )即即cyeyx)1(lnudeeeuuu1)1 (3例例yxeedxdy 501422222dyyxxyydxx求求例例 .解解 原式化为原式化为xdxxdyyy22211两边积分得两边积分得cxxyyarctanln221满足初始条件满足初始条件11xy的特解。的特解。由初始条件由初始条件11xy234 c得得所求特解为所求特解为423arcta

4、n21ln2xxyy6例例5. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子的含量的含量 m 成正比成正比 ,0m求在衰变求在衰变过程中铀含量过程中铀含量 m(t) 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律. 解解: 根据题意根据题意 , 有有)0(mtdmd00mmt(初始条件初始条件)对方程分离变量对方程分离变量, mmd得得,lnlnctm即即tecm利用初始条件利用初始条件, 得得0mc 故所求铀的变化规律为故所求铀的变化规律为.0temmm0mto然后积分然后积分:td)(已知已知 t = 0 时铀的含量为时铀的含量为7例例6. 设降落伞从跳伞塔下落后设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度所受空气阻力与速度成正比成正比 ,求降落伞下落速度与时间的函数关系求降落伞下落速度与时间的函数关系. 解解: 根据牛顿第二定律列方程根据牛顿第二定律列方程vkmgtdvdm00tv初始条件为初始条件为:对方程分离变量对方程分离变量,mtdvkmgvd然后积分然后积分, 得得cmtvkgmk)(ln1)0(vkgm利用初始条件利用初始条件,得得, )(ln1gmkc代入上式后化简代入上式后化简, 得特解得特解)1 (tmkekgmv说明说明: ,limkgmvt跳伞最后阶段接近于等速运动跳伞最后阶段接近于等速运动.并设降落伞离开跳伞塔时