第四节函数的极限

1、 函数极限与数列极限的类似之处函数极限与数列极限的类似之处 及其自身特征及其自身特征 x 时时, 函数函数 (x) 的极限的极限 x x0 时时, 函数函数 (x) 的极限的极限 函数极限的几个重要性质函数极限的几个重要性质第四节第四节 函数的极限函数的极限 数列是特殊的函数数列是特殊的函数, 我们将数列极限推广到一般函数的我们将数列极限推广到一般函数的极限极限, 但是但是, 函数极限远比数列极限复杂函数极限远比数列极限复杂.一、一、 函数极限与数列极限的类似之处及其自身特征函数极限与数列极限的类似之处及其自身特征1. 类似之处类似之处 由于数列是一类特殊的函数由于数列是一类特殊的函数, 特殊

2、之处在于它的定义域为特殊之处在于它的定义域为n, 即即 , 数列的极限只有一个趋势数列的极限只有一个趋势 n .( ), naf nnn lim lim( )nnnaaf na 将自变量变为将自变量变为 x 可得到可得到:lim( )xf xa 这样对于函数极限这样对于函数极限, 数列极限的定义数列极限的定义, 结论结论, 性质都可直接性质都可直接搬过来搬过来. 但是但是, 数列极限与函数极限存在不同之处数列极限与函数极限存在不同之处:an: n 是沿数轴上的是沿数轴上的正整数跳跃地正整数跳跃地趋于趋于+.f (x): x +是沿数轴上的正实数连续地趋于是沿数轴上的正实数连续地趋于+.2. 函

3、数极限的自身特征函数极限的自身特征 由于由于 x 变化趋势的性态不同变化趋势的性态不同, 函数极限有以下几种情形函数极限有以下几种情形:(1) 自变量自变量 x 无限增无限增大大分三种情况讨论分三种情况讨论:(i) 自变量自变量 x 的绝对值的绝对值 |x| 无限增无限增大大, 即即 x , x 在数轴在数轴上向左右两个方向趋进上向左右两个方向趋进, 且其绝对值无限增大且其绝对值无限增大;(ii) x 0, x 无限增无限增大大, 即即 x +, x 在数轴上向右方无在数轴上向右方无限增大限增大;(2) 自变量自变量 x 趋进于某个常数趋进于某个常数 x0 分三种情况讨论分三种情况讨论:(ii

4、) x x0, x 无限趋进无限趋进 x0, 即即 x x0+, x 在数轴上从在数轴上从 x0 点点的右边无限接近于的右边无限接近于x0 ;(iii) x x0, x 无限趋进无限趋进 x0, 即即 x x0-, x 在数轴上从在数轴上从 x0 点点的左边无限接近于的左边无限接近于x0 ;(iii) x 1), 当当 x 时极时极限都不存在限都不存在.例如例如,110,0,kkxx 因因为为要要使使不不等等式式1kx 只只要要 即即可可. .10,0 ,kxxx 所所以以取取正正数数 则则当当时时, , 有有 10kx 1lim0 (0).kxkx 恒恒成成立立. .故故由由函函数数极极限限

5、的的定定义义知知 证证1lim0 (0)kxkx用用“x ”定义证明定义证明:.20情情形形 x.)(, 0, 0 axfxxx恒有恒有时时使当使当对函数对函数(x), 当当x取负值而绝对值无限增大时取负值而绝对值无限增大时 (即即x ),如果如果 (x) 无限接近某常数无限接近某常数a, 则称则称a是函数是函数(x)当当x 时的时的极限极限.axfx )(lim( )()f xa x 或或定定义义x 例如例如1lim0, lim0 xxxex lim arctan2xx oxya+aa xy=(x)可作两条直线可作两条直线 y =a及及 y = a+,(,),xx 时时对应的函数曲线介于这两

6、条直线之间对应的函数曲线介于这两条直线之间, 如图如图则总存在区间则总存在区间(, x) , 当当设函数设函数(x)取负值而绝对值无限增大时取负值而绝对值无限增大时,0, 几何意义几何意义： 定理定理1 函数函数y =(x)当当x 时极限存在且为时极限存在且为a的充要条件的充要条件是函数是函数 y =(x)当当 x 与与 x 时极限都存在且等于时极限都存在且等于a. lim( )lim( )lim( )xxxf xaf xf xa 即即lim( )lim( ),lim( )xxxf xaf xaf xa ,三者的关系：三者的关系：例例2limarctanxx讨论讨论 极限是否存在极限是否存在?

7、解解lim arctan, lim arctan,22xxxx 于是于是lim arctanlim arctanxxxx limarctanxx故故 极限不存在极限不存在.三、三、 时时, , 函数函数 (x) 的极限的极限0 xx问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 a.;)()(任意小任意小表示表示axfaxf .000的过程的过程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程程度度接接近近体体现现xx 定义定义 00,0,(0).xxf xa 使使当当时时恒恒有有

8、1. 1. 定义定义2. 几何意义几何意义oxya+aay=(x)0 x 0 x0 x 0, 00 (, ) ,xu x 当时可作两条直线可作两条直线 y = a 及及 y =a+. 则在则在x轴上总存在轴上总存在以以 x为心为心, 为半径的去心邻域为半径的去心邻域00(,),u x 即在该去心邻域内对应的函数曲线即在该去心邻域内对应的函数曲线 y = f(x)一定介于这两条直一定介于这两条直线之间线之间, 如下图如下图.注注1. 函数函数 y = f(x)在在x点的极限只要求函数在以点的极限只要求函数在以 x为中为中心心, 为半径的去心邻域内有定义为半径的去心邻域内有定义, 而与在而与在 x

9、点有无定义无关点有无定义无关. 0,10,1sin)(xxxxxf例如例如 2. 表示表示 x 趋近于趋近于 x点的程度点的程度.与预先任意给定的正数与预先任意给定的正数 有关有关, 体现体现 x x与与 f(x) a 两个趋近之间的关系两个趋近之间的关系.3. 用用 “” 定义证明的关键是由定义证明的关键是由 解出解出 ( )f xa 得到得到 注意求解注意求解 时要把时要把 | x - - x |作作0)0(xxg . 2 lim(21)5xx 证证明明证证0, 例例3要使要使 ( )5f x (21)5x22x 成立成立, 只需只需22,x 22x 即即, 02 ,2x 当当时时 有有所

10、以所以, 对任意给定的对任意给定的 , 取取0 ( )5f x 22x 恒成立恒成立, 所以原等式成立所以原等式成立.为未知数求解为未知数求解. 由于由于 不唯一不唯一, 在在 不易求出的过程中可适不易求出的过程中可适当使用放大法当使用放大法.2122lim4.1xxx 证证明明证证222( )41xf xax , 0 任任给给,2 取取01,x 当当时时函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.21x 2224,1xx 有有2122lim4.1xxx 注注 此例中函数虽在此例中函数虽在 x = 1处无定义处无定义, 但但 x 时极限却存时极限却存在在. 这说明函数在这说明函数在 x0 点的

11、极限是否存在与函数在点的极限是否存在与函数在 x0处有无定处有无定义无关义无关. 0 limsin0 xxx 证证明明证证0, 要使要使 例例4( )5f x 成立成立, 只需只需sin0 xxsin0 xxxx 0,x , 00 ,x 当当时时 有有所以所以, 对任意给定的对任意给定的 , 取取0 sin00 xxx 恒成立恒成立, 所以原等式成立所以原等式成立.单侧极限单侧极限 函数函数 (x) 的左、右极限的左、右极限引例引例. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证证明明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从从左左侧侧无无限限趋趋近近; 0

12、0 xx记作记作,0 xx从从右右侧侧无无限限趋趋近近; 00 xx记作记作yox1xy 112 xy中所讨论的中所讨论的xx0 即即x可从可从x0的左右两侧趋于的左右两侧趋于0lim( )xxf xa x0 . 但有时可考察但有时可考察 x 仅从仅从x0 的左侧或右侧趋近时函数的左侧或右侧趋近时函数(特别是特别是分段函数在分段点处分段函数在分段点处)的极限的极限. 由此引入左、右极限的概念由此引入左、右极限的概念.000 000 xxxxxxxxx 注注1. 左右极限左右极限 设函数设函数(x)在点在点x0右侧右侧某个去心邻域内有定义某个去心邻域内有定义, 如果存在常数如果存在常数a, 对于

13、任意给定的对于任意给定的 0, 总存在总存在 0, ,使得当使得当x 满足不等式满足不等式0 0 xx 时时, , 有有( ) f xa 00lim( )()xxf xaf xa 或或 恒成立恒成立, 那么常数那么常数a就叫做函数就叫做函数(x)当当 时的时的右极限右极限, 记做记做0 xx00lim( ) ()xxf xaf xa 或或 就可以得到在就可以得到在 x0处的处的左极限左极限. 记为记为00 ,xx 类似地类似地, 在在 的定义中的定义中, 把把 改为改为0lim( ) xxf xa 00 xx 左极限和右极限统称为左极限和右极限统称为单侧极限单侧极限.左极限左极限00, 0,

14、0 , ( ).xxf xa使使当当时时 恒恒有有 右极限右极限0000()lim( )(0).xxxxf xaf xa 或或0000()lim( )(0).xxxxf xaf xa 或或 时时, 函数函数 (x) 的极限的极限0 xx定义定义 00, 0, 0 , ( ).xxf xa使使当当 时时 恒恒有有 0lim( )xxf xa 00, 0, 0 , ( ).xxf xa使使当当 时时 恒恒有有 极限极限000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xaf xf xa即即 函数函数 y = (x) 当当 x x0 时极限存在且为时极限存在且为 a 的充要的充要条件是函数条

15、件是函数y = (x) 的左极限和右极限都存在且等于的左极限和右极限都存在且等于a. 定理定理22. 左右极限的关系左右极限的关系注注 1. 此定理是判断函数在某点极限是否存在的充要条件此定理是判断函数在某点极限是否存在的充要条件;2. 此定理经常用来判断分段函数在分界点处的极限是否存在此定理经常用来判断分段函数在分界点处的极限是否存在;3. 即使函数在某点的左、右极限都存在即使函数在某点的左、右极限都存在, 但是不相等但是不相等, 则函则函数在该点的极限也不存在数在该点的极限也不存在.,0 , 0 xxxxx 例例5 设设(x)=|x| , 求求 0lim( ).xf x解解 因为因为00(

16、0 )lim( )lim0 xxff xx 则则故故0lim0 xx oxyy =|x| 00(0 )lim( )lim()0 xxff xx .lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 o00limlimxxxxxx 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6证证0lim( 1)1x 00limlimxxxxxx 0lim 11x 解解 因为因为111(10)lim( )limarctan12xxff xx 11(10)lim( )limxxff xaxa11arctan, 1 ( ),lim( ) 1 a , 1 xxf xf xxxx 且且存存在在

17、，例例7求求 a .11 lim( )lim( )xxf xf x 2a 1. 讨论函数讨论函数 当当 x 时的极限时的极限.()fxx x 2. y = x在在 x 1 时极限是否存在？时极限是否存在？解解 因为因为 (10)f 11limlim xxyx 故故不不存存在在. .oxy1(10)f1lim( )1xf x 1lim( )0 xf x 3.解解 0lim( )xf x 0lim1xxe ,0( )1,0 xexf xxx 讨论当讨论当 时时, 函数函数 的极限的极限.0 x当当 x 0 时时, 有有所以所以0lim ( )1xf x 4.2121, 1 ( ),lim( ).1

18、 , 1 xxxxf xf xxxx 求求解解 因为因为11( 10)lim( )lim1xxff xx 由于左、右极限存在但不相等由于左、右极限存在但不相等, 所以所以 f (x) 的极限不存在的极限不存在.1(21)(1)lim31xxxx 21121( 10)lim( )lim1xxxxff xx 5. 设函数设函数 , 讨论讨论 是否存在是否存在?1( )xf xe 0lim( )xf x解解100lim( )lim0 xxxf xe100lim( )limxxxf xe 因此因此 不存在不存在.0lim( )xf x当当 x 0 时时, 有有四、四、 函数极限的几个重要性质函数极限的

19、几个重要性质定理定理3 (唯一性唯一性)注注 若极限不唯一若极限不唯一, 则极限不存在则极限不存在. 若若lim (x) = a存在存在, 则极限值则极限值 a 唯一唯一.为了叙述方便为了叙述方便, 将将 (x) 在在 x 或或 xx0 时的极限时的极限 a统一统一0, 表述为表述为: 对对总存在那么一个时刻总存在那么一个时刻, 在此刻以后在此刻以后, 就恒有就恒有 ,并记为并记为 ( )f xa lim( ).f xa 定理定理4 (局部有界性局部有界性) 若若 存在存在, 一定存在那么一个时刻一定存在那么一个时刻, 在此时刻以在此时刻以后后, (x) 必定有界必定有界.lim( )f xa

20、 证证取取 =1,因为因为0lim( ),xxf xa 则存在则存在0, 00 xx 当当 时时,( )1f xa于是于是, 当当 时时00 xx ( )( )( )1f xf xaaf xaaa取取1,ma当当 有有00 xx ( )f xm 0, 定理定理5 (局部保号性定理局部保号性定理) 若若lim (x) = a 且且 a 0 (或或 a 0 就恒有就恒有(x) 022aaf xa证证设设 a 0取正数取正数 2a ，由由lim(x)= a的定义的定义,由定理由定理5, 易得以下推论易得以下推论000lim( ), 0 (0), 0, (, ), ( )0 ( )0).xxf xaa

21、axuxf xf x 若若且且或或则则当当 时时或或推论推论1000lim( ), 0, (, ) ,( )0 ( )0), 0 (0).xxf xaxuxf xf xaa若若且且当当时时或或则则 或或推论推论2证证 用反证法用反证法.则由定理则由定理 1,与已知与已知0 x的某去心邻域的某去心邻域 , 使在该邻域内使在该邻域内,0)(xf存在存在假设假设 a 0 , 所以假设不真所以假设不真, .0a条件矛盾条件矛盾,故故时,当0)(xf(同样可证同样可证0)(xf的情形的情形)思考思考: 若推论若推论 2 中的条件改为中的条件改为, 0)(xf是否必有是否必有?0a不能不能! 0lim20

22、 xx如如 函数六种极限形式：函数六种极限形式：;)(limanfn ;)(limaxfx ;)(limaxfx ;)(limaxfx ;)(lim0axfxx ;)(lim0axfxx .)(lim0axfxx .)(, 0)(lim axfaxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻小结小结过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xnnn nx nx nx )(xf axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf axf)(思考题思考题试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在