空间解析几何基础

1、第一节第一节 空间解析几何基础知识空间解析几何基础知识x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(o),(zyxm xyzo)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr)0 ,(yxa), 0(zyb),(zoxc坐标轴上的点坐标轴上的点,p,q,r坐标面上的点坐标面上的

2、点,a,b,c设设),(1111zyxm、),(2222zyxm为为空空间间两两点点xyzo 1mpnqr 2m?21 mmd在在直直角角21nmm 及及 直直 角角pnm1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212nmpnpmd 空间两点间的距离,121xxpm ,12yypn ,122zznm 22221nmpnpmd .21221221221zzyyxxmm 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxm)0 , 0 , 0(oomd .222zyx xyzo 1mpnqr 2m例例 1 1 求证以求证以)1 , 3 , 4(1m、)

3、2 , 1 , 7(2m、)3 , 2 , 5(3m三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解解 221mm,14)12()31()47(222 232mm, 6)23()12()75(222 213mm, 6)31()23()54(222 32mm,13mm 原结论成立原结论成立.解解设设p点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因为因为p在在x轴上，轴上， 1pp 22232 x,112 x 2pp 22211 x, 22 x 1pp,22pp112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 思考题思考题在空间直角坐

4、标系中，指出下列各在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？点在哪个卦限？, )3 , 2, 1( a, )4, 3 , 2( b, )4, 3, 2( c. )1 , 3, 2( da:; b:; c:; d:;水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面s与与三三元元方方程程0),( zyxf有有下下述述关关系系：（1 1） 曲面曲面s上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；（2 2）不在曲面）不在曲面s上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标

5、都不满足方程；曲面的实例：曲面的实例：曲面方程的概念曲面方程的概念二、常见的空间曲面与方程二、常见的空间曲面与方程以下给出两例常见的曲面以下给出两例常见的曲面.例例 1 1 建建立立球球心心在在点点),(0000zyxm、半半径径为为r的的球球面面方方程程.解解设设),(zyxm是球面上任一点，是球面上任一点，rmm |0根据题意有根据题意有 rzzyyxx 202020 2202020rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222rzyx 设设),(zyxm是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|mbma 222321

6、 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解应该注意的是,对于一元方程或二元方程f(x)=0 或 f(x,y)=0 则需根据不同的坐标系来确定它们的几何意义.例如,x=1,在数轴上表示一个点,在平面直角坐标系下,它是一条垂直与x轴,且在x轴上截距为1的直线,而在空间直角坐标系中,它是平行于yoz平面且在x轴上截距为1的平面. 常见的空间曲面主要有平面、柱面、二次曲面等.1.平面空间平面方程的一般形式为ax+by+cz+d=0 (7.4)其中a,b,c,d为常数,且a,b,c不全为零.例如,当a=b=d=0,而c0时,得平面方程z=0,也就是xoy平面.

7、若a0,b0,c=d=0时,得平面方程ax+by=0.该平面垂直与xoy平面,且z轴在该平面上.2.柱面 设l是空间中的一条曲线,与给定直线l平行的动直线沿曲线l移动所得的空间曲面称为柱面,l称为柱面的准线,动直线称为柱面的母线. 柱面的准线不是唯一的,柱面上与所有母线都相交的曲线都可作为准线.我们只讨论母线与坐标轴平行的柱面.设l是xoy平面上方程为f(x,y)=0的曲线,在空间,曲线l可以用联立方程组( , )00f x yz表示. 例如x2+y2=r2表示空间的一个圆柱面,它的母线平行于oz轴,准线是xoy平面上的圆.2220 xyrz 方程x2y2=1表示母线平行于oz轴,准线为双曲线

8、2210 xyz的双曲柱面.方程y=2px2表示抛物柱面.3.二次曲面三元二次方程a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5)所表示的空间曲面称为二次曲面,其中ai,bi,ci(i=1,2,3)和d均为常数,且ai,bi不全为零.(1)球面x2+y2+z2=r2 (r0) (7.6)(2)椭球面2222221 ( , ,0) (7.7)xyza b cabc当a=b=c=r时,即为球面.(3)单叶双曲面2222221 ( , ,0) (7.8)xyza b cabc(4)双叶双曲面2222221 ( , ,0) (7.9)xyza b

9、cabc (5)二次锥面2222220 ( , ,0) (7.10)xyza b cabc(6)椭圆抛物面222220 ( ,0) (7.11)xyza bab(7)双曲抛物面(马鞍面)222220 ( ,0) (7.12)xyza bab思考题思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy思考题解答思考题解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y轴轴的的直直线线平平行行于于yoz面面的的平平面面

10、圆圆心心在在)0 , 0(，半半径径为为2的的圆圆以以z轴为中心轴的圆柱面轴为中心轴的圆柱面斜率为斜率为1的直线的直线平平行行于于z轴轴的的平平面面方程方程三、平面区域的概念及其解析表示三、平面区域的概念及其解析表示 设p0(x0,y0)是xoy平面上的一定点,0为一实数,以p0为圆心,以为半径的圆的内部d(p0)=(x,y)|(xx0)2+(yy0)20,使得 .则称p0为d的内点;若d的点都是内点,则称d为开集.0()dpd边界、边界点 设p0(x0,y0)为xoy平面上的一点,若对任意0,总存在点p1,p2d(p0),使得p1d,p2 ,则称点p0为d的边界点;d的全体边界点的集合,称为d的边界.d开区域、闭区域 设d为一开集,p1和p2为d内任意两点,若在d内存在一条或由有限条直线段组成的折线将p1和p2连接起来,则称d为连通区域,简称为区域或开区域