重积分的应用82706

1、方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次积分三次积分”),(),(21d),(ddyxzyxzdzzyxfyxvzyxfd),(zdbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据vzyxfd),(vzyxfd),(三种方法各有特点, 被积函数被积函数及积分域的特点积分域的特点灵活选择. oxyz,r),(3zyxm设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点m 的柱坐标柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面

2、oz),(zyxm)0 ,(yxzzdddzvdddd因此zyxzyxfddd),(cos ,sin ,)fz 适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.zdddxyzodd,r),(3zyxm设),(z其柱坐标为就称为点m 的球坐标球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,zommoxyzzr),(r则0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面, rom 令sinrcosrz xyzoddrrddsindddvrr r 因此有zyxzyxfddd)

3、,( sincos , sinsin , cos)f rrr适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.dddsin2rrdsin dr 2sin d ddrr zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系 说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:),(),(wvuzyxj对应雅可比行列式雅可比行列式为*ddd),(ddd),(wvujwvufzyxzyxf变量可分离.围成 ;二、立体体积二

4、、立体体积 三、曲面的面积三、曲面的面积 四、物体的质心四、物体的质心 五、物体的转动惯量五、物体的转动惯量 重积分的应用 一、平面图形面积一、平面图形面积 所求量是 对区域具有可加性可加性 从定积分定义出发从定积分定义出发 建立积分式建立积分式 用微元法微元法 (元素法元素法) 分布在有界闭域上的整体量有界闭域上的整体量 3. 解题要点(25字） 画画出积分域、选择坐标系、确定积分序、出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出定出积分限、计算要简便积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 解解 在极坐标系下在极坐标系下222222()2()xyaxy2cos2 ,ra222,xyara

5、1d12d ddax y/62cos2/62ddaar r2( 3).3a 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为dyxyxfvdd),(,),(dyx 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为zyxvddd选用选用极坐标系极坐标系2222azyx 被圆柱面被圆柱面xayx 22)0( a柱面内的柱面内的) )立体的体积立体的体积. . 所截得的所截得的( (含在含在求球体求球体a0 xy222dddva )322(343 a解解: 设光滑曲面设光滑曲面dyxyxfzs ),( , ),(:xyzso则面积则面积 a 可看成曲面上各点可看成曲面上各点),(zyxm处小切平面的

6、面积处小切平面的面积 da 无限积累而成无限积累而成. dmn设设da在在 d 上的上的投影为投影为 d ,adcosd d),(),(1d22yxfyxfayx 221cos1( , )( , )xyfx yfx yadz dn故有曲面面积公式故有曲面面积公式 d),(),(122 dyxyxfyxfa即即 yxyzxzadd)()(122d(称为面积元素面积元素)若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为zyzxyxadd)()(122 ,),( , ),(zydzyzygx 则有则有zydxzxyzyadd)()(122 若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzdxzxzhy 则

7、有则有xzd若光滑曲面方程为隐式若光滑曲面方程为隐式则则yxzyzxdyxffyzffxz ),(,0),( zyxf,0 zf且且 ayxdzzyxffff 222yxdd解解:设球面方程为 ar球面面积元素为ddsind2aa 0202dsindaa24asinada利用球坐标方程.axyzoddsinaa2222224.xyzaxya x计算球面含在圆柱面内部的面积例/2cos22/2022ddaaaaa上222a（）222d dxydaax yaxy上xy222zaxy曲面，解解: 先求上半部分的面积先求上半部分的面积.xyd设空间有n个质点, ),(kkkzyx其质量分别, ),2,

8、 1(nkmk由力学知, 该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有空间域 ,),(zyx有连续密度函数则 分别位于为为采用 “分割分割, 近似近似, 求和求和, 取极限取极限” 可导出其质心坐标公式质心坐标公式.将 分成 n 小块, ),(kkk将第 k 块看作质量集中于点),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小区域的最大直径,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点zyxzyxzyxzyxyyddd),

9、(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常数时当zyx则得形心坐标形心坐标：,dddvzyxxx,dddvzyxyyvzyxzzddd的体积为zyxvddd若物体为占有xoy 面上区域 d 的平面薄片, ),(yx为yxyxyxyxxxdddd),(dd),(yxyxyxyxyydddd),(dd),(,常数时,ddayxxxdayxyyddd(a 为 d 的面积)得d 的形心坐标形心坐标:则它的质心坐标质心坐标为mmymmx其面密度 xmym 对对 x 轴的轴的 静矩静矩 对对 y 轴的轴的 静矩静矩4sin2rsin4r和的质心. 2d解解: 利用对称性可

10、知0 x而dyxyaydd1drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之间均匀薄片0dsin3143212oyxc( , )1 3.x yxy 8( , )d d.3dmx yx y161183 yx，设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数. ),(zyx该物体位于(x , y , z) 处的微元 vzyxyxd),()(22因此物体 对 z 轴 的转动惯量转动惯量:zyxzyxyxizddd),()(22zidxyoz对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. zyx

11、zyxixddd),( zyxzyxiyddd),( zyxzyxioddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量面密度为dyxyx),(),(dxyxyxidd),( doyxyxidd),( 则转动惯量的表达式是二重积分.xdyo2y2x)(22yx dyyxyxidd),( rraddsin0302解解: 建立坐标系如图, 0:222yayxdyxyidxdd2drrddsin23441a2212oxydaa的转动惯量.a222222(sincossinsin)rr解解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,:2222a

12、zyx则zizyxyxddd)(22552adddsin2rr olzxy132220ddsin03rrad04设球 所占域为(用球坐标) l)(th( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程,)()(2)(22thyxthz设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研考研)yzoyxzo记雪堆体积为 v, 侧面积为 s ,则)(:221220thyxd)()(:22122zththyxdzvzdyxdd)(0dthz)(0221d)()(thzzthths0dyxzzyxdd)()(1220d)()(162221thyx )(2thrrrthd16)(2202)(th)(12132th)(43thyxdd(用极坐标) )(12132ths, )(43thv由题意知stv9 . 0dd1013ddth130)0(h1301013)(tth令,0)(th得100t(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.1:221yx