高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数学案新人教A版选修1109122115

1、高中数学选修精品教学资料3.3.1函数的单调性与导数学习目标：1.理解函数的单调性与导数的关系(重点)2.能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间(重点)3.能根据函数的单调性求参数(难点)自 主 预 习·探 新 知1函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a,b)内的函数yf(x)f(x)的正负f(x)的单调性f(x)>0单调递增f(x)<0单调递减思考：若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,则f(x)>0这个说法正确吗？提示不正确,应该是f(x)0.2函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地,设函数yf(x),

2、在区间(a,b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)基础自测1思考辨析(1)函数f(x)在定义域上都有f(x)>0,则函数f(x)在定义域上单调递增()(2)函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”()(3)函数值在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大()(4)在区间(a,b)内,f(x)>0是f(x)在此区间上单调递增的充要条件()答案(1)×(2)×(3)(4)×2函数yx3x的单调递增区间为()a(0,)b(,1)c(1,) d(,)dy3x21>0,

3、故选d.3若在区间(a,b)内,f(x)>0,且f(a)0,则在(a,b)内有() 【导学号：97792146】af(x)>0 bf(x)<0cf(x)0 d不能确定 a由f(x)>0知函数f(x)在区间(a,b)内是增函数,且f(a)0,故f(x)>0.合 作 探 究·攻 重 难函数的单调性与单调区间(1)函数f(x)3x22ln x的单调递减区间为_(2)设函数f(x)xaln x(ar),讨论f(x)的单调性思路探究(1)求f(x)解不等式f(x)<0(2)求f(x)根据a的取值判断f(x)的正负号解析(1)函数f(x)的定义域为(0,)f(

4、x)6x令f(x)<0,即<0,解得<x<.又x>0,故0<x<.即函数f(x)3x22ln x的单调递减区间为.答案(2)f(x)的定义域为(0,)f(x)1.令g(x)x2ax1,其判别式a24.当|a|2时,0,f(x)0.故f(x)在(0,)上单调递增当a<2时,>0,g(x)0的两根都小于0.在(0,)上,f(x)>0.故f(x)在(0,)上单调递增当a>2时,>0,g(x)0的两根为x1,x2.当0<x<x1时,f(x)>0；当x1<x<x2时,f(x)<0；当x>x2

5、时,f(x)>0.故f(x)分别在,上单调递增,在上单调递减规律方法求函数yf(x)的单调区间的步骤：(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求导数yf(x)；(3)解不等式f(x)>0,函数在定义域内的解集上为增函数；(4)解不等式f(x)<0,函数在定义域内的解集上为减函数跟踪训练1(1)函数yx3x2x的单调递增区间为()a.和(1,)b.c.(1,)d.ay3x22x1,令y>0,得x<或x>1,所以函数的单调递增区间为和(1,),故选a. (2)讨论函数f(x)x2aln x(ar,a0)的单调性解函数定义域为(0,),f(x)x.当a0时,f(x

6、)x0恒成立,这时函数只有单调递增区间为(0,)；当a0时,由f(x)x0,得x；由f(x)x0,得0x,所以当a0时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是(0,)综上,当a0时,单调递增区间为(0,),无单调递减区间；当a0时,单调递增区间为(,),单调递减区间为(0,)导数与函数图象的关系(1)f(x)是函数yf(x)的导函数,若yf(x)的图象如图3­3­1所示,则函数yf(x)的图象可能是()图3­3­1(2)已知函数yf(x)的图象如图3­3­2所示,则函数yf(x)的图象可能是图中的 () 【导学号：97792147】图3

7、­3­2解析(1)由f(x)>0(f(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势由已知可得x的取值范围和f(x)的正、负,f(x)的增减变化情况如下表所示：x(,0)(0,2)(2,)f(x)f(x)由表可知f(x)在(,0)内递增,在(0,2)内递减,在(2,)内递增,满足条件的只有d,故选d.(2)由函数yf(x)的图象的增减变化趋势判断函数yf(x)的正、负情况如下表：x(1,b)(b,a)(a,1)f(x)f(x)由表可知函数yf(x)的图象,当x(1,b)时,函数图象在x轴下方；当x(b,a)时,函数图象在x轴上方；当x(a,1)

8、时,函数图象在x轴下方故选c.答案(1)d(2)c规律方法(1)研究函数与导数图象间对应关系的注意点研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减；而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致(2)导数与函数图象的关系函数值增加得越来越快函数值增加得越来越慢f(x)>0且越来越大f(x)>0且越来越小函数值减少得越来越快函数值减少得越来越慢f(x)<0且越来越小绝对值越来越大f(x)<0且越来越大绝对值越来越小提醒：

9、函数图象变化得越快,f(x)的绝对值越大,不是f(x)的值越大跟踪训练2(1)设函数f(x)在定义域内可导,yf(x)的图象如图3­3­3所示,则导函数yf(x)可能为()图3­3­3d由函数的图象知：当x0时,函数单调递增,导数应始终为正；当x0时,函数先增后减再增,导数应先正后负再正,对照选项,只有d正确(2)函数yf(x)在定义域内可导,其图象如图3­3­4,记yf(x)的导函数为yf(x),则不等式f(x)<0的解集为_图3­3­4(2,3)根据导数和图象单调性的关系知当x(2,3)时f(x)<

10、0.已知函数的单调性求参数的取值范围探究问题1在区间(a,b)内,若f(x)0,则f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗？提示：不一定成立比如yx3在r上为增函数,但其在x0处的导数等于零也就是说f(x)0是yf(x)在某个区间上递增的充分条件2一般地,在区间(a,b)内函数的单调性与导数有什么关系？提示：函数的单调性导数单调递增f(x)0且f(x)不恒为0单调递减f(x)0且f(x)不恒为0常函数f(x)0已知函数f(x)x3ax1,(1)若f(x)在区间(1,)内为增函数,求a的取值范围；(2)若f(x)的单调递减区间为(1,1),求a的值思路探究(1)转化为f(x)0在(1,)上恒成立

11、,求a的范围；(2)由f(x)0,求单调减区间,对比已知,求a的值解(1)因为f(x)3x2a,且f(x)在区间(1,)上为增函数,所以f(x)0在(1,)上恒成立,即3x2a0在(1,)上恒成立,所以a3x2在(1,)上恒成立,即a3.(2)f(x)3x2a.当a0时,f(x)0,无减区间,不满足条件当a0时,令3x2a0,得x±；当x时,f(x)0.因此f(x)在上为减函数所以1,即a3.规律方法1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f(x)0(或f(x)0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“”时是

12、否满足题意(2)先令f(x)>0(或f(x)<0),求出参数的取值范围后,再验证参数取“”时f(x)是否满足题意2恒成立问题的重要思路(1)mf(x)恒成立mf(x)max.(2)mf(x)恒成立mf(x)min.跟踪训练3(1)若函数f(x)kxln x在区间(1,)上单调递增,则k的取值范围是_. 【导学号：97792148】1,)由于f(x)k,f(x)kxln x在区间(1,)上单调递增f(x)k0在(1,)上恒成立由于k,而0<<1,所以k1.即k的取值范围为1,)(2)已知函数f(x)x22aln x.试讨论函数f(x)的单调区间若函数g(x)f(x)在1,

13、2上是减函数,求实数a的取值范围解f(x)2x,函数f(x)的定义域为(0,).当a0时,f(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,)；.当a<0时,f(x),当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表：x(0,),f(x)0f(x)递减递增由上表可知,函数f(x)的单调递减区间是(0,)；单调递增区间是(,)由g(x)x22aln x,得g(x)2x,由已知函数g(x)为1,2上的单调减函数,则g(x)0在1,2上恒成立,即2x0在1,2上恒成立,即ax2在1,2上恒成立,令h(x)x2,则h(x)2x<0,x1,2,所以h(x)在1,2上为减函数,h(x)minh(

14、2),所以a.故实数a的取值范围为.当 堂 达 标·固 双 基1下列函数中,在(0,)内为增函数的是()aysin xbyxexcyx3x dyxln xb对于yxex,yexxexex(1x)>0,yxex在(0,)内为增函数2在r上可导的函数f(x)的图象如图3­3­5所示,则关于x的不等式x·f(x)<0的解集为()图3­3­5a(,1)(0,1)b(1,0)(1,)c(2,1)(1,2)d(,2)(2,)a当x>0时,f(x)<0,此时0<x<1,当x<0时,f(x)>0,此时x<1,因此xf(x)<0的解集为(,1)(0,1)3函数f(x)(x1)ex的单调递增区间是_(0,)f(x)(x1)ex(x1)(ex)xex,令f(x)0,解得x0,故f(x)的增区间为(