高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例学案新人教A版选修1109122121

1、高中数学选修精品教学资料3.4生活中的优化问题举例学习目标：1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题(重、难点)自 主 预 习·探 新 知1生活中的优化问题(1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题(2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值2用导数解决优化问题的基本思路思考：生活中的优化问题一定要用导数解决吗？提示不一定例如表示数学问题的函数是一次函数或二次函数时,可不用导数求解基础自测1思考辨析(1)生活中的优化问题的实质就是函数的最值问题()(2)生活中的优化问题必须运用导数解决()(3)广告牌

2、的面积最小问题是生活中的优化问题()答案(1)(2)×(3)2甲工厂八年来某种产品年产量y与时间t(单位：年)的函数关系如图3­4­1所示：图3­4­1现有下列四种说法：前四年该产品产量增长速度越来越快；前四年该产品产量增长速度越来越慢；第四年后该产品停止生产；第四年后该产品年产量保持不变其中说法正确的有()abc db由图象可知,是正确的3电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系yx3x240x(x>0)为使耗电量最小则速度应定为_40yx239x40,令y0即x239x400,解得x40或x1(舍)当0<x<40时,y<

3、;0,当x>40时,y>0,所以当x40时,函数yx3x240x有最小值合 作 探 究·攻 重 难面积、体积的最值问题用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图3­4­2)问该容器的高为多少时,容器的容积最大？最大容积是多少？图3­4­2思路探究解设容器的高为x cm,容器的容积为v(x)cm3,则v(x)x(902x)(482x)4x3276x24 320x(0x24)所以v(x)12x2552x4 32012(x246x360)

4、12(x10)(x36)令v(x)0,得x10或x36(舍去)当0x10时,v(x)0,即v(x)单调递增；当10x24时,v(x)0,即v(x)单调递减因此,在定义域(0,24)内,函数v(x)只有当x10时取得最大值,其最大值为v(10)19 600(cm3)因此当容器的高为10 cm时,容器的容积最大,最大容积为19 600 cm3.规律方法1.求几何体面积或体积的最值问题,关键是分析几何体的几何特征,根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数,然后再用导数求最值2实际问题中函数定义域确定的方法(1)根据图形确定定义域,如本例中长方体的长、宽、高都大于零；(2)根据问题的实际意义确定定义域

5、,如人数必须为整数,销售单价大于成本价、销售量大于零等跟踪训练1已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上,求这个矩形面积最大时的长和宽. 【导学号：97792167】解设矩形边长ad2x(0<x<2),则|ab|y4x2,则矩形面积为s2x(4x2)8x2x3(0<x<2),所以s86x2,令s0,解得x1,x2(舍去)当0<x<,s>0,当<x<2时,s<0,所以,当x时,s取得最大值,此时smax.即矩形的边长分别为,时,矩形的面积最大用料(费用)最省问题为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,

6、房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用c(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：c(x)(0x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的函数解析式(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值思路探究代入数据求k的值建造费用加上每年能源消耗费用总和得出总费用f(x)利用导数求最值解(1)设隔热层厚度为x cm,由题设可知,每年能源消耗费用为c(x),再由c(0)8,得k40,因此c(x),而建造费用为c

7、1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20c(x)c1(x)20×6x6x(0x10)(2)f(x)6,令f(x)0即6,解得x5,x(舍去),当0<x<5时,f(x)<0,当5<x<10时,f(x)>0,故x5时,为f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)6×570.当隔热层修建5 cm厚时,总费用达到最小值70万元规律方法解决优化问题时应注意的问题(1)列函数解析式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域(2)一般地,通过函数的极值来求得函数的最值如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函

8、数f(x)在开区间上只有一个点使f(x)0,则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较跟踪训练2如图3­4­3,要在边长为100 m的正方形abcd内建一个交通“环岛”以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为x2 m的圆形草地为了保证道路畅通,岛口宽不小于60 m,绕岛行驶的路宽均不小于10 m.图3­4­3(1)求x的取值范围(取1.4)；(2)若中间草地的造价为a元/m2,四个花坛的造价为ax元/m2,其余区域的造价为元/m2,则当x取何值时,可

9、使“环岛”的整体造价最低？解(1)由题意,得,解得9x15.即x的取值范围为9,15(2)记“环岛”的整体造价为y元,则由题意得ya××ax×x2×104×x212×104,令f(x)x4x312x2,则f(x)x34x224x4x,由f(x)0,解得x10或15或0(舍去)当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表：x9,10)10(10,15)15f(x)00f(x)极小值225当x10时,f(x)取得最小值,y取得最小值故当x10时,可使“环岛”的整体造价最低利润最大(成本最低)问题探究问题求利润的方法有哪些？提示：(1)利

10、润收入成本(2)利润每件产品的利润×销售件数某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内,预计年销量q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为q(x0),已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品需再投入32万元若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和,则(1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数如果年广告费投入100万元,那么企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大？思路探究(1)利用题中等量关系列出y与x的函数关系式,将x100代入所求关系式判断y>0还是y<

11、0；(2)先求出(1)中函数关系式的导函数,再利用导数求最值解(1)由题意,每年销售q万件,成本共计为(32q3)万元销售收入是(32q3)·150%x·50%,年利润y年收入年成本年广告费(32q3x)(x0),所求的函数关系式为：y(x0)因为当x100时,y<0,所以当年广告费投入100万元时,企业亏损(2)由yf(x)(x0),得f(x)(x0)令f(x)0,则x22x630,x9(舍去)或x7.又当x(0,7)时,f(x)>0；当x(7,)时,f(x)<0,f(x)极大值f(7)42.又在(0,)上只有一个极值点,f(x)maxf(x)极大值f(

12、7)42.故当年广告费投入7万元时,企业年利润最大规律方法1.利润最大问题是生活中常见的一类问题,一般根据“利润收入成本”或“利润每件产品利润×销售件数”建立函数关系式,再用导数求最大值2解答此类问题时,要认真理解相应的概念,如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等,以免因概念不清而导致解题错误跟踪训练3某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p24 200x2,且生产x吨产品的成本为r50 000200x(元)问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润收入成本) 【导学号：97792168】解每月生产x吨时

13、的利润为f(x)x(50 000200x)x324 000x50 000(x0)由f(x)x224 0000,解得x1200,x2200(舍去)因为f(x)在0,)内只有一个点x200使f(x)0,故它就是最大值点,且最大值为f(200)×200324 000×20050 0003 150 000(元)所以每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元当 堂 达 标·固 双 基1在某城市的发展过程中,交通状况逐渐受到更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为

14、yt3t236t,则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是()a6时b7时c8时d9时c由题意,知yt2t36,令y0,得3t212t36×80,t18,t212(舍去)当t(6,8)时,y>0,当t(8,9)时,y<0,当t8时,y取得最大值通过该路段用时最多的时刻是上午8点2要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则其高为()a cmb100 cmc20 cm d cma设圆锥的高为h cm,则v(400h2)×h,所以v(h)(4003h2)令v(h)0,得h2,所以h.故选a.3某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数：y1

15、17x2(x>0)；生产总成本y2(万元)也是x的函数：y22x3x2(x>0),为使利润最大,应生产()a9千台 b8千台c6千台 d3千台c利润函数yy1y218x22x3(x>0),求导得y36x6x2,令y0,得x6或x0(舍去)因0<x<6时,y18x22x3递增,x>6时,y18x22x3递减,所以x6时利润最大,故选c.4方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为()a4b6c4.5d8a设底面边长为x,高为h,则v(x)x2·h256,h,s(x)x24xhx24x·x2,s(x)2x.令s(x)0,解得x8,h4.5一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比已知速度为每小时10千米时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1千米所需的费用总和最少？ 【导学号：97792169】解设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么