第四节极限的四则运算

1、第四节第四节 极限的四则运算极限的四则运算如果如果,)(limaxf ,)(limbxg 则则.)()(limbaxgxf 如果如果,)(limaxf ,)(limbxg 则则baxgxf )()(lim如果如果,)(limaxf , 0)(lim bxg则则.)()(limbaxgxf 此时此时)()()(baxgxf )()(bxgaxf bxgaxf )()(22 故故 对对, 0 )()()(baxgxf 所以命题成立所以命题成立.因因,)(lim0axfxx ,)(lim0bxgxx 所以所以 对对, 0 证证2)( axf2)( bxg同时成立同时成立总总, 0 当当 00 xx时

2、时,与与总总, 0 当当 00 xx时时,恒成立恒成立推论推论1 常数因子可以提到极限符号外面常数因子可以提到极限符号外面,即即)(lim)(limxfcxcf 推论推论2 如果如果m是与极限变量是与极限变量x无关的正整数无关的正整数,则则mmxfxf)(lim)(lim mmxfxf11)(lim)(lim 各种类型极限求法各种类型极限求法:时的极限时的极限多项式在多项式在. 10 xx 例例1 求求).123(lim21 xxx解解 原式原式213lim xx xx2lim1 1lim1 x21lim3xx xx1lim2 1lim1 x21)lim(3xx xx1lim2 1lim1 x

3、112132 . 2 注注 求极限时直接代入求极限时直接代入.000()xxxxxx2.分母极限不为零的分式的极限分母极限不为零的分式的极限例例2 求求.313lim22 xxxx解解原式原式因因2lim(3)xx)3(lim)13(lim222 xxxxx11 . 1 注注分子极限除以分母极限分子极限除以分母极限.故故231 0 3.分母极限为零而分子极限不为零的分式的极限分母极限为零而分子极限不为零的分式的极限例例3 求求解解因因3lim(3)xx.313lim23 xxxx又又23lim(31)xxx0 所以所以133lim23 xxxx01 故故注注 此种类型的极限以后不要过程此种类型

4、的极限以后不要过程,直接为直接为. 3302331lim.3xxxx 2333110 4.分母、分子极限全为零的分式的极限分母、分子极限全为零的分式的极限例例4 求求.965lim223 xxxx解解原式原式)3)(3()2)(3(lim3 xxxxx32lim3 xxx.61 例例5 求求.11lim1 xxx解解 原式原式)1)(1(1lim1 xxxx11lim1 xx.21 原式原式)1)(1()1)(1(lim1 xxxxx11lim1 xx.21 注注:(1)00型型.(2) 此种极限求解时此种极限求解时,分子分母分解因式分子分母分解因式带根号将根号有理化带根号将根号有理化.此种类

5、型的极限为此种类型的极限为约去公因子约去公因子.既使不是既使不是00型型, 只要分子只要分子分母中有公因子分母中有公因子,一般的处理方法也是一般的处理方法也是将公因子先约去然后再计算将公因子先约去然后再计算.(3)例例6 求求).1211(lim21 xxx解解原式原式12)1(lim21 xxx11lim21 xxx)1)(1(1lim1 xxxx11lim1 xx.21 注注(1) 型型.(2)做法做法:通分合并变成一个分式通分合并变成一个分式.(3)新分式一定为新分式一定为 00型型.)(. 5 其中每一部分均为其中每一部分均为函数相减求极限函数相减求极限例例7求求).1(limxxx

6、解解原式原式)1()1)(1(limxxxxxxx xxx 11lim. 0 多项式的极限多项式的极限时多项式时多项式/. 6 x例例8.243132lim232 xxxxx求求解解原式原式)243/()132(lim332xxxxxx . 0 例例9.5243lim334xxxxx 求求解解原式原式)15/()243(lim34xxxxx . 例例10.243132lim233 xxxxx求求解解 原式原式)243/()132(lim332xxxxx .32 注注mmmnnnxbxbxbaxaxa 110110lim 0mn mn mn 00ba()xxx 7.分段函数求极限分段函数求极限例

7、例11 已知已知 )(xf1 xe2211xxx 0 x0 x求求).(lim),(lim0 xfxfxx 解解)(lim0 xfx 22011limxxxx 1 )(lim0 xfx )1(lim0 xxe0 故故)(lim0 xfx不存在不存在.)(limxfx2211limxxxx 1 )(limxfx)1(lim xxe1 故故)(limxfx . 1 8.数列求极限数列求极限(1)多项式多项式/多项式多项式(2) (3)n项和求极限项和求极限(4)n项积求极限项积求极限(5)axfnfxn )(lim)(lim(6)两边夹法则两边夹法则(7)定积分定积分(8)级数级数例例12 求求.

8、)1(12437325213lim22222222 nnnn解解 原式原式)4131()3121()2111(lim222222 n )1(11 lim2 nn. 1)1(11(22 nn例例13 求求).3191311(limnn 解解原式原式311)31(1lim1 nn.23求求例例141 x时时,)1()1)(1)(1(lim242nxxxxn 解解 原式原式xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x 例例15求求).11()411)(311

9、)(211(lim2222nn 解解 原式原式)11)(11()311)(311)(211)(211(limnnn nnnnn1134322321lim nnn121lim .21 9.杂例杂例例例16 设设)(lim1xfx存在存在,)(lim23)(12xfxxxfx 求求).(xf解解令令)(lim1xfxa 将将)(lim23)(12xfxxxfx 两边求极限两边求极限得得)(lim2lim)3(lim)(lim11211xfxxxfxxxx 即即aa23 故故3 a从而从而.63)(2xxxf 例例17 设设, 31lim21 xbaxxx求求ba,的值的值.解解 因因)1(lim1 xx0 31lim21 xbaxxx所以所以21lim()xxaxb故故01 ba将将ab 1代入原式代入原式11lim21 xaaxxx得得1(1)(1)lim1xxxax 从而从而32 a故故1 a. 2 b21lim()xxaxb又又2a0 1ab时时的的极极限限多多项项式式在在0. 1xx 2.分母极限不为零的分式的极限分母极限不为零的分式的极限3.分母极限为零而分子极限不为零的分式的极限分母极限为零而分子极限不为零的分式的极限4.分母、分子极限全为零的分式的极限分母、分子极限全为零的分式的极限)(. 5 其其中中