第四节数量积向量积

1、第四节第四节 数量积数量积 向量积向量积一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积一、两向量的数量积一、两向量的数量积 cos|sfw 实例实例) (的夹角的夹角与与为为其中其中sf 所所作作的的功功为为表表示示位位移移，则则力力，以以到到点点移移动动的的作作用用下下沿沿直直线线从从点点一一物物体体在在常常力力 21fsmmf为为的的数数量量积积与与两两个个向向量量定定义义 baba cos|baba ab cos|baba ,prcos|bjba ,prcos|ajab ajbbabpr| .pr|bjaa 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.

2、. 结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. .关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| , 0 ba不妨设不妨设, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 证明证明证明证明,2 ,2 数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：; )1(abba ：交换律交换律;)( )2(cbcacba ：分分配配律律),()()( )3(bababa ：为为数

3、数若若).()()( , baba ：为数为数若若证明证明, ),cos(bababa 而而, abba 所以所以. abba ; ),cos( abbaab (1). (1). 由数量积的定义有由数量积的定义有, ),cos(),cos( abba (2)(2). .由数量积的定义有由数量积的定义有 cba)(由投影定理，可知由投影定理，可知 )(prbajc所以所以)pr(pr)(bjajccbacc bjcajcccprpr ba)( )( ba ),cos(baba , ),cos(baba ),cos(baba , ),cos(baba , )(prbajcc , prprbjajc

4、c . cbca 时时，按按定定义义有有因因为为当当 0 ).3( , ),cos()(bababa , ),(),(),(bababa 从而得到从而得到 ),cos(baba ),cos(baba , ),cos(baba ),()()(bababa 即即. 0)()()( bababa 当当 时，也可以类似地加以证明时，也可以类似地加以证明. .0 的方向相同，所以的方向相同，所以与与的方向相同，的方向相同，与与又又bbaa 显然有显然有时时当当, 0 , , kbjbibbkajaiaazyxzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx , 0 ikkjji,|k|

5、j|i |1 .kkjjii1 zzyyxxbabababa 这就是两个向量的数量积的坐标表达式这就是两个向量的数量积的坐标表达式. .因此由分配律得到因此由分配律得到互相垂直，互相垂直，由于由于 kji cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为 作向量作向量 及及 ， 就是向量就是向量 与与 mambamb mamb的夹角的夹角. .这里这里 ma0 , 1 , 1 mb1 , 0

6、, 1 mbma ; 1100111 ; 2011222 ma; 2101222 mb从而从而解解 . )2 , 1 , 2()1 , 2 , 2()1 , 1 , 1( 1 ambbam ，求求角角，已已知知三三点点例例代入两向量夹角余弦的表达式，得代入两向量夹角余弦的表达式，得 )cos(mbmambmaamb 221 由此得由此得.3 amb证明证明cacbbca )()()()(cacbcbca 0 .)()(cacbbca . )()( 2垂直垂直向量向量与与证明向量证明向量例例acbbcac .21 )()(cbcacbca |foqm sin|fop 实例实例二、两向量的向量积二

7、、两向量的向量积lfpqo ff设设 o o为一根杠杆为一根杠杆l l 的支点，有一力的支点，有一力 作用作用于这杠杆上于这杠杆上p p 点处力点处力 与与 opop 的夹角为的夹角为 ， 力力 对支点对支点o o 的力矩是一向量的力矩是一向量 ，它的模，它的模mf 的方向垂直于的方向垂直于opop与与 所决所决定的平面定的平面, , 指向符合右手系指向符合右手系. . mf关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”. . sin|bac , ) (的夹角的夹角与与为为其中其

8、中ba 它它的的模模为为，的的向向量量积积记记为为与与两两个个向向量量定定义义bacba . ，指指向向符符合合右右手手系系又又垂垂直直于于方方向向既既垂垂直直于于的的bac向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：. )1(abba .)( )2(cbcacba ：分配律分配律).()()( )3(bababa ：是数是数若若)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin ,0 或或 )(0sin |ba证明证明下面来推导向量积的坐标表示式下面来推导向量积的坐标表示式. .,0 或或 sin|ba. 0 ,ba.ba,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(ka

9、jaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 这就是向量积的坐标表达式这就是向量积的坐标表达式. . ba向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出按第一行展开就得到按第一行展开就得到kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( bazzyxbaaa 000, 0 yxaa根据向量积的定义，可知根据向量积的定义，可知例如，例

10、如，abbac 两两个个为为零零，不不能能同同时时为为零零，但但允允许许 ,zyxbbb . 平行四边形面积平行四边形面积为邻边的为邻边的和和以以表示表示baba 解解bac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj . 2,423 3 的的单单位位向向量量都都垂垂直直求求与与例例kjibkjia zyxzyxbbbaaakji 三角形三角形abc abc 的面积为的面积为. )7 , 4 , 2( )5 , 4 , 3(, )3 , 2 , 1( 4 的的面面积积，求求和和的的三三个个顶顶点点为为已已知知例例abccbaabc 142)6(42126421222 kjisabc由于由于,2 , 2 , 2 ab,4 , 2 , 1 ackjikjiaca