高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件学案新人教A版选修1109122129

1、高中数学选修精品教学资料1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件学习目标：1.结合具体实例,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明(难点)自 主 预 习·探 新 知1充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系pqpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形

2、式：pq；p是q的充分条件；q的充分条件是p；q是p的必要条件；p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？提示(1)相同,都是pq(2)等价2充要条件(1)一般地,如果既有pq,又有qp,就记作pq.此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件概括地说,如果pq,那么p与q互为充要条件(2)若pq,但qp,则称p是q的充分不必要条件(3)若qp,但pq,则称p是q的必要不充分条件(4)若pq,且qp,则称p是q的既不充分也不必要条件思考2：(1)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题,这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示(1)正确若p

3、是q的充要条件,则pq,即p等价于q.(2)p是q的充要条件说明p是条件,q是结论p的充要条件是q说明q是条件,p是结论基础自测1思考辨析(1)q是p的必要条件时,p是q的充分条件()(2)q不是p的必要条件时,“pd/q”成立()(3)若q是p的必要条件,则q成立,p也成立()答案(1)(2)(3)×2“x>2”是“x23x2>0”成立的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件a由x23x2>0得x>2或x<1,故选a.3下列各题中,p是q的充要条件的是_(填序号)(1)p：b0,q：函数f(x)ax2bxc是偶函数；(

4、2)p：x>0,y>0,q：xy>0；(3)p：a>b,q：ac>bc. 【导学号：97792015】(1)(3)在(1)(3)中,pq,所以(1)(3)中p是q的充要条件,在(2)中,qp,所以(2)中p不是q的充要条件合 作 探 究·攻 重 难充分条件、必要条件、充要条件的判断指出下列各题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)(1)在abc中,p：a>b,q：bc>ac；(2)对于实数x,y,p：xy8,q：x2或y6；(3)p：(a2)(a3)0,q：a3；(

5、4)p：ab,q：1.思路探究判断pq与qp是否成立,当p、q是否定形式,可判断q是p的什么条件解(1)在abc中,显然有a>bbc>ac,所以p是q的充分必要条件(2)因为x2且y6xy8,即qp,但pq,所以p是q的充分不必要条件(3)由(a2)(a3)0可以推出a2或a3,不一定有a3；由a3可以得出(a2)(a3)0.因此,p是q的必要不充分条件(4)由于ab,当b0时,1；当b0时,1,故若ab,不一定有1；当a0,b0,1时,可以推出ab；当a0,b0,1时,可以推出ab.因此p是q的既不充分也不必要条件规律方法充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法(2)等价法：将命

6、题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题(3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况若pq,则p是q的必要条件,q是p的充分条件；若pq,且qp,则p是q的必要不充分条件；若pq,则p与q互为充要条件；若pq,且qp,则p是q的既不充分也不必要条件跟踪训练1(1)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的() 【导学号：97792016】a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件d令a1,b1,满足a>b,但不满足a2>b2,即“a>b”不能推出“a2>b2”；再令a1,b0,满足a2>b2,但不满足a>b,即“a2>

7、;b2”不能推出“a>b”,所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件(2)对于二次函数f(x)ax2bxc(a0),下列结论正确的是()b24ac0是函数f(x)有零点的充要条件；b24ac0是函数f(x)有零点的充分条件；b24ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；b24ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件abc ddb24ac0方程ax2bxc0(a0)有实根f(x)ax2bxc(a0)有零点,故正确若b24ac0,则方程ax2bxc0(a0)有实根,因此函数f(x)ax2bxc(a0)有零点,故正确函数f(x)ax2bxc(a0)有零点时,

8、方程ax2bxc0(a0)有实根,未必有b24ac>0,也可能有0,故错误b24ac<0方程ax2bxc0(a0)无实根函数f(x)ax2bxc(a0)无零点,故正确充要条件的探求与证明(1)“x24x<0”的一个充分不必要条件为()a0<x<4b0<x<2cx>0 dx<4(2)已知x,y都是非零实数,且x>y,求证：<的充要条件是xy>0.思路探究(1)先解不等式x24x<0得到充要条件,则充分不必要条件应是不等式x24x<0的解集的子集(2)充要条件的证明可用其定义,即条件结论且结论条件如果每一步的推出都

9、是等价的(),也可以把两个方面的证明合并在一起,用“”写出证明解析(1)由x24x<0得0<x<4,则充分不必要条件是集合x|0<x<4的子集,故选b.答案 b(2)法一：充分性：由xy>0及x>y,得>,即<.必要性：由<,得<0,即<0.因为x>y,所以yx<0,所以xy>0.所以<的充要条件是xy>0.法二：<<0<0.由条件x>yyx<0,故由<0xy>0.所以<xy>0,即<的充要条件是xy>0.规律方法1.探求充要条

10、件一般有两种方法：(1)探求a成立的充要条件时,先将a视为条件,并由a推导结论(设为b),再证明b是a的充分条件,这样就能说明a成立的充要条件是b,即从充分性和必要性两方面说明(2)将原命题进行等价变形或转换,直至获得其成立的充要条件,探求的过程同时也是证明的过程,因为探求过程每一步都是等价的,所以不需要将充分性和必要性分开来说明2充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件,既要证明命题“pq”为真,又要证明“qp”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性(2)证明充要条件,即说明原命题和逆命题都成立,要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异,分清哪个是条件,哪个是结

11、论跟踪训练2(1)不等式x(x2)<0成立的一个必要不充分条件是() 【导学号：97792017】ax(0,2)bx1,)cx(0,1) dx(1,3)b由x(x2)<0得0<x<2,因为(0,2)1,),所以“x1,)”是“不等式x(x2)<0成立”的一个必要不充分条件(2)求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0.证明假设p：方程ax2bxc0有一个根是1,q：abc0.证明pq,即证明必要性x1是方程ax2bxc0的根,a·12b·1c0,即abc0.证明qp,即证明充分性由abc0,得cab.ax2bxc0,ax

12、2bxab0,即a(x21)b(x1)0.故(x1)(axab)0.x1是方程的一个根故方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0.充分条件、必要条件、充要条件的应用探究问题1记集合ax|p(x),bx|q(x),若p是q的充分不必要条件,则集合a、b的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？提示：若p是q的充分不必要条件,则ab,若p是q的必要不充分条件,ba.2记集合mx|p(x),nx|q(x),若mn,则p是q的什么条件？若nm,mn呢？提示：若mn,则p是q的充分条件,若nm,则p是q的必要条件,若mn,则p是q的充要条件已知p：x28x200,q：x22x1m20(m>

13、;0),且p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为_思路探究 解析由x28x200,得2x10,由x22x1m20(m>0),得1mx1m(m>0)因为p是q的充分不必要条件,所以pq且qp.即x|2x10是x|1mx1m,m>0的真子集,所以或解得m9.所以实数m的取值范围为m|m9答案m|m9(或9,)母题探究：1.本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”,其他条件不变,试求m的取值范围解由x28x200得2x10,由x22x1m20(m>0)得1mx1m(m>0)因为p是q的必要不充分条件,所以qp,且pq.则x|1mx1m,m&g

14、t;0x|2x10所以,解得0<m3.即m的取值范围是(0,32若本例题改为：已知px|a4<x<a4,qx|1<x<3,“xp”是“xq”的必要条件,求实数a的取值范围解因为“xp”是xq的必要条件,所以qp.所以解得1a5即a的取值范围是1,5规律方法利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围(1)化简p、q两命题,(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系,(3)利用集合间的关系建立不等关系,(4)求解参数范围当 堂 达 标·固 双 基1“|x|y|”是“xy”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分

15、也不必要条件b若x1,y1,则|x|y|,但xy；若xy,则|x|y|,故选b.2“x24x50”是“x5”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件b由x24x50得x5或x1,则当x5时,x24x50成立,但x24x50时,x5不一定成立,故选b.3下列条件中,是x2<4的必要不充分条件是()a2x2 b2<x<0c0<x2 d1<x<3a由x2<4得2<x<2,必要不充分条件的x的范围真包含x|2<x<2,故选a.4若“xm”是“(x1)(x2)0”的充分不必要条件,则m的取值范围是_. 【导学号：97792018】(,1由(x1)(x2)0可得x2或x1,由已知条件,知x|xmx|x2或x1,m1.5求证：关于x的方程x2mx1