高中数学选修11人教版 练习：3.3 导数在研究函数中的应用 第三课时.3 Word版含答案

1、高中数学选修精品教学资料第三章 3.3 3.3.3a级基础巩固一、选择题1函数y2x33x212x5在2,1上的最大值、最小值分别是(a)a12；8b1；8c12；15d5；16解析y6x26x12,由y0x1或x2(舍去)x2时y1,x1时y12,x1时y8.ymax12,ymin8.故选a2函数f(x)x33x(|x|<1)(d)a有最大值,但无最小值b有最大值,也有最小值c无最大值,但有最小值d既无最大值,也无最小值解析f (x)3x233(x1)(x1),x(1,1),f (x)<0,即函数在(1,1)上是单调递减的,既无最大值,也无最小值3函数f(x)3xx3(x3)的最

2、大值为(b)a18b2 c0 d18解析f (x)33x2,令f (x)0,得x±1,x<1时,f (x)<0,1<x<1时,f (x)>0,1<x3时,f (x)<0,故函数在x1处取极小值,在x1处取极大值f(1)2,f(1)2,又f()0,f(3)18,f(x)max2,f(x)min18.4若函数f(x)x33xa在区间0,3上的最大值、最小值分别为m、n,则mn的值为(d)a2b4c18d20解析f(x)3x233(x1)(x1),令f(x)0,得x11,x21.f(0)a, f(1)2a, f(3)18a,f(x)max18a,f

3、(x)min2a,18a(2a)20.5下列说法正确的是(d)a函数的极大值就是函数的最大值b函数的极小值就是函数的最小值c函数的最值一定是极值d在闭区间上的连续函数一定存在最值解析根据最大值、最小值的概念可知选项d正确6函数f(x)ln xx在区间0,e上的最大值为(a)a1b1eced0解析f(x)1,令f(x)>0,得0<x<1,令f(x)<0,得1<x<e,f(x)在(0,1)上递增,在(1,e)上递减,当x1时,f(x)取极大值,这个极大值也是最大值f(x)maxf(1)1.二、填空题7当x1,1时,函数f(x)的值域是_0,e_.解析f(x),令

4、f(x)0得x10,x22.f(1)e, f(0)0, f(1),f(x)maxe, f(x)min0,故函数f(x)的值域为0,e8若函数f(x)3xx3a,x3的最小值为8,则a的值是_26_.解析f (x)33x2,令f (x)0,得x±1.f(1)2a,f(1)2a.又f()a,f(3)18a.f(x)min18a.由18a8.得a26.三、解答题9(2016·福建宁德市高二检测)已知函数f(x)x32ax23ax在x1时取得极值.(1)求a的值；(2)若关于x的不等式f(x)k0在区间0,4上恒成立,求实数k的取值范围解析(1)f(x)3x24ax3a,由题意得f

5、(1)34a3a0,a3.经检验可知,当a3时f(x)在x1时取得极值(2)由(1)知, f(x)x36x29x,f(x)k0在区间0,4上恒成立,kf(x)max即可f(x)3x212x93(x24x3)3(x1)(x3),令f(x)>0,得3<x<4或0<x<1,令f(x)<0,得1<x<3.f(x)在(0,1)上递增,(1,3)上递减,(3,4)上递增,当x1时, f(x)取极大值f(1)4,当x3时, f(x)取极小值f(3)0.又f(0)0,f(4)4,f(x)max4,k4.b级素养提升一、选择题1函数f(x)x(1x2)在0,1上的

6、最大值为(a)abcd解析f (x)13x20,得x0,1,f,f(0)f(1)0.f(x)max.2已知函数f(x),g(x)均为a,b上的可导函数,在a,b上图象连续不断且f (x)<g(x),则f(x)g(x)的最大值为(a)af(a)g(a)bf(b)g(b)cf(a)g(b)df(b)g(a)解析令u(x)f(x)g(x),则u(x)f (x)g(x)<0,u(x)在a,b上为单调减少的,u(x)的最大值为u(a)f(a)g(a)3设在区间a,b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,且在区间a,b上存在导数,有下列三个命题：若f(x)在a,b上有最大值,则这个最大值

7、必是a,b上的极大值；若f(x)在a,b上有最小值,则这个最小值必是a,b上的极小值；若f(x)在a,b上有最值,则最值必在xa或xb处取得其中正确的命题个数是(a)a0b1c2d3解析由于函数的最值可能在区间a,b的端点处取得,也可能在区间a,b内取得,而当最值在区间端点处取得时,其最值必不是极值,因此3个命题都是假命题4当x0,5时,函数f(x)3x24xc的值域为(c)af(0),f(5)bf(0),f()cf(),f(5)dc,f(5)解析f (x)6x4,令f (x)0,则x,0<x<时,f (x)<0,x>时,f (x)>0,得f()为极小值,再比较f

8、(0)和f(5)与f()的大小即可5(2016·黑龙江哈三中期末)已知x2是函数f(x)x33ax2的极小值点,那么函数f(x)的极大值为(d)a15b16c17d18解析x2是函数f(x)x33ax2的极小值点,即x2是f(x)3x23a0的根,将x2代入得a4,所以函数解析式为f(x)x312x2,则由3x2120,得x±2,故函数在(2,2)上是减函数,在(,2),(2,)上是增函数,由此可知当x2时函数f(x)取得极大值f(2)18.故选d二、填空题6函数f(x)2x33x212x5在0,3上的最大值和最小值的和是_10_.解析f (x)6x26x12,令f (x)

9、0,解得x1或x2.但x0,3,x1舍去,x2.当x变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2,3)3f (x)12024f(x)5154由上表,知f(x)max5,f(x)min15,所以f(x)maxf(x)min10.7函数f(x)ax44ax3b(a>0),x1,4,f(x)的最大值为3,最小值为6,则ab.解析f (x)4ax312ax2.令f (x)0,得x0(舍去),或x3.1<x<3时,f (x)<0,3<x<4时,f (x)>0,故x3为极小值点f(3)b27a,f(1)b3a,f(4)b,f(x)的最小值为f

10、(3)b27a,最大值为f(4)b.解得ab.三、解答题8(2017·全国文,21)设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时,f(x)ax1,求a的取值范围解析(1)解：f(x)(12xx2)ex.令f(x)0得x1或x1.当x(,1)时,f(x)<0；当x(1,1)时,f(x)>0；当x(1,)时,f(x)<0.所以f(x) 在(,1),(1,)单调递减,在(1,1)单调递增(2)解：f(x)(1x)(1x)ex.当a1时,设函数h(x)(1x)ex,则h(x)xex<0(x>0),因此h(x)在0,)单调递减而h(0)

11、1,故h(x)1所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.当0<a<1时,设函数g(x)exx1,则g(x)ex1>0(x>0),所以g(x)在0,)单调递增而g(0)0,故exx1.当0<x<1时,f(x)>(1x)(1x)2,(1x)(1x)2ax1x(1axx2),取x0,则x0(0,1),(1x0)(1x0)2ax010,故f(x0)>ax01.当a0时,取x0,则x0(0,1),f(x0)>(1x0)(1x0)21ax01.综上,a的取值范围是1,)c级能力提高1已知f(x)x36x29xabc,a<b<c,且f(a)f

12、(b)f(c)0.现给出如下结论：f(0)f(1)>0；f(0)f(1)<0；f(0)f(3)>0；f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是_.解析f(x)3x212x93(x1)(x3),由f(x)<0,得1<x<3,由f(x)>0,得x<1或x>3,f(x)在区间(1,3)上是减函数,在区间(,1),(3,)上是增函数又a<b<c,f(a)f(b)f(c)0,y最大值f(1)4abc>0,y最小值f(3)abc<0.0<abc<4,a,b,c都大于零,或者a<0,b<0,c>

13、0.又x1,x3为函数f(x)的极值点,后一种情况不可能成立,如图f(0)<0.f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0.正确结论的序号是.2(2017·山东文,20)已知函数f(x)x3ax2,ar.(1)当a2时,求曲线yf(x)在点(3,f(3)处的切线方程；(2)设函数g(x)f(x)(xa)cos xsin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值解析(1)由题意f(x)x2ax,所以当a2时,f(3)0,f(x)x22x,所以f(3)3,因此曲线yf(x)在点(3,f(3)处的切线方程是y3(x3),即3xy90.(2)因为g(x)f(

14、x)(xa)cos xsin x,所以g(x)f(x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)令h(x)xsin x,则h(x)1cos x0,所以h(x)在r上单调递增因为h(0)0,所以当x>0时,h(x)>0；当x<0时,h(x)<0.当a<0时,g(x)(xa)(xsin x),当x(,a)时,xa<0,g(x)>0,g(x)单调递增；当x(a,0)时,xa>0,g(x)<0,g(x)单调递减；当x(0,)时,xa>0,g(x)>0,g(x)单调递增所以当xa时,g(x)取到极大值,极大值是g(a)a3sin a；当x0时,g(x)取到极小值,极小值是g(0)a.当a0时,g(x)x(xsin x),当x(,)时,g(x)0,g(x)单调递增；所以g(x)在(,)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值当a>0时,g(x)(xa)(xsin x),当x(,0)时,xa<0,g(x)>0,g(x)单调递增；当x(0,a)时,xa<0,g(x)<0,g(x)单调递减；当x(a,)时,xa>0,g(x)>0,g(x)单调递增所以当x0时,g(x)取到极大值,极大