第四节幂级数

1、第四节第四节 幂级数幂级数一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念1.1.定义定义: :设设),(,),(),(21xuxuxun是是定定义义在在ri 上上的的函函数数, ,则则 )()()()(211xuxuxuxunnn称称为为定定义义在在区区间间i上上的的( (函函数数项项) )无无穷穷级级数数. .,120 nnnxxxx例如级数例如级数2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: :如果如果ix 0, ,数项级数数项级数 10)(nnxu收敛收敛, ,则则称称0 x为为级级数数)(1xunn 的的收收敛敛点点, ,否否则则称称为为发发散散点点. .所有发散点的全体称为所有发散点的全

2、体称为发散域发散域. .函函数数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域, ,)()(limxsxsnn 函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项)()()(xsxsxrnn (x在收敛域上在收敛域上)0)(lim xrnn注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数: : )()()()(21xuxuxuxsn(定义域是定义域是?),(xsn例例 1 1 求求级级数数nnnxn)11()1(1 的的收收敛敛域域.解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法)(

3、)(lim1xuxunnn xnnn 111limx 11, 111)1( x当当,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛., 11 x, 111)2( x当当, 11 x,02时时即即 x原级数发散原级数发散.,0时时当当 x 1)1(nnn级数级数收敛收敛;,2时时当当 x 11nn级数级数发散发散;)., 0)2,( 故级数的收敛域为故级数的收敛域为, 1|1|)3( x当当, 20 xx或或二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义: :形形如如nnnxxa)(00 的的级级数数称称为为幂幂级级数数. .,000nnnxax 时时当当其其中中na为为幂幂级级数

4、数系系数数.2.2.收敛性收敛性: :,120 nnnxxxx例如级数例如级数;,1收敛收敛时时当当 x;,1发散发散时时当当 x);1 , 1( 收敛域收敛域);, 11,( 发散域发散域定定理理 1 1 ( (a ab be el l 定定理理) )证明证明, 0lim0 nnnxa,)1(00收敛收敛 nnnxa), 2 , 1 , 0(0 nmxann使使得得, 0 mnnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxm0 ,1,00时时即即当当 xxxx,00收收敛敛等等比比级级数数nnxxm ,0收收敛敛 nnnxa;0绝绝对对收收敛敛即即级级数数 nnnxa,)2(0时时发

5、发散散假假设设当当xx 而而有有一一点点1x适适合合01xx 使使级级数数收收敛敛, ,则则级级数数当当0 xx 时时应应收收敛敛,这与所设矛盾这与所设矛盾.由由(1)结论结论xo r r几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数r存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: :当当rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当rxrx 与与时时,

6、,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. .推论推论定义定义: : 正数正数r称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域可能是幂级数的收敛域可能是, 0 r),rr ,(rr .,rr 规定规定, r问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?),(rr (1) 幂幂级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,( (2 2) ) 幂幂级级数数对对一一切切x都都收收敛敛, ,定定理理 2 2 如如果果幂幂级级数数 0nnnxa的的所所有有系系数数0 na,设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 则则当当0 时时, 1r;(3) 当当 时时,0 r.(

7、2) 当当0 时时, r;证明证明应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法对对级级数数 0nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x 则则如如果果,0)1( ,1|时时当当 x,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa,1|时时当当 x.0 nnnxa发发散散从从而而级级数数;1 r收敛半径收敛半径, 1lim11 xxaxannnnn 1lim11 xxaxannnnn , 0)2( 如果如果, 0 x,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa; r收敛半径收敛半径,)3( 如果如果, 0 x

8、.0 nnnxa必必发发散散级级数数. 0 r收敛半径收敛半径定理证毕定理证毕.nnnnnxaxa11lim , 0nnnnnxaxa11lim ,例例2 2 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域:解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 r,1时时当当 x,1时时当当 x,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn nnna limnn lim, , r级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,nnnaa1lim 11li

9、m nn, 0 , 0 r;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnxnnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 r,)1 , 0(,2121级级数数收收敛敛时时即即当当 xx.)21(2)1()4(1nnnnxn ,0时时当当 x,11 nn级数为级数为,1时时当当 x,)1(1 nnn级数为级数为发散发散收敛收敛故收敛域为故收敛域为(0,1.解解 3523222xxx级数为级数为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 级数收敛级数收敛, 1212 x当当,2时时即即 x, 121

10、2 x当当,2时时即即 x级数发散级数发散,2时时当当 x,211 n级数为级数为,2时时当当 x,211 n级数为级数为级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛域为原级数的收敛域为).2, 2( 三、幂级数的运算三、幂级数的运算)()(00 nnnnnnxbxa,0 nnnxc rrx, 1.1.代数运算性质代数运算性质: :(1) 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minrrr )nnnbac rrx, ,2100rrxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 (2) 乘法乘法(其中其中)0110bababacnnnn (3)

11、 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收敛域内收敛域内(相除后的收敛区间可能比原相除后的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多来两级数的收敛区间小得多)2.2.和函数的运算性质和函数的运算性质: : xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变) 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)解解,)1()(11 nnnnxxs设和函数设和函数两边积分得两边积分得)1ln()(0 xdttsx 11)()( nnxxs则则,11x 11 x易

12、求得所给幂级数的收敛域为易求得所给幂级数的收敛域为.1 , 1( ,1时时又又 x,1)1(11收敛收敛 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs ),1ln()0()(xsxs 即即0)0( s而而.)1ln(在在该该处处连连续续且且x 111)1(nnn.2ln？思考思考:例例 5 5 求求幂幂级级数数 0)12(nnxn的的和和函函数数. 解解 0)12()(nnxnxs 002nnnnxnx 0112nnnnxnxxxxxx 11121| x 012nnnnxxxxxx 11)1(221|.)1(12 xxx思考思考: 1212nnn？.6例例 6

13、6 求求 12)1(nnnn的的和和. 解解,)1(1nnxnn 考虑幂级数考虑幂级数其收敛域其收敛域 为为 , 1)1()(nnxnnxs则则)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx 12)1(nnnn故故)21( s . 8 )1 , 1( 四、小结四、小结2.幂级数的收敛性幂级数的收敛性:收敛半径收敛半径r3.幂级数的运算幂级数的运算:运算性质运算性质1.函数项级数的概念函数项级数的概念:解解:不一定不一定.例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是)1 , 1

14、(),1 , 1,1 , 1 思考题思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？么它的收敛域是否也不变？补充题补充题1. 求收敛域求收敛域nnnnxnn)23(21 解解nnnxn 13收敛半径收敛半径311 rnnnxn 122收敛半径收敛半径212 r31),min(21 rrr,31时时当当 x原级数成为原级数成为 1) 1(nnnnnnn)32()1(12 收敛收敛收敛收敛收敛收敛 11nn,31时时当当 x原级数成为原级数成为发散发散故故收敛域为收敛域为)31,31 12)32(1nnn发散发散收敛收敛.求和函数求和函数nnxn

15、n 121解解所给幂级数的收敛域为所给幂级数的收敛域为)1 , 1( nnxnn 121 111nnnnxnnx 111nnnnnxxnx)(1 nnxx)1( xxx2)1(xx 1nnnxdxxxnn)(011 xdxx011)1ln(x 故故)1ln()1 (1212xxxxnnnn )11( x3.3.)1)(1(0敛域及和函数敛域及和函数收收求级数求级数 nnxn解解, 1)1)(1(0 rxnnn敛半径为敛半径为的收的收, 111 x收敛域为收敛域为, 20 x即即则有则有设此级数的和函数为设此级数的和函数为),(xs 0)1)(1()(nnxnxs)1(01 nnx)1(11 xx)21( xx.)2(12x 一、一、 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间: :1 1、 )2(424222nxxxn；2 2、 nnxnxx125222222；3 3、 122212n