第二章函数、导数及其应用第二节函数的单调性与最大(小)值

1、第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二节函数的单调性与最大第二节函数的单调性与最大(小小)值值第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用1函数的单调性函数的单调性(1)单调函数的定义单调函数的定义增函数增函数减函数减函数定义定义设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为i，如果对于定义域，如果对于定义域i内某个区间内某个区间d上的任意两个自变量的值上的任意两个自变量的值x1，x2当当x1x2时，都有时，都有_，那么就说函数那么就说函数f(x)在区间在区间d上是上是增函数增函数当当x1x2时，都有时，都有_，那么就说函数那么就说函数f(x)在在区间区间d上是减函数上是减函数f(

2、x1)f(x2)f(x1)f(x2)第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用图象图象描述描述自左向右看图象是自左向右看图象是_自左向右看图象是自左向右看图象是_上升的上升的下降的下降的第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用(2)单调性、单调区间的定义单调性、单调区间的定义若函数若函数f(x)在区间在区间d上是上是_或或_，则称，则称函数函数f(x)在这一区间上具有在这一区间上具有(严格的严格的)单调性，区间单调性，区间d叫做叫做f(x)的的_(3)若函数若函数yf(x)在区间在区间d内可导，当内可导，当_时，时，f(x)在在区间区间d上为增函数；当上为增函数；当_时，时，f(

3、x)在区间在区间d上为减函上为减函数数增函数增函数减函数减函数单调区间单调区间f (x)0f (x)0第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用2函数的最值函数的最值前提前提设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为i，如果存在实数，如果存在实数m满足满足条件条件对于任意的对于任意的xi，都有，都有_；存在存在x0i，使得，使得_对于任意的对于任意的xi，都有都有_；存在存在x0i，使得，使得_结论结论m是是yf(x)的最大值的最大值m是是yf(x)的最小值的最小值f(x)mf(x0)m.f(x

4、)mf(x0)m.第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用1如图如图221所示，函数所示，函数f(x)的图象，则函数的图象，则函数f(x)的单调增区间的单调增区间是是(，0(0，)吗？吗？【提示提示】不是，其单调增区间为不是，其单调增区间为(，0，(0，)2函数的最大函数的最大(小小)值反映在其函数图象上有什么特征？值反映在其函数图象上有什么特征？【提示提示】最大最大(小小)值是函数图象上最高值是函数图象上最高(低低)点的纵坐标，若点的纵坐标，若x0是函数是函数f(x)的最大的最大(小小)值点，反映在图象上点值点，反映在图象上点(x0，f(x0)是函是函数图象的最高数图象的最高(低低)

5、点点第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用函数单调性的判定与证明函数单调性的判定与证明 第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用1(1)函数的单调性只能在定义域内讨论，可以是整个定函数的单调性只能在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个区间义域，也可以是定义域的某个区间(2)如果函数在某个区间如果函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的2(1)函数单调性的判定方法有：函数单调性的判定方法有：定义法；定义法；图象法；图象法；利用已知函数的单调性；利用已

6、知函数的单调性；导数法导数法(2)证明函数的单调性证明函数的单调性的方法有：的方法有：定义法；定义法；导数法导数法. 第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用(2012惠州调研惠州调研)用用mina，b，c表示表示a，b，c三个数中的三个数中的最小值设最小值设f(x)min2x，x2,10 x(x0)，则，则f(x)的最大值的最大值为为()a4b5c6d7【思路点拨思路点拨】首先明确首先明确f(x)的意义，数形结合求分段函数的意义，数形结合求分段函数f(x)的最大值的最大值求函数的最值求函数的最值 第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数

7、及其应用【答案答案】c 第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用1利用单调性是求函数最值的最主要方法，函数图象是利用单调性是求函数最值的最主要方法，函数图象是单调性的最直观体现，函数的最大单调性的最直观体现，函数的最大(小小)值是图象的最高值是图象的最高(低低)点点的纵坐标，本题借助图象的直观性求得最大值的纵坐标，本题借助图象的直观性求得最大值2配方法：若函数是二次函数，常用配方法配方法：若函数是二次函数，常用配方法3基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法次时常用此法4导数法：当函数较复杂时，一般采用此法导数法：当函数较

8、复杂时，一般采用此法 第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用(2011上海高考上海高考)已知函数已知函数f(x)a2xb3x，其中常数，其中常数a，b满足满足ab0.(1)若若ab0，判断函数，判断函数f(x)的单调性；的单调性；(2)若若ab0，求，求f(x1)f(x)时的时的x的取值范围的取值范围【思路点拨思路点拨】(1)讨论讨论a、b的符号，利用指数函数的性质判定的符号，利用指数函数的性质判定f(x)的单的单调性；调性；(2)由由f(x1)f(x)，转化为指数不等式求解，转化为指数不等式求解函数单调性的应用函数单调性的应用 第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章

9、函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用已知函数已知函数f(x)对任意对任意a，br，都有，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且当，并且当x0时，时，f(x)1.(1)求证：求证：f(x)是是r上的增函数；上的增函数；(2)若若f(4)5，解不等式，解不等式f(3m2m2)3.抽象函数的单调性抽象函数的单调性 第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用1本题易犯如下错误：本题易犯如下错误：(1)

10、不会构造不会构造f(x2x1)，不会利用，不会利用f(x2x1)1这个条件；这个条件；(2)不能将不能将“3”代换为代换为f(2)，导致无法由，导致无法由函数的单调性去掉函数的单调性去掉“f”2x1，x2r，f(x)递增，则递增，则f(x1)f(x2)x1x2；这类；这类问题的求解关键在于利用函数的单调性将函数值的大小关系转问题的求解关键在于利用函数的单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系化为自变量的大小关系第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用第二章函数、

11、导数及其应用函数的单调性与最值是高考的重点，主要涉及单调性的函数的单调性与最值是高考的重点，主要涉及单调性的判断，求函数单调区间与最值，函数单调性的简单应用；考查判断，求函数单调区间与最值，函数单调性的简单应用；考查数形结合、转化化归等数学思想，函数的单调性与其它知识交数形结合、转化化归等数学思想，函数的单调性与其它知识交汇渗透，特别是与新情景相结合是命题的亮点，求解时要避免汇渗透，特别是与新情景相结合是命题的亮点，求解时要避免思维僵化，灵活应用性质思维僵化，灵活应用性质第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用易错辨析之三受思维定势消极影响致误易错辨析之三受思维定势消极影响致误第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用错因分析：错因分析：(1)仅考虑函数仅考虑函数f(x)的单调性，忽略定义区间的的单调性，忽略定义区间的限制限制(1x20)(2)作为分段函数，忽视作为分段函数，忽视x取值范围影响对应关系，缺乏分取值范围影响对应关系，缺乏分类讨论的思想意识类讨论的思想意识防范措施：防范措