高中教学课件几种常见函数的导数

1、0()( )yayf xxx并并把把的的极极限限 叫叫做做函函数数在在点点处处的的导导数数1.1.导数的概念导数的概念xxfxxfxyxfyxxxx )()(limlim)(000000000000( ), ), )()();( )yf xa bxa bxxxyyf xxf xyyf xxxxx 函函数数在在区区间间（有有定定义义，（如如果果自自变变量量 在在 处处有有增增量量，那那么么函函数数 相相应应地地有有增增量量比比值值就就叫叫做做函函数数在在 到到之之间间的的平平均均变变化化率率, ,即即：.)()(00 xxfxxfxy 0(),yyxaxx 如如果果当当时时，的的极极限限0( )

2、yf xx我我们们就就说说函函数数在在点点 处处可可导导0 x xy记记为为2 2、函数在一区间上的导数：、函数在一区间上的导数：如果函数如果函数 f f( (x x) )在开区间在开区间 ( (a a, ,b b) ) 内每一点都可导，就说内每一点都可导，就说f f( (x x) )在开区间在开区间 ( (a,ba,b) )内可导这时，对于开区间内可导这时，对于开区间 ( (a,ba,b) )内每一个确定的值内每一个确定的值 x x0 0，都对应，都对应着一个确定的导数着一个确定的导数 f f (x(x0 0) )，这样就在开区间，这样就在开区间( (a,ba,b) )内构成了一个新的函内构

3、成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做数，我们把这一新函数叫做 f f( (x x) ) 在开区间在开区间( (a,ba,b) )内的内的导函数导函数，简称为，简称为导导数数，记作，记作)()(xyyxf需指明自变量时记作或即即00()( )( )limlimxxyf xxf xfxyxx 3.3.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是: :);()()1(xfxxfy 求求函函数数的的增增量量;)()(:)2(xxfxxfxy 的的增增量量的的比比值值求求函函数数的的增增量量与与自自变变量量.lim)()3(0 xyxfyx 求求极极限限，得得导导函函数数说明说明: :在这种方法中在这种方

4、法中把把x x换换x x0 0即为求函数即为求函数在点在点x x0 0处的导数处的导数. . 5.5.函数函数 y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0处的处的导数的几何意义导数的几何意义, ,就是曲线就是曲线y=f(xy=f(x) )在在点点p(xp(x0 0 ,f(x ,f(x0 0)处的切线的斜率处的切线的斜率. .6.6.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1 1）求出函数在点）求出函数在点x x0 0处的变化率处的变化率 ，得到曲线在点，得到曲线在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2 2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根

5、据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 4.4.函数函数f(xf(x) )在点在点x x0 0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=xx=x0 0处的处的函数值函数值, ,即即 . .这也是求函数在点这也是求函数在点x x0 0 处的导数的处的导数的方法之一。方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf 根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. .公式公式1:1: )(0为为常常数数cc 0( ),()( ),0,( )lim.:0 xyyf xcyf xxf xccxyfxcx 证

6、证公式公式2:2:)()(1qnnxxnn 请注意公式中的条件是请注意公式中的条件是 , ,但根据我们所掌握的知识但根据我们所掌握的知识, ,只能只能就就 的情况加以证明的情况加以证明. .这个公式称为幂函数的导数公式这个公式称为幂函数的导数公式. .事实上事实上n n可以是任意实数可以是任意实数. . qn *nn 你能否用二项展开式的性质与导数的定义对其加以证明？你能否用二项展开式的性质与导数的定义对其加以证明？( ),()( )(:)nnnyf xxyf xxf xxxx 证证,)()()()(2221122211nnnnnnnnnnnnnnnnxcxxcxxcxxcxxcxxcx ,)

7、(12211 nnnnnnnxcxxcxcxy.)(limlim)()(11221100 nnnnnnnnxxnnxxcxxcxcxyxxf33 12()3:3;xxx举举例例;222)()1(331222xxxxx ;212121)()(2112121xxxxx .535353)()1(58581535353xxxxx 公式公式2:2:)()(1qnnxxnn 公式公式3:3: xxcos)(sin 要证明这个公式要证明这个公式, ,必须用到一个常用极限必须用到一个常用极限. 1sinlim0 xxx公式公式4: 4: xxsin)(cos 练习：课本练习：课本p115 p115 练习练习1

8、,21,2练习练习: :曲线曲线y=sinxy=sinx在点在点p( )p( )处的切线的倾斜角为处的切线的倾斜角为_._.22,4 22arctan例例1:1:求过曲线求过曲线y=cosxy=cosx上点上点p( )p( )且与过这点的切线垂直的且与过这点的切线垂直的直线方程直线方程. .21,3 33cos ,sin ,|sin.2xyxyx yx 解解：；的的斜斜率率为为点点且且与与切切线线垂垂直直的的直直线线从从而而过过，处处的的切切线线斜斜率率为为故故曲曲线线在在点点3223)21,3(pp . 0233232),3(3221 yxxy即即所所求求的的直直线线方方程程为为注注: :满

9、足条件的直线称满足条件的直线称为曲线在为曲线在p p点的点的法线法线. .例例2:2:已知直线已知直线m m与曲线与曲线 在点在点p(1,1)p(1,1)处的切线平行且距离等处的切线平行且距离等于于 , ,求直线求直线m m的方程的方程. .31xy 10343311,()()3;yyxxxx解解：. 043),1(31, 3|)1 , 1(1 yxxyykpx即即从从而而切切线线方方程程为为处处的的切切线线的的斜斜率率为为曲曲线线在在设直线设直线m m的方程为的方程为3x+y+b=0,3x+y+b=0,由平行线间的距离公式得由平行线间的距离公式得: :;146,10|4|1013| )4(|

10、2 bbbb或或故所求的直线故所求的直线m m的方程为的方程为3x+y+6=03x+y+6=0或或3x+y-14=0.3x+y-14=0.例例3:3:求双曲线求双曲线 与抛物线与抛物线 交点处切线的夹角交点处切线的夹角. .xy1 xy 11,11 .1yxxyyx联联立立方方程程组组解解得得故故交交点点为为（ ， ）解解：; 1)1 , 1(1, 1|,1,11112 kxyykxyxyx处处的的切切线线斜斜率率为为在在交交点点故故双双曲曲线线双双曲曲线线1221211,|,221(1,1);2xyx yxkyyxk抛物线故抛物线在交点处的切线斜率为. 3|21) 1(1211|1|tan:

11、2121 kkkk 由由夹夹角角公公式式. 3arctan 夹夹角角例例4:4:已知两条曲线已知两条曲线y=sinx,y=cosxy=sinx,y=cosx, ,问是否存在这两条曲线问是否存在这两条曲线的一个公共点的一个公共点, ,使在这一点处使在这一点处, ,两条曲线的切线互相垂直两条曲线的切线互相垂直? ?并并说明理由说明理由. .解解: :设存在一个公共点设存在一个公共点p(xp(x0 0,y,y0 0) )满足题设条件满足题设条件. .;cos|,cos)(sin00 xyxxyxx 得得由由;sin|,sin)(cos00 xyxxyxx 得得由由由两条曲线的切线在点由两条曲线的切线

12、在点p p互相垂直互相垂直, ,则则cosxcosx0 0(-sinx(-sinx0 0)=-1,)=-1,得得sinxsinx0 0cosxcosx0 0=1,=1,即即sin2xsin2x0 0=2.=2.这不可能这不可能, ,所以不存在满足题设条件的一个点所以不存在满足题设条件的一个点. .1.1.要切实掌握四种常见函数的导数公式要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1) (c:(1) (c为常为常 数数;(2) ;(3) ;(2) ;(3) ; (4) (4)0 c)()(1rxx xxcos)(sin .sin)(cosxx 2.2.对于简单函数的求导对于简单函数的求导, ,关键是合理

13、转化函数关系式为可以关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式直接应用公式的基本函数的模式. .3.3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综合性问题能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综合性问题. .为常数）为常数） (x)x)(1(1 1)a0,lna(aa)a)(2(xx 且且1)a, 0a(xlna1elogx1)xlog)(3(aa 且且 (7)(cosx)sinx e)e)(4(xx x1(5)(lnx) cosx )sinx)(6( 附录：附录：基本初等函数求导公式基本初等函数求导公式: :例例: :求过点求过点p(3,5)p(3,5)且与曲线且与曲线

14、y=xy=x2 2相切的直线方程相切的直线方程. .说明说明: :曲线上求在点曲线上求在点p p处的切线与求过点处的切线与求过点p p的切线有区别的切线有区别. .在点在点p p处的切线处的切线, ,点点p p必为切点必为切点, ,求过点求过点p p的切线的切线, ,点点p p未必是切点未必是切点. .应注应注意概念的区别意概念的区别, ,其求法也有所不同其求法也有所不同. .解解: :设所求切线的切点在设所求切线的切点在a(xa(x0 0,y,y0 0).).因为因为a a是曲线是曲线y=xy=x2 2上的一点上的一点, ,所以所以,y,y0 0=x=x0 02 2 . .又因为函数又因为函

15、数y=xy=x2 2的导数为的导数为 所以过点所以过点a(xa(x0 0,y,y0 0) )的的切线的斜率为切线的斜率为,2xy .2|2|000 xxyxxxx 由于所求切线过由于所求切线过p(3,5)p(3,5)和和a(xa(x0 0,y,y0 0) )两点两点, ,故其斜率又故其斜率又应为应为 . .352,3500000 xyxxy联立联立, ,解得解得: :.255110000 yxyx或或故切点分别为故切点分别为(1,1)(1,1)或或(5,25).(5,25).当切点为当切点为(1,1)(1,1)时时, ,切线的斜率为切线的斜率为k k1 1=2x=2x0 0=2;=2;当切点为当切点为(5,25)(5,25)时时, ,切线的斜率为切线的斜率为k k2 2=2x=2x0 0=10;=10;所以所求的切线有两条所以所求的切线有两条, ,方程分别为方程分别为:y-1=2(x-1):y-1=2(x-1)或或y-25=10(x-5),y-25=10(x-5),即即y=2x-1y=2x-1或或y=10 x-25.y=10 x-25.练习练习: :若直线若直线y=3x+1y=3x+1是曲线是曲线y=axy=ax3 3的切线的切线, ,试求试求a a的值的值. . 解解: :设直线设直线y=3x+1y=3x+