第二章一元函数微分学及其应用

1、第二节 导数的应用一、微分中值定理一、微分中值定理二、洛必达法则二、洛必达法则三、函数的单调性、极值与最值三、函数的单调性、极值与最值四、曲线的凹凸性、拐点以及函数图形的描四、曲线的凹凸性、拐点以及函数图形的描绘绘五、导数在工程技术中的简单应用五、导数在工程技术中的简单应用一、微分中值定理1. 罗尔定理罗尔定理引理 设f(x)在 处可导,且在 的某邻域内恒有 则有 .0 x0 x),()()()(00 xfxfxfxf或0)(0 xf定义定义 导数等于零的点称为函数的驻点（或稳定点、临界点）. .罗尔定理 设函数 f(x) 满足(1) 在闭区间a,b上连续,. 0)( ),(fba，使则至少存

2、在一点(2) 在开区间(a,b)内可导,(3) f(a)=f(b),注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.罗尔定理几何意义：2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理定理 设函数f(x)满足(1) 在闭区间a,b上连续；(2) 在开区间(a,b)内可导；则至少存在一点 . )()()(),(abafbffba，使 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在a,b上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决.)(x),(x0)( ， )()()(abafbff拉格朗日中值定理的几何意义： 如果在a,b上

3、的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.),(,(f. )( )()()(axabafbfafy弦线的方程为作辅助函数)( )()()()()(axabafbfafxfx即可. 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.)(x3. 柯西中值定理柯西中值定理定理 设函数f(x)与f(x)满足：(1)在闭区间a,b上都连续，(2)在开区间(a,b)内都可导，(3)在开区间(a,b)内，( )0,f x则至少存在一点( )( )( )( , ) .( )( )( )f bf afa bf bf af，

4、使在柯西中值定理中，若取f(x)=x，则得到拉格朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗日中值定理的推广.4. 泰勒公式泰勒公式二、洛必达法则1. 型未定式型未定式00点点可可导导，点点的的导导数数，假假设设在在在在考考察察函函数数aaxf)(axafxfafax )()(lim)(。分分子子分分母母同同时时趋趋向向于于时时，限限当当是是一一个个常常数数值值，上上述述极极0 )(axaf ,tanlim0 xxx)00(型未定式型未定式 ,sinlnsinlnlim0bxaxx)( 00型和型的极限洛必达洛必达 (lhospital,1661-1704).)()(lim)()(lim);

5、()()(lim)3(;0)()()(),()2(;)()(,)1(xfxfxfxfxfxfxfxfxfaaxfxfaxaxaxax 那那末末或或为为无无穷穷大大存存在在都都存存在在且且及及本本身身可可以以除除外外点点点点的的某某领领域域内内在在都都趋趋于于零零及及函函数数时时当当设设定理定理1)00( 定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,该法则仍然成立该法则仍然成立时时当当 x注意：注意： 1) 使用洛必达法则必须验证条件，不是使用洛必达法则必须验证条件，不是 未未 定式不能用罗必塔法则；定式不能用罗必塔法则；2)洛必达法则可以连续应

6、用，必须步步化洛必达法则可以连续应用，必须步步化简（尽可能地化简）、步步验证求未定式简（尽可能地化简）、步步验证求未定式的极限的极限.)()(lim)()(lim);()()(lim)3( ; 0)()()(), ( )2( ;)()(,)1(xfxfxfxfxfxfxfxfxfaaxfxfaxaxaxax 那那末末或或为为无无穷穷大大存存在在都都存存在在且且及及本本身身可可以以除除外外点点点点的的某某领领域域内内在在都都趋趋于于无无穷穷及及函函数数时时当当设设定理定理2)( .,该法则仍然成立该法则仍然成立时时当当 x型型00,1 ,0 ,0 例例1 1解解.lnlim0 xxx 求求)0(

7、 xxx10lnlim 原式原式2011limxxx 解法：解法：将其它类型未定式化为洛必达法则可解将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型决的类型),00()( 1 0）型0)(lim0 xx2. 其它未定式的求法其它未定式的求法例例2 2解解)( 2）型)tan(seclim2xxx xxxcossin1lim2 xxxsincoslim2 0cotlim2 xx )tan(seclim2xxx 求求),00(0030 ,1 ,）型例例3 3解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim

8、0 洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 三、函数的单调性、极值和最值1. 函数的单调性函数的单调性 问题的提出问题的提出xyo)(xfy xyo)(xfy abab0)( xf0)( xfabba若若 在区间（在区间（a,b)上单调上升上单调上升)(xfy 若若 在区间（在区间（a,b)上单调下降上单调下降)(xfy 0)( xf定理定理1（函数单调性判别法）（函数单调性判别法）.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上单单调调减减少少在在，那那末末函函数数内内如如果果在在上上单单调调增增加加；在在，那那末末函函数数内内如如果果在在）（内内

9、可可导导上上连连续续，在在在在设设函函数数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy 例例解解.20sin 上的单调性上的单调性，在在判断函数判断函数xxy . 0cos1 xy, 0 y.函数单调增加函数单调增加1234561234562. 函数的极限函数的极限.)( )(,)()(,;)( )(,)()(, , ,),(,),()(000000000的的一一个个极极小小值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点的的一一个个极极大大值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何

10、点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点内内的的一一个个点点是是内内有有定定义义在在区区间间设设函函数数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.31292)(23 xxxxf函数函数的的极极值值点点。是是函函数数点点和和极极小小值值有有极极大大值值)(2, 1, 1)2(2)1(xfxxff 注注1 1：极值是函数的局部性概念，与最值不同；：极值是函数的局部性概念，与最值不同；注注2：极大值可能小于极小值：极大值

11、可能小于极小值,极小值可能大于极小值可能大于极大值极大值.定理定理2 2（极值存在的必要条件）（极值存在的必要条件）.)()0)(的的驻驻点点做做函函数数叫叫的的实实根根即即方方程程使使导导数数为为零零的的点点xfxf 注注1:.,)(是是极极值值点点但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定点点的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻可可导导函函数数xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x注注2: 设设)(xf在在点点0 x处处具具有有导导数数, ,且且在在0 x处处取取得得极极值值, ,那那末末必必定定0)(0 xf. .定理定理3 3（第一充分条件）（第一充分条

12、件）( (1 1) )如如果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，则则)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值. .( (2 2) )如如果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则则)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值. .( (3 3) )如如果果当当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, , )(xf符符号号相相同同, ,则则)(xf在在0 x处处无无极极值值. .求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求求出出导导数数;0)()()2(的根的根的全部驻点，即方程的全

13、部驻点，即方程求出求出 xfxf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号考察考察xf .)4(值值求求出出各各极极值值点点处处的的函函数数 设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶导数, , 且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末 (1)(1)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在 0 x处取得极大值处取得极大值; ; (2)(2)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在 0 x处取得极小值处取得极小值. . 定理定理4 4（第二充分条件）（第二充分条件）注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点

14、也可能是函数的极值点.3. 函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上上的的最最大大值值与与最最小小值值存存在在为为零零的的点点，则则并并且且至至多多有有有有限限个个导导数数处处可可导导，上上连连续续，除除个个别别点点外外处处在在若若函函数数baxfbaxf 闭区间上连续函数的最值闭区间上连续函数的最值步骤步骤: :1.求驻点：求驻点：3.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)2.求不可导

15、点：求不可导点：mxxxbaxf,),()(21内内的的驻驻点点在在求求出出nxxxbaxf ,),()(21内内的的不不可可导导点点在在求求出出4. 比较（比较（3）中函数值大小）中函数值大小,最大的便是最大最大的便是最大值值,最小的便是最小值最小的便是最小值;四、曲线的凹凸性、拐点以及函数图形的描绘曲线的凹凸性、拐点以及函数图形的描绘1. 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点 定义定义1 设函数设函数y=f(x)在在i上连续上连续,若曲线若曲线y=f(x)位于其上位于其上任意一点的切线的上方任意一点的切线的上方,则称该曲线则称该曲线y=f(x)在在i上是凹的上是凹的;若若函数的曲线位于其上任意

16、一点的切线的下方函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方,则称曲线则称曲线y=f(x)在区间在区间i上是凸的上是凸的. 定理定理 设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续上连续,在区间在区间(a,b)内具内具有一阶和二阶导数有一阶和二阶导数.(1)若在若在(a,b)内内f (x)0,则则f(x)在在a,b上的图形是凹的上的图形是凹的;(2)若在若在(a,b)内内f (x)0,则则f(x)在在a,b上的图形是凸的上的图形是凸的. 定义定义2 连续曲线连续曲线 y = (x)上凹弧与凸弧的分界上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点。点称为这曲线的拐点。定义定义: :.)(,)(一条渐近线一条渐近线

17、的的就称为曲线就称为曲线那么直线那么直线趋向于零趋向于零的距离的距离到某定直线到某定直线如果点如果点移向无穷点时移向无穷点时沿着曲线沿着曲线上的一动点上的一动点当曲线当曲线xfyllppxfy （1 1）铅直渐近线）铅直渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线垂直于垂直于 x.)()(lim)(lim000的一条铅直渐近线的一条铅直渐近线就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 2. 函数图形的描绘函数图形的描绘1）渐近线）渐近线例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :. 3, 2 xx（2 2）水平渐近线）水平渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线平行于平行于 x.

18、)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy（3 3）斜渐近线）斜渐近线.)(),(0)()(lim0)()(lim的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybaxybabaxxfbaxxfxx 斜渐近线求法斜渐近线求法:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy 注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxf

19、x ,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不存在斜渐近线不存在斜渐近线可以断定可以断定xfy 例例1 1.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(:d )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是曲线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 2)1()3)(2(2limxxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 .42是曲线的一条斜渐近线是曲线的一条斜渐近线 xy的两条渐近线如图的两条渐近线如图1)3)(2(2)( xxxxf2）函数图形的描绘）函数图形的描绘一般步骤：一般步骤：(1)确定函数的定义域，并讨论函数奇偶性、周确定函数的定义域，并讨论函数奇偶性、周期性；期性； (2)求出一阶、二阶