第四节高阶导数

1、第四节第四节 高阶导数高阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义二、二、高阶导数求法举例高阶导数求法举例三、由参数方程确定的函数的二阶导数三、由参数方程确定的函数的二阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tfs 设设)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的变化率的变化率对时间对时间是速度是速度加速度加速度tva. )()()( tftvta定义定义.)() )(,)()(lim) )(,)()(0处的二阶导数处的二阶导数在点在点为函数为函数则称则称存在存在即即处可导处可导在点在点的导数的导数如果函数如果函数xxfxfxxf

2、xxfxfxxfxfx 记作记作.d)(ddd,),(2222xxfxyyxf或或 记作记作阶导数阶导数的的称为函数称为函数阶导数的导数阶导数的导数的的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .d)(ddd, )()()(nnnnnnxxfxyyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称为一阶导数称为一阶导数称为零阶导数称为零阶导数相应地相应地xfxf .dd, )(33xyyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.dd, )(44)4()4(xyyxf二、高

3、阶导数求法举例二、高阶导数求法举例例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例例2 2;)1:)(baxyynn 阶阶导导数数求求以以下下函函数数的的;)1(;)2 xyxy ;)3xxeyay ;)(sin;sin)4为常数为常数kkxyxy . )1ln()5xy 注意注意求求 n 阶导数时阶导数时,求出

4、求出 13 或或 4 阶后阶后, 分析结果的规分析结果的规律性律性, 即可写出即可写出 n 阶导数阶导数.(数学归纳法证明数学归纳法证明)例例2 2.)1阶导数阶导数的的求求nbaxy 解解,ay )( ay,0 . )2(0)( nyn例例2 2., )()2)(nyrxy求求设设 解解,1 xy)(1 xy,)1(2 x,)2)(1(3 x 2)1( xy.)1()1()1()( nxnynn 则则为自然数为自然数若若,)1(n )()()(nnnxy , !n )()()(mnmxy . 0 特别地特别地)(nm ,1)2(时时当当 )(1)()(1nnxx .!)1(1 nnxn例例2

5、 2.,)3)(nxyey求求设设 解解,xey ,xey ,xey 同理可得同理可得xnxneey )()()()10()(ln)()( aaaaanxnx且且例例2 2.,sin)4)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn同理可得同理可得)2cos()(cos)( nxxn例例2 2.),1ln()5)(nyxy求求设设 解解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn)1

6、! 0, 1()!1()1()(ln1)( nxnxnnn常用高阶导数公式常用高阶导数公式,)1()1()()4()(nnxnx .)!1()1()(ln)6(1)(nnnxnx , )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn, )2cos()(cos)3()( nkxkkxnn, )10(ln)()1()( aaaaanxnx且且,)()(xnxee ,!)1(1)5(1)( nnnxnx.1)(ln)6()1()( nnxx例例3 3.),(sin)(naxybabxey求求为常数为常数设设 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arct

7、an()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn )arctan(ab 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:则则阶导数阶导数具有具有和和设函数设函数,)()(nxvxu,)()1()()()(nnnvuvu .)()2()()(nnucuc 2.2.间接法求间接法求高阶导数高阶导数则则阶导数阶导数具有具有和和设函数设函数,)()(nxvxu,)()1()()()(nnnvuvu .)()2()()(nnucuc 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:间接法：

8、利用已知的高阶导数公式间接法：利用已知的高阶导数公式 , 通过四则运算通过四则运算 , 变量代换等方法变量代换等方法, 求出函数的求出函数的 n 阶导数阶导数 .例例1 1.,1)5(22yaxy求求设设 解解)11(21122axaxaaxy 66)5()(! 5)(! 521axaxay 66)(1)(160axaxa例例2 2.,231)(2nyxxy求求设设 解解21112312 xxxxy)()()(2111nnnxxy 11)2(!)1()1(!)1( nnnnxnxn 11)2(1)1(1!)1(nnnxxn例例2 2( )21,.21nyyxx设求解解21112213121yx

9、xxx ( )11111( 1)!3(1)(1/ 2)nnnnynxx 111311/ 2xx 111( 1)!11=3(1)(1/ 2)nnnnxx例例3 3., )0()(nybcaddcxbaxy求求设设 . )2(0,0)( nydaycn时时cdxcadbccayc 1,02时时)(2)(1ncdnxcadbcy .)(!)1(12 ncdnxncadbc例例4 4.,cossin)(66nyxxy求求设设 解解3232)(cos)(sinxxy xxxx4224coscossinsin xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 83)( nyn4 ,4c

10、os8385x . )24cos( nx., )(cos)(sin22yxfxfy 求求设设例例5 522(sin)(cos) sin2 ,yfxfxx22222(sin)(cos) sin 2 (sin)(cos)2cos2 .yfxfxxfxfxx高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvucuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式则则阶导数阶导数具有具有和和设函数设函数,)()(nxvxu例例6 6.,)20(22yexyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则

11、由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex., )6ln(7)(2nyxxy求求例例 ).3ln()2ln()3)(2ln( xxxxy提提示示.,sin8)(2nyxxy求求例例 .,sin2vuyxvxu 令令提示提示.,31239)(2nyxxxy求求例例 .,123,312vuyxxvxu 令令提示提示.,)(, )ln(13yufxxfy 求求可导可导例例. )(, |3)(223

12、xfxxxxf 求求例例例例3 设设 连续，连续，且且求求 .)(xg )()()(2xgaxxf )(af 补充题补充题例例设设 连续，且连续，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af ,)(可导可导xg)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求)(af )(af axafxfax )()(lim0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 解解例例解解.sincos33表表示示的的函函数数的的二二阶阶导导数数求求由由方方程程 taytaxtxtyxydddddd )sin(co

13、s3cossin322ttatta ttan xyxxydddddd22)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 三、由参数方程确定的函数的三、由参数方程确定的函数的 二阶导数二阶导数,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx 22ddxy求求xydd .)()(dddddddd22ttgxttyxyxy 即即 )()()(ttytx )(tg xyx dddd22ddxy例例1 1解解.sincos33表表示示的的函函数数的的二二阶阶导导数数求求由由方方程程 taytaxtxtyxydddddd )sin(cos3cossin322ttat

14、ta ttan xyxxydddddd22)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 ,)()(三阶可导三阶可导若函数若函数 tytx 33ddxy求求 )()()(ttgytx )(th .)()(dddddddd33tthxttyxyxy 即即xydd 例例2 2.ddarctan)1ln(222xyttytx二阶导数二阶导数表示的函数的表示的函数的求由方程求由方程 解解ddyx2212111ttt ,2t xyxxydddddd22)1ln()2(2 tt21221tt .412tt 隐函数的二阶导数隐函数的二阶导数例例1 1.122arcta

15、nyyxexy 确定的函数的二阶导数确定的函数的二阶导数求由求由求解隐函数方程确定函数的高阶导数时求解隐函数方程确定函数的高阶导数时（1）始终弄清）始终弄清 y 及及 y 等是等是 x 的函数。的函数。（2）尽可能简化表达式。）尽可能简化表达式。223y2(y ),()xxyyxyxy 例例2 2.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求求导导得得方方程程两两边边对对 x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1,

16、0 yx代入代入.16110 yxy三、小结三、小结1、高阶导数的定义及物理意义、高阶导数的定义及物理意义 ;2、高阶导数的运算法则、高阶导数的运算法则 (莱布尼兹公式莱布尼兹公式) ;3、n 阶导数的求法：阶导数的求法：1) 直接法直接法; 2) 间接法间接法.4、参数方程确定函数的高阶导数、参数方程确定函数的高阶导数思考与练习思考与练习xy 1211)()1(!)1(2 nnnxnyxxxy 11123,)1(!1)( nxnynn1. 如何求下列函数的如何求下列函数的 n 阶导数阶导数?xxy 11)1(xxy 1)2(3解解: 解解: 1)( ! nxfn2. 填空题填空题2 n )(

17、)(xfn,)()(2xfxf 则当则当 时时,(1) 已知已知 f (x) 任意阶可导任意阶可导, 且且(2) 设设 求使求使 存在的存在的,3)(23xxxxf )0()(nf最高阶数最高阶数._ n2分析分析: : )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在不存在 .又又0 x,24x0 x,12x解解: y yxxfxcos)(sin2)(sin2xfx2)(sin

18、xf2x)(sin xf xcos)cos)(sin() )(sin2(2xxfxxfx)sin)(sin2xxfxx2)(sin xf xcosxxfx22cos)(sin )(sin)sincos4()(sin22xfxxxxxf)(sincos22xfxx 3. 设设 , 求求 其中其中 f 二阶可导二阶可导. )(sin2xfxy ,y 4. 试从 yyx1dd导出.)(dd322yyyx 解：解：yxyyxdddddd22 y1xddyxdd2)(yy y13)(yy 同样可求33ddyx一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设tetysin 则则y =_.=_.2 2、 设设xytan , ,则则y = =_._.3 3、 设设xxyarctan)1(2 ，则，则y = =_._.4 4、 设设2xxey , ,则则y = =_._.5 5、 设设)(2xfy , ,)(xf 存在，则存在，则y = =_. .6 6、 设设6)10()( xxf, ,则则)2(f =_.=_.7 7、 设设nnnnnaxaxaxax 12211 ( (naaa,21都是常数都是常数) )，则，则)(ny= =_. .8 8、设、设)()2)(1()(nxxxxxf , , 则则)()1(xfn = =_._.练练 习习 题题二、二