连续梁按弹性理论五跨梁内力系数及弯矩分配法

1、附表25 :等截面等跨连续梁在常用荷载作用下按弹性分析的内力系数（五跨 梁）。五普梁荷收图符内最大既知支隙考矩剪力mimtmimbmdmevan相 vivj>vbvk nvftwwm0.0780.0330.046一0. 105一。, 079-0.0790.1050.394一0. 6060. 526-0. 4740. 500-0. 5000. 474-0. 5260. 606-0. 3940. 1000.085一 0. 053-0.040一0. 040一 0.0530.447-0. 553 0.0130. 0130. 500一0. sco-0.013-0.0130.553-0. 447hi

2、zbiiii；? ifffi 重4 md d d 1% m0.0790.053-0. 040-0. 040-0.053-0. 053-0.0530.513一0. 487 000. 487一 0. 5130.0530.053：u1m 4 4 4 40.0730,q59 0.078-0.1190. 022一0. 044-0.0510. 380-0. 6200. 598-0. 402一0. 023-0. 023 0.493一 0. 5070. 0520.052：!：4 4 z0.0980.0550.064-0. 035-0.1110.020一 0. 0570.0350.0350.4240. 5760

3、. 591-0. 409-d. 037-0.0370. 557-0. 443 4 4m2、44小 zi0.094-0. 0670.018-0.0050. 0010.4330. 5670. 0850. 0850.0230. 0230.0060. 006-a ooi0. 001丈r八、x a a0.074一 0.049-0. 0540. 014-0. 0040.019-0. 0490. 495-0. 5050.0680. 068-0.0180.0180.0040.0044 d a & 4 4一0.0720.0130.0530. 0530. 0130.0130. 0130.066-0.066

4、0. 500-0. 5000.0660.066-0.0130.013续衣荷微图箓内出大奔中支座穹矩_努刀mimt二mnmrmf)meva吗nvb丹vf1 0. 0530. 0260.034-0.0660.0490. 049-0. 0660. 184-0.3160. 266-0, 2340. 2s0-0. 2s00. 2s40. 2660.3160.184a*0.0670.059一0. 033一 0.025一0. 0250. 0330.2170. 283-0. 0080. 0080.250-0. 250-0.008一0. 0080. 2830.217-0.055-0. 033-0.025一0.

5、025-0.0330. 033一0. 0330. 258一0. 242 00 0.242-0. 258 0.0330. 033qa 2、0. 049o.(m1 0.053一0. 075-0.014-0. 028-0.0320.1750. 3250.311-0.1890.014-0.014 1 0. 246-0.2550.0320. 032zsw二 0.0660. 0390.0440.022-0.070-0.013一 0. 036-0.022-0. 0220. 202-0. 2980. 307-0. 193-0. 0z3i - 0. 0230. 286,-0.2u云 a :0.0630. 042

6、o. on一 0. 0030. 0010. 208一0. 2920.0530.053-0.014一0. 0140.0040.004-0. 001-0. 0010.051-0.031一0. 0340. 009一 0. 002-0.031一 0. 0310. 247一 0. 2530. 0430.043-0.011-0.0110. 0020. 002k4 4 a aaak一艘取0.0500. 008-0. 033-0. 0330. 0080. 0080. 008-0. 041一0. 0410. 250-0. 25c0. 0410. 041- 0.001-0.008d 4 4 4、4 4p p p

7、p p 4 4 4 公0.171a 1120.132一0. 158-0.118-0. 118-0. 1580. 342-0. 65b 0.540-0.4600. 500-0.500 0.460-0. 5400. 658-0. 342f j j a a a a 么0.2110.191-0.079-0. 059一0. 059-0.0790. 421-0. 5790. 0200.0200.5000.500一 0. 020-0.020 0.579-0. 421f1 4 ap( a a0.181一 0.079-0. 059一0. 059-0.079-0.079-0. 0790. 520-0.480 00

8、 0.480-0.520 0.0790.079p pf/1，/ a公a4 40.160qo41 0.178-0.179-0. 032-0. 066一0. 0770. 321-0. 6790.647-0.353一 0.034-0. 0340.489一 0. 511 0.0770.077r pp 4 d 4 4 a忙 0. 2070.1400.151一0. 052-0.167-0.031-0.046- 0. 0s2- 0.0520.385-0.6150. 637一0. 363-0. 056一 0.0560. 586-0. 414p 4 4 4 4 40. 200一 q 1000.027一 0. 0

9、070.0020.400-0.6000.1270.127一0. 031-0. 0340.0090. 009-0.002-0.002p_1 4 4 4 4 d0. 173一 0. 073一0. 0810.022-0.005一 0. 073-0.0730.493一 0. 5070.1020.102-0.027一 0. 027 0.0050.005p.一 d 4 4 40.1710. 020一0. 079一 0. 0790.0200.0200. 020一0. 099-0. 0990. 500-0. 5000. 0990.099-0.02c-0.020 续表简g图的内屐大弯矩支座后矩效力mmim,ma

10、llmdmevavlvbvb吸 n-vf1pp pf pp pph jia & 4 d d a1 0.240a ioo0. 122 0. 281 一1-0.2110. 211-0. 2810. 7191.281 i1.070-0.9301.000-1.0000.9301.0701.2817 719尸产pppp"q q a a| 0.2870.228-0. ho-0. 105一0. 105一 0. 1400. 860-1.1400. 0350. 0351.0001.000-0.035-0.0351. uo-0. 860rp ppa a a a a a '0.216-0.

11、 140-0.1050.105一6 140-0. 140-0.1401.035 '-0. 965 °0.0000.9657. 035 10. 1400. )40pp pp ppza 4 4 a '0.227刎189'-1-0.319-0.057-0.1180. 1370.68】 一 -0. 3191.2620. 738 一 0. 0611-0.061 10. 981-1.019 |0.13737pp pp prc 4 4 4ddd. 1 0.282l0.1720. 198一0. 093一0. 297一0. 054-0. 153-0. 093一0. 0930.

12、7961.2041.2430, 757一0. 099-0.0991.153i|-0. 847pp1一4 4 4 4 4 40.274 1-0.1790.0480.0130.0030.8211.1790. 2270. 227-0. 061-0.0610.016i 0.0161 -0.00-0.0033pp1一c _4 a a a0. 198一0. 131-0.1440.038-o.oio-0.131-0.1310.987-1.0130.1821 0.1821 -o.cm1 -0.0480.01(81 0.010zl 4 d 4 d 40. 1930. 035-o. 140-0. 1400. 03

13、50. 0350.035-0.17-0.171. 0005 -1.0(0.17f2 0.17-0.05-0. 03535和k兮r及分母分别为及a4的行短系数:分子及分母分别为及乂的穹知系数.弯矩分配法（弯矩分配法计算连续梁和刚架及举例）一、名词解释弯矩分配法在数学上属于逐次逼近法，但在力学上属于精确法的范畴，主要适用于连续梁和刚架的计算。在弯矩分配法中不需要解联立方程，而且是直接得出杆端弯矩。由于计算简便，弯矩分配法在建筑结构设计计算中应用很广。（一）线刚度i杆件横截面的抗弯刚度ei被杆件的长度去除就是杆件的线刚度i ：ei当远端b为固定支座时,对于a点处，ab杆的转动刚度(a)(b)5”如；

14、当远端b为钱支座时，对于a点处，ab杆的转动刚度s. =3,；(c)(d)当远端b为滑动支座时，对于a点处，ab杆的转动刚度s.=，；°。当远端b为自由端时，对于a点处，ab杆的转动刚度为= 连续梁和刚架的所有中间支座在计算转动刚度时均视为固定支座。（二）转动刚度s 转动刚度表示靠近节点的杆件端部对该节点转动的反抗能力。杆端的转动刚度 以s表示，等于杆端产生单位转角需要施加的力矩,s = m/8q 施力端只能发 生转角，不能发生线位移。s.中的第一个角标a是表示a端，第二个角标b 是表示杆的远端是b端。s ,5表示ab杆在a端的转动刚度。（三）分配系数nm =+ 54(7% + s,

15、”) = "ab + m 八c + m.o_ m _ msas+sac+sad >,ss - ° ab 节- s/cf_ sad节各杆a端所承担的弯矩与各杆a端的转动刚度成正比。m aj= %，m_ s aj必力=声2人=1%称为分配系数，如nab表示杆ab在a端的分配系数。它表示ab杆的a端在节点诸杆中，承担反抗外力矩的百分比，等于杆ab的转动刚度与交于a点各杆的转动刚度之和的比值。总之，加于节点a的外力矩，按各杆的分配系数分配于各杆的a端。（四）传递系数cm ad = 3iad . % mda=omab =. %m ba = 2»ab . 6amjj j

16、 = cij mu j fac = "ac ,。amca =7ac . %品称为传递系数。传递系数表示当近端有转角（即近端产生弯矩）时，远端 弯矩与近端弯矩的比值。因此一般可由近端弯矩乘以传递系数c得出远端弯 矩。当远端为固定的边支座或为非边支座当远端为滑动边支座c = -1 ；当远端为较支边支座c = o0ab -系数g 称为由a端至b端的传递系数。 节点a作用的外力矩m，按各杆的分配系数n分配给各杆的近端；远端弯矩 等于近端弯矩乘以传递系数。（五）杆端弯矩考矩分配法解题过程中所指的杆端弯矩是所有作用于杆端的中间计算过程的 最后总的效果。计算杆端弯矩的目的，是因为杆端弯矩一旦求出，

17、则每相邻节点之间的“单跨 梁”将可以作为一根静定的脱离体取出来进行该杆的内力分析。其上作用的荷 载有外荷载，每一杆端截面上一般有一个剪力和一个弯矩，两端共有二个剪力 和二个弯矩。这两个弯矩就是两端的杆端弯矩，既然它们已经求出，那么余下 的两个剪力可由两个静力平衡方程解出。（六）近端弯矩和远端弯矩二、弯矩分配法的思路在求杆端弯矩时，其主要的目标是：（1）由于节点上有两根或多根杆件汇集，因此需确定每一根杆在维持节点不转动平衡过程中所作出的贡献。这需要用到分配系数n以及与分配系数n有关 的转动刚度s、线刚度l截面刚度日等值。（2 ）影响节点产生转动的力矩大小及方向。这需要涉及到单跨梁的固端弯矩而，它

18、的含义是：将每相邻节点之间的杆件视为一根两端支座为固定支座或一 端固定一端钱支的单跨梁，这样的梁在各种外荷载作用下的杆端弯矩叫做固端 弯矩。两端钱支的单跨梁无固端弯矩，即两端钱支的单跨梁的两较支端的固端弯矩为 零。只有固定端才有固端弯矩，较支端的固端弯矩为零（单跨梁）。固定端不允 许转动所以产生固端弯矩，而较支端允许转动不产生固端弯矩。igi ni-q b三、弯矩分配法的运算步骤连续梁或刚架弯矩分配法运算过程：(1)求各杆件(梁或柱)的线刚度i、杆端(梁端或柱端)转动刚度s和分配系数n (对于刚架，参加分配系数计算的不仅有梁，还有柱)。(2 )根据各个“单跨梁或柱的荷载情况和支座特征查表求出各

19、“单跨杆件在杆端的固端弯矩河。这里需注意的是固端弯矩是带符号的，可以用“左负右正”!1!个字来帮助记忆。即对每一“单跨梁而言，左端的而取负值或零,右端的而取正值或零。当“单跨的边支座为较支座时，它不能抵抗杆件的转 动，所以边支座为较支座时的标=0 ；但对于所有非边支座，则一律视为固定端 支座。(3 )将与同一支座相连接的各杆的固端弯矩而取代数和后反号按分配系数分配到与支座相连的各杆杆端。这一步的注意点是将固端弯矩代数和反号再分 配。(4 )将分配得到的弯矩视该节点各杆远端支座特征决定是否向远端传递。这 种分配、传递将可能进行多次。这种次数只要进行的足够，从理论上讲将可以 达到任意要求的精确度。

20、但是工程实践上则只要进行23个循环即可满足正式结构设计的要求。(5 )将上面步运算之后的与同一节点相连的每根杆件杆端的端弯矩、分配弯矩、传递弯矩分别求代数和，即为各杆的杆端弯矩。这一步的注意点是与 同一支座相连的各杆的杆端弯矩代数和必定为零，否则说明计算上有错，或尚 需进一步分配、传递。静定结构的内力只按静力平衡条件即可确定，其值与结构的材料性质和截 面尺寸无关。超静定结构的全部反力和内力如只按静力平衡条件则无法确定， 还必须同时考虑变形协调条件(即各部分的变形必须符合原结构的联接条件和 支承条件）才能得出确定的解答，故超静定结构的内力状态与结构的材料性质 和截面尺寸有关。在荷载作用下，超静定

21、结构的内力只与各杆刚度的相对比值 有关，而与其绝对值无关；在温度改变、支座移动等因素影响下，超静定结构 的内力则与各杆刚度的绝对值有关，并且一般是与各杆刚度的绝对值成正比 的。对非结构专业来说，特别是对建筑学专业，不可能花大量的精力去从事对 超静定结构的矩阵分析，因此弯矩分配法这样简明适用的方法就更有它的实际 意义。一方面，弯矩分配法可以满足对一般正式结构设计的要求；另一方面, 可以使建筑师加强对结构的概念设计。所以其优越性是显而易见的。例8-1图示一连续梁，用弯矩分配法作弯矩图。m-1515-90b- 1.72-3.43-2.570m-16.7211.57-11.57u(b)|0.571|0

22、.429|图8-9 例题解：（1）求分配系a.杆ab和杆bc的线刚度：与相等。b.转动刚度：ba=4/=3ic.分配系数：4z .v = 0-5714z + 3znbc = 一= 0.4294z + 3id.校核：nba”bc=1 ,分配系数写在节点b上面的方框内。(2)求固端弯矩行，把梁看成两根独立的单跨梁。查表：ab跨属表8 1编号5，而bc跨属表81编号2。mabpair 20x3x3262 15kn,mpcrb 20x32x3心c=4mcb=0622x62815knm-9kn - m将结果写在相应杆端的下方。在节点b , ba梁与bc梁在b端的固端弯矩代数和为mb二肪切十而rc = 1

23、5 9 = 6kn m(3 )分配并传递，将节点b的固端弯矩代数和反号得被分配的弯矩为-6kn m ,此弯矩按分配系数分配于两杆的b端；并由于a端为固端边支座，所 以由ba杆的b端向a端传递去b端弯矩的一半；c端由于是钱支边支座, 故传递系数为零，即不向c端传递。a.分配弯矩：mba =0.571x(6) = 3.43zn 加mbc = 0.429 x (-6) = -251 kn-mb.传递力矩:-mba =-lx (-3.43) = - l72kn,m 22m cb0用箭头表示弯矩传递的方向。(4 )将以上结果竖向叠加，即得到最后的杆端弯矩。可列表进行，最下面一 行表示最后结果。注意b节点

24、应满足平衡条件：= 11.57-11.57 = 0注意a端是固定边支座，只有一根杆ab ,其分配系数为1 ,故它虽有固端弯 矩氏l.15amm，但不存在分配或向b端传递的问题，可a端却可以接受从b 端传递过来的弯矩。(5 )计算跨中考矩.将ab梁按简支梁画出计算简图，其上的荷载有两种，一是本来存在的集中 荷载，二是在它两端按弯矩分配法算出的杆端弯矩，以集中力偶的形式作用于a、b两杆端处。见图8-10 (a) 0b.将ab梁按两端简支梁情况下，仅作用有集中荷载时求出在中点的弯矩，见图 8-10 ( b ) o 加中荷载=10x3 = 30kmmc.将ab梁按两端简支梁情况下，仅在两端分别有杆端弯

25、矩作用下求出中点的 弯矩，实际上是一个几何梯形的中位线长度纵坐标，见图840 (c)om中杆端=16j2 + 1l57 = 4,15znw 2d.跨中点弯矩的最终结果为b、c两步纵坐标的代数和。梁段上的其它任一点的弯矩也可以参照以上方法求出。中点弯矩为"跨中=”简支 +m 杆端=30-14.15 =15.85.m（6）在计算有多个节点的连续梁或刚架时，若将两个节点同时分配和传递,这两个节点既可相邻也可是被一个节点在当中隔开的形式。若从不平衡力矩（即节点四周各杆的杆端弯矩的代数和）较大的节点开始，可使收敛较快。（7 ）作弯矩图a.用弯矩分配法列表计算出的都是各杆带正号或负号的杆端弯矩。

26、正顺负逆（顺正逆负）b.带十号（正号一般省略不写）的杆端弯矩使杆端作顺时针旋转，此时想象杆端往远端方向稍远一些的横截面固定不动。比如图8-9中ab杆在b端的杆端 弯矩/l+u 57kn.一想象离b端稍往左处的杆截面（图8-9中的d-d截面）定不动，由于正号杆端弯矩+u.57knm ,所以它使b端绕这个想象中被 定的横截面作顺时针旋转。显然这个+u.57knm的杆端弯矩使ab上这小段 杆件bd的上部纤维受拉,下部纤维受压。我们总是把弯矩图画在杆件的受拉 纤维一侧。因此ab杆在b端的杆端弯矩+ u.57knm应画在杆的横线的上方。 c.带负号的杆端弯矩使杆端作逆时针旋转，此时也同样想象离杆端往远端

27、方向稍远一些的横截面固定不动。比如图89中ab杆在a端的杆端弯矩m =16.72amab,想象离a端稍往右处的杆截面（图8-9中的e-e截面）固定不动，由于是负号杆端弯矩6.72knm ,所以它使a端绕这个想象中被固定解：(1)求端弯矩:编号1编号7编号7编号5编号5市 80x3x3x(64-3) nnnz 浦 mba = 90.0zn - m030x10?vc7a7m hc = -250.0攵n 加bc 12030x10?. xrm cr = 250.0zn m312jj-y1 60 x 3 x 5 "fcrliaymcd =5= -187.5kn 加8160x3x5. 厂1k7m

28、lw =5= 1125kn , m(2 )求分配系数：a.对节点b ,相邻两杆ba、bc的转动刚度s ba =3/= 3x2 = 6s bc =4z = 4x1 = 4所以nba工厂 = 0.6（无单位） 6 + 4"阮二1-0,6 =。.4（无单位）b.同理，对节点c有：scb =4z = 4x1 = 4srn =4z = 4x1 = 44ncb =o.5（无单位）从cd = 1-0-5 = 0.5（无单位）(3 )分配结果见图8-110(4 )求跨中弯矩a.对ab跨：b.对bc跨：80x6 0 + 200.91-2= l9.55kn-m“30xl02m跨中200.9 + 237.

29、3=155 9knmc.对cd跨见图812。(b)<c)(d)困8-12跨中弯矩求法7例在集中力作用下，cd跨的最大跨间弯矩发生在集中力p=160kn作用点。(a )在集中力作用下，该点的简支梁弯矩(图842b )160x3x5 “八7 a7my = 300kn - m1 8(b )在杆端弯矩作用下，该点的负弯矩为(图842c )“5x(237.3 87.7)、1o1m.=- 87.7 + = i8l .2kn m-i8)(c)该点的弯矩为m和的代数和。m = 300-181.2 = 118 8knm(5 )作出连续梁的弯矩图。例8-4试用弯矩分配法计算图844 (a )所示等截面连续梁

30、(带悬臂梁)的各杆端弯矩。并作弯矩图。已知各杆ei值为：ab为6 , bc为4 , cd为4 , de为6 op£x方:户1z"/二小'九专比邛二mr 6xn2m12m- 2m ttjt7 i ;曾 i sq禽刀64trnb.bch.bh.b-0 i0 01-606 12-18.51-o772j" l44 - 1.62rr628.2】一 16.24 00- ah 00； 32 0016 (mj<2电一-1.22 2必 _ q 67 一-u 二0 , if » 0 07 -oki一 屋 c一z一 -1j702 £1 二oja&quo

31、t; (lwof0.070.08，400 16! -0.17m22 97 45.944s 9462.1762.1745.32-45.32 40-40”o-0.020 024002. 17 八45.32八图8 14例题解:此梁的悬臂ef为一静定部分，该部分的内力根据静力平衡条件便可求得：mef = tkn m, vef =笺kn 0 若将该悬臂部分去掉，而将m针和“ 作为外力作用于节点e ,图8-14 ( b ),节点e便化为较支端，整个计算即可按此考虑。计算分配系数时，其中63 ab =- = i = - = lba4 2 .bc = 7 =三=lcho 34 2 .cda - idcj1 5

32、 - 2 - /2 - 0 - led4idc oc = -45c + 3ide3/d£nde ldc + 31de43 ,2.3 4x- + 3x-323d2234x + 3x = 0.372= 0.628计算固端弯矩时，对杆de ,将相当于一端固定另一端钱支的单跨梁,除跨中 受集中力作用外，并在较支端e处受一集中力和一集中力偶的作用。其中作 用在e端的集中力为支座直接承受在梁内不引起弯矩而e端的力偶40knm 将使杆de引起固端弯矩，其值为de跨在d端的固端弯矩版（编号1 ）与ef跨在e端的固端弯矩为“向远端d的传递弯矩外之代数和,即m -+mlv1 de m de 十 lv1 de60x2x2x(4 + 2)1 c 2x427 + x 40 = -25k n , m其余固端弯矩均可查表求得。分配及弯矩图见8440 例8-5求图8.15所示刚架的弯矩图。(1)转动刚度:abbccdbecf4 _4 -5 _5-4 _4 -3 _61 =，sbc s cb 4'bc = 41，% = 3icd =33be =4，be =4x- = 3-,5*cf =4icf =4x- = 222(2 )分配系数：节点b ：£5 = %+晨+5 =吃=0.3,4